5.1.4 Ottimizzazione con un vincolo di uguaglianza: condizioni per le quali un punto stazionario è un punto di ottimo globale
Sappiamo che se (x*, y*) è soluzione del problema
maxx,y f (x, y) con g(x, y) = c
e g1¢(x*, y*) ¹ 0 o g2¢(x*, y*) ¹ 0 allora esiste un numero l* tale che (x*, y*) è un
punto stazionario della Lagrangiana L(x, y) = f (x, y) - l*(g(x, y) - c)) (dato l*).
Dal fatto che (x*, y*) sia un punto stazionario della Lagrangiana non segue che (x*, y*) massimizza la Lagrangiana, dato l* (come vi era stato chiesto di dimostrare in un esercizio).
Supponiamo, comunque, che (x*, y*) massimizzi di fatto L(x, y), dato l*. Allora
L(x*, y*) |
= |
f (x*, y*) - l*(g(x*, y*) - c) |
|
³ |
L(x, y) |
|
= |
f (x, y) - l*(g(x, y) - c) |
per ogni (x, y). Se (x*, y*) soddisfa il vincolo allora queste equazioni si riducono a f (x*, y*) ³ f (x, y) per ogni (x, y) con g(x, y) = c, dunque (x*, y*) risolve il
problema di massimizzazione.
Cioè:
se (x*, y*) massimizza la Lagrangiana, dato l*, e soddisfa il vincolo, allora è soluzione del problema.
Ora, se la Lagrangiana è concava, dato l*, e (x*, y*) soddisfa le condizioni del primo ordine, allora sappiamo che (x*, y*) massimizza la Lagrangiana. Da qui deriva il prossimo risultato.
- Proposizione
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Supponiamo che f e g siano funzioni continue e derivabili definite in un sottoinsieme aperto convesso A di uno spazio a due dimensioni e supponiamo che esista un numero l* tale che (x*, y*) Î A sia un punto stazionario interno della Lagrangiana
L(x, y) = f (x, y) - l*(g(x, y) - c).
Supponiamo inoltre che g(x*, y*) = c. Allora
- se L(x, y) è concava---in particolare se f è concava e l*g è convessa,---allora (x*, y*) risolve il problema di massimizzazione vincolata
- se L(x, y) è convessa---in particolare se f è convessa e l*g è concava,---allora (x*, y*) risolve il problema di minimizzazione vincolata
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Notate che se g è lineare, allora l*g è sia convessa sia concava, indipendentemente dal valore di l*.
- Esempio
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Consideriamo il problema
maxx,y xayb con px + y = m,
precedentemente visto. Abbiamo trovato che esiste un valore di l* tale che
(x*, y*) = |
 |
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, |
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è un punto stazionario della Lagrangiana e soddisfa il vincolo. Ora, se a ³ 0, b ³ 0, a + b £ 1 allora la funzione obiettivo è concava; il vincolo è lineare, quindi dalla proposizione appena enunciata sappiamo che
(x*, y*) è soluzione del problema.
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Esercizi
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