7.2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Una equazione differenziale lineare del primo ordine ha la seguente forma
x¢(t) + a(t)x(t) = b(t) per ogni t
per alcune funzioni a e b.

Coefficiente di x(t) costante

Consideriamo il caso in cui a(t) = a ¹ 0 per ogni t, così che
x¢(t) + ax(t) = b(t) per ogni t.
Se il lato sinistro fosse la derivata di una qualche funzione e potessimo calcolare l'integrale di b, allora potremmo risolvere l'equazione integrando entrambi i lati. Ora, il lato sinistro sembra qualcosa come la derivata di un prodotto. Ma affinché esso sia esattamente la derivata di un prodotto della forma  f (t)x(t) dovrebbe essere  f (t) = 1 and  f ¢(t) = a per ogni t, che chiaramente è impossibile.

Ma ora supponiamo di moltiplicare entambi i lati per g(t) per ogni t. Avremo quindi

g(t)x¢(t) + ag(t)x(t) = g(t)b(t) per ogni t.
Affinché il lato sinistro di questa equazione sia la derivata di un prodotto di forma  f (t)x(t) deve essere  f (t) = g(t) e  f ¢(t) = ag(t). Esiste qualche funzione  f  con questa proprietà? Si! Se  f (t) = eat, allora  f ¢(t) = aeet = a f (t).

Così se poniamo g(t) = eat, in modo tale da avere

eatx¢(t) + aeatx(t) = eatb(t),
allora l'integrale del lato sinistro è
eatx(t),
e perciò la soluzione dell'equazione è data da
eatx(t) = C + òteasb(s)ds,
(dove òt f (s)ds è, come prima, l'integrale indefinito di  f (s) calcolato in t), o
x(t) = e-at[C + òteasb(s)ds].
Siccome moltiplicare l'equazione originale per eat ci permette di integrare il lato sinistro, chiamiamo eat il fattore di integrazione.

Se b(t) = b per ogni t, allora questa soluzione si semplifica e diventa

x(t) = Ce-at + b/a.

Osservando l'equazione originale vediamo che x¢(t) = 0 se e solo se x(t) = b/a. Questo valore di x(t) è dunque lo stato di equilibrio o stato stazionario dell'equazione: se x(t) = b/a per qualche t allora x resta uguale a b/a per ogni valore di t (poiché x¢(t) = 0).

Guardando la soluzione vediamo che quando t cresce l'andamento qualitativo del sistema dipende dal segno di a. Se a > 0, allora x(t) tende a b/a, l'equilibrio, e la soluzione è stabile; se a < 0, allora la soluzione è instabile.

Esempio
Consideriamo l'equazione

x¢(t) + 2x = 6

con le condizioni iniziali x(0) = 10. Manipolando gli appropriati elementi nella soluzione generale deduciamo che la soluzione è

x(t) = 7e-2t + 3.

Questa soluzione è stabile, dato che a > 0.

Esempio
Il prezzo di un bene al tempo t è p(t). La domanda, quando il prezzo è p è pari a D(p) = a - bp e l'offerta S(p) = a + bp, dove a, b, a, e b sono costanti positive. Assumiamo che

p¢(t) = l[D(p- S(p)]

con l > 0. (Cioè, la velocità con cui il prezzo si aggiusta è proporzionale alla differenza tra domanda e offerta.) Allora

p¢(t) + l(b + b)p(t) = l(a-a),

dunque

p(t) = Ce-l(b+b)t + (a-a)/(b+b).

Il prezzo di equilibrio è (a-a)/(b+b), e la soluzione converge a questo equilbrio.

Coefficiente di x(t) dipendente da t

Ora consideriamo un'equazione di forma
x¢(t) + a(t)x(t) = b(t),
dove a non è costante. In questo caso un fattore di integrazione può soddisfare la condizione  f (t) = g(t) e  f ¢(t) = a(t)g(t) per ogni t. La funzione eòta(s)ds ha questa proprietà. Moltiplicando per quasto fattore, l'equazione è
eòta(s)dsx¢(t) + a(t)eòta(s)dsx(t) = eòta(s)dsb(t),
o
(d/dt)[x(t)eòta(s)ds] = eòta(s)dsb(t).
(Ricordate che la derivata di un integrale indefinito è la funzione integranda stessa.) Così
x(t)eòta(s)ds = C + òteòua(s)dsb(u)du,
o
x(t) = e-òta(s)ds[C + òteòua(s)dsb(u)du].
La soluzione generale dell'equazione
x¢(t) + a(t)x(t) = b(t),
è
x(t) = e-òta(s)ds[C + òteòua(s)dsb(u)du].

Esempio
Consideriamo l'equazione

x¢(t) + (1/t)x(t) = et.

Abbiamo

òta(s)ds = ln t

così

eòta(t)dt = t.

Dunque la soluzione dell'equazione è

x(t = (1/t)(C + òtetdt)
= (1/t)(C + tet - òetdt)
= (1/t)(C + tet-et)
= C/t + et - et/t.

Possiamo verificare che questa soluzione è corretta derivando:

dx/dt + x/t = -C/t2 + et - et/t + et/t2 + C/t2 + et/t - et/t2et

Se il valore iniziale è dato---sia x(1) = x1---, allora possiamo trovare il valore di una costante arbitaria C:

x1 = C + e - e = C,

dunque

x(t) = x1/t + et - et/t.

Esercizi


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