2.3 Derivate di funzioni definite implicitamente

Teoria preliminare

In un modello economico, un valore di equilibrio per una variabile x è a volte la soluzione di un'equazione della forma
 f (xp) = 0,
dove  f  è una funzione e p un parametro. Vorremmo sapere come dipende dal parametro questo valore di equilibrio. Per esempio, esso cresce o decresce quando il parametro cresce?

Tipicamente, facciamo delle ipotesi circa la forma della funzione  f ---per esempio, possiamo assumere che sia crescente rispetto a x e decrescente rispetto a p---ma non possiamo ipotizzare che assuma una forma specifica. Così, non possiamo risolvere esplicitamente x in funzione di p (cioè non possiamo scrivere g(p) = qualcosa).

Diciamo che l'equazione

 f (xp) = 0 per ogni p
definisce x implicitamente come una funzione di p. Possiamo enfatizzare questo fatto scrivendo  f (x(p), p) = 0 per ogni p. Prima di cercare di determinare come la soluzione di x dipenda da p, dovremmo chiederci se, per ogni valore di p, l'equazione ammetta soluzione. Il Teorema del valor medio è uno strumento che possiamo usare per rispondere a questa domanda. Se assumiamo che la funzione  f  sia continua, i possibili valori di x giacciono tra x1 e x2, e per alcuni valori di p abbiamo  f (x1p) < 0 e  f (x2p) > 0, o alternativamente  f (x1p) > 0 and  f (x2p) < 0, allora il Teorema del valor medio ci dice che esiste un valore di x tra x1 e x2 per il quale  f (xp) = 0. (Da notare che anche se le condizioni non sono soddisfatte, l'equazione può comunque avere soluzione.)

Se non ci possiamo appellare al Teorema del valor medio (perché, per esempio,  f  non è continua, o non soddisfa le condizioni appropriate), potremmo essere in grado di dire che esiste una soluzione basandosi su particolari caratteristiche della nostra equazione. Il punto è che una singola equazione in una singola variabile non ha necessariamente una soluzione.

Mettendo da parte la questione dell'esistenza o meno di una soluzione, consideriamo il problema di analizzare come la soluzione , se ne esiste una, dipenda dal parametro p. Anche se non possiamo risolvere esplicitamente per x, possiamo trovare come una soluzione, se esiste, dipenda da p---possiamo trovare la derivata di x rispetto a p--- derivando l'equazione che la definisce. Il principio da usare è semplice: se volete trovare una derivata, derivate!

Derivando entrambi i lati dell'equazione  f (x(p), p) = 0, usando la regola di derivazione delle funzioni composte, otteniamo

 f ¢1(x(p), p)x¢(p) +  f ¢2(x(p), p) = 0,
così
x¢(p) = - f ¢2(x(p), p)/ f ¢1(x(p), p).
Da notare che anche se non potete isolare x nell'equazione originale, dopo aver derivato potrete isolare la sua derivata, che è ciò che volete.

Questa operazione vi dice, per esempio, che se  f  è una funzione crescente di entrambi i suoi argomenti ( f ¢1(xp) > 0 e  f ¢2(xp) > 0 per ogni (xp)), allora x è decrescente in p.

Applicazione: pendenze delle curve di livello

Sia  f  una funzione di due variabili, e c una costante. L'insieme delle coppie (xy) tali che
 f (xy) = c
è chiamato curva di livello di  f  per il valore c.

Esempio:
Sia  f (xy) = xy per ogni (xy). La curva di livello di  f  per il valore 1 è l'insieme di tutte le coppie (xy) tali che xy = 1, o, equivalentemente, y = 1/x. La parte di questo insieme con -£ x £ 1 e -£ y £ 1è l'unione degli insiemi di punti sulla linea rossa nella seguente figura.

Notate che la curva di livello è definita come un insieme, ed infatti alcune curve di livello di alcune funzioni non sono "curve" del tutto. Considerate, per esempio, la funzione  f  definita da  f (xy) = 1 per ogni (xy). (Cioè, il valore di  f  è 1 per ogni valore di x e y). La curva di livello di questa funzione per il valore 2 è vuota (non ci sono valori di (xy) tali che  f (xy) = 2) e la curva di livello per il valore 1 è l'insieme di tutti i punti (xy). In pochi altri casi estremi, alcune curve di livello sono insiemi.
Per esempio, alcune curve di livello della funzione che definisce la superficie di una montagna conica terrazzata sono mostrate nella seguente figura. Le curve di livello corrispondenti alle altezze di 10 e 30, segnate in nero, sono spesse, mentre quelle corrispondenti alle altezze di 0 e 20, segnate in rosso, non lo sono. (La montagna ha delle terrazze alle altezze di 10 e 30.)

Gli economisti chiamano le curve di livello di una funzione di utilità curve di indifferenza e quelle di una funzione di produzione isoquanti.

L'equazione  f (xy) = c della curva di livello di  f  per il valore c definisce y implicitamente come una funzione di x. Possiamo scrivere

 f (xg(x)) = c per ogni x.
Cos'è g¢(x)? La pendenza della curva di livello nel punto x. Se deriviamo entrambi i lati dell'identità  f (xg(x)) = c rispetto ad x otteniamo
 f 1¢(xg(x)) +  f 2¢(xg(x))g¢(x) = 0,
così che possiamo isolare g¢(x):
g¢(x) = -
 f 1¢(xg(x))

 f 2¢(xg(x))
oppure
dy

dx
 = -
 f 1¢(xy)

 f 2¢(xy)
.

Così la pendenza della curva di livello nel punto (x0y0) è

-
 f 1¢(x0y0)

 f 2¢(x0y0)
.
Dunque l'equazione di una tangente in (x0y0) è
y - y0 = -
 f 1¢(x0y0)

 f 2¢(x0y0)
·(x - x0).
(Ricordate che l'equazione di una retta passante per (x0y0) con pendenza m è data da y - y0 = m(x - x0).) Così l'equazione della tangente può alternativamente essere scritta come
 f 1¢(x0y0)(x-x0) +  f 2¢(x0y0)(y - y0) = 0,
oppure
f 1¢(x0y0),  f 2¢(x0y0))
 x - x0 
 y - y
 = 0.

Il vettore ( f 1¢(x0y0),  f 2¢(x0y0)) è chiamato vettore gradiente , in simboli Ñ f (x0y0). Il prodotto pari a zero (di cui sopra) mostra che il vettore gradiente è ortogonale al vettore tangente, come nella seguente figura.

Si può calcolare la derivata seconda della curva di indifferenza così come la derivata prima, derivando cioè un'altra volta.

Più parametri

Supponete che il valore di equilibrio per la variabile x sia la soluzione di un'equazione della forma
 f (xp) = 0,
dove p è un vettore di parametri---p = (p1, ..., pn). Derivando l'equazione rispetto a pi, tenendo fissati tutti gli altri parametri, possiamo determinare come x varii con pi.

Evidenziando la dipendenza di x da p esplicitamente nella notazione, abbiamo

 f (x(p), p) = 0 per ogni p.
Derivando questa identità rispetto a pi abbiamo
 f ¢x(x(p), p)x¢i(p) +  f ¢pi(x(p), p) = 0
così
x¢i(p) = -
 f ¢pi(x(p), p)

 f ¢ x(x(p), p)
.

Esempio:
Consideriamo l'impresa in concorrenza precedentemente studiata che utilizza un singolo input per produrre un singolo output con funzione di produzione derivabile  f , a fronte di un prezzo w per l'input e di un prezzo p per l'output. Indichiamo con z(wp) il suo livello di input che massimizza il profitto per ogni coppia (wp). Sappiamo che z(wp) soddisfa la condizione del primo ordine
p f ¢(z(wp)) - w = 0 per ogni (wp).
Come dipende z da w e da p?

Derivando rispetto a w otteniamo

p f ¢¢(z(wp))z¢w(wp- 1 = 0.
Così se  f ¢¢(z(wp)) ¹ 0 allora
z¢w(wp) =
1

p f ¢¢(z(wp))
.
Se  f ¢¢(z(w,p)) £ 0, allora z(wp) è un massimo, così se  f ¢¢(z(wp)) ¹ 0 concludiamo che z¢w(wp) < 0, cioè: al crescere del prezzo dell'input, l'output ottimo dell'impresa decresce.

Calcoli analoghi portano a

z¢p(wp) = -
 f ¢(z(wp))

p f ¢¢(z(wp))
,
che è positiva.

Esercizi


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