3.2.2 Forme quadratiche: condizioni per la definitività
Definizioni
Alcune domande rilevanti quando studiamo la concavità e la convessità di funzioni di più variabili sono:
- Sotto che condizione riguardo alla matrice A i membri della forma quadratica Q(x) = x¢Ax sono positivi per ogni valore di x e y?
- Sotto che condizione questi membri sono negativi per ogni valore di x e y?
E' utile la seguente terminologia.
Sia Q(x) una forma quadratica, e sia A la matrice simmetrica che la rappresenta (i.e. Q(x) = x¢Ax). Allora Q(x) (e la matrice associata A) è
- definita positiva se x¢Ax > 0 per ogni x ¹ 0
- definita negativa se x¢Ax < 0 per ogni x ¹ 0
- semidefinita positiva se x¢Ax ³ 0 per ogni x
- semidefinita negativa se x¢Ax £ 0 per ogni x
- indefinita se non è né semidefinita positiva né semindefinita negativa (cioè se x¢Ax > 0 per certi valori di x e x¢Ax < 0 per altri valori di x).
- Esempio:
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x12 + x22 > 0 se (x1, x2) ¹ 0: questa forma quadratica è positiva definita. Più in generale,
ax12 + cx22 è positiva definita se a > 0 e c > 0
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- Esempio:
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(x1 + x2)2 ³ 0 per ogni (x1, x2): questa forma quadratica è positiva semidefinita. Non è positiva definita perché
(x1 + x2)2 = 0 per (x1, x2) = (1,-1) (per esempio).
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- Esempio:
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x12 - x22 > 0 per (x1, x2) = (1, 0) (per esempio), e
x12 - x22 < 0 per (x1, x2) = (0, 1) (per esempio). Quindi questa forma quadratica è indefinita.
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Due variabili
Possiamo facilmente derivare le condizioni per la definitività di ogni forma quadratica in due variabili. Per rendere l'argomento più leggibile, modifichiamo leggermente la notazione, usando x e y per le variabili, piuttosto che x1 e x2. Consideriamo la forma quadratica
Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2.
Se a = 0 allora Q(1,0) = 0, così Q è né positiva definita né negativa definita. Assumiamo quindi che sia a ¹ 0.
Dato a ¹ 0, abbiamo
Q(x, y) = a[(x + (b/a)y)2 + (c/a - (b/a)2)y2].
Entrambi i quadrati sono sempre non-negativi, e almeno uno di essi è positivo a meno che (x, y) = (0, 0). Così se a > 0 e c/a - (b/a)2 > 0, allora Q(x, y) è definita positiva. Dato a > 0, la seconda condizione è
ac > b2. Concludiamo così che se a > 0 e ac > b2, allora Q(x, y) è definita positiva.
Ora, abbiamo Q(1, 0) = a and Q(-b/a, 1) = (ac - b2)/a. Così, se Q(x, y) è definita positiva, allora a > 0 e ac >
b2.
Concludiamo che Q(x, y) è definita positiva se e solo se a > 0 e ac > b2.
Un procedimento simile dimostra che Q(x, y) è definita negativa se e solo se a < 0 e ac > b2.
Notate che se a > 0 e ac > b2, allora, poiché b2 ³ 0 per ogni b, possiamo concludere che c > 0. Similmente, se a < 0 e ac > b2, allora c < 0.
Così, per determinare se una forma quadratica sia positiva definita o negativa definita, abbiamo bisogno di osservare solo il segno di a e di ac - b2, tuttavia se le condizioni per la definitività positiva sono soddisfatte allora deve anche essere c > 0, e se le condizioni per la definitività negativa sono
soddisfatte, allora c < 0.
Da notare che ac - b2 è il determinante della matrice che rappresenta la forma quadratica, in simboli
A = |
 |
a |
b |
 |
b |
c |
|
Così possiamo riscrivere il risultato come segue: la forma quadratica in due variabili Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 è
- definita positiva se e solo se a > 0 e ½A½ > 0 (in tal caso c > 0)
- definita negativa se e solo se a < 0 e ½A½ > 0 (in tal caso c < 0)
Più variabili
Per determinare le condizioni affinché una forma quadratica di n variabili sia definita positiva o definita negativa, dobbiamo esaminare i determinanti di alcune sue sottomatrici.
- Definizione
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Il minore principale di guida di ordine k della matrice simmetrica n ´ n A = (aij) è il determinante della matrice ottenuta cancellando le ultime n - k righe e colonne di A (dove
k = 1, ... , n):
Dk = |
 |
a11 |
a12 |
... |
a1k |
 |
a21 |
a22 |
... |
a2k |
... |
... |
... |
... |
ak1 |
ak2 |
... |
akk |
|
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- Esempio
-
Sia
A = |
 |
3 |
1 |
2 |
 |
1 |
-1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
Il minore principale di guida del primo ordine D1 è il determinante della matrice che si ottiene da A cancellando le ultime due righe e colonne; cioè, D1 = 3. Il minore principale di guida del secondo ordine D2 è il determinante della matriche che deriva da A cancellando l'ultima
riga e l'ultima colonna; cioè,
D2 = |
 |
3 |
1 |
 |
1 |
-1 |
|
, |
così D2 = -4. Infine, il minore principale di guida del terzo ordine D3 è il determinante di A, cioè -19.
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Il risultato seguente caratterizza le forme quadratiche definite positive e negative (e le loro matrici associate).
- Proposizione
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Sia A una matrice simmetrica n ´ n e siano Dk per k = 1, ... , n i suoi minori principali di guida. Allora
- A è definita positiva se e solo se Dk > 0 per k = 1, ..., n.
- A è definita negativa se e solo se (-1)kDk > 0 per k = 1, ..., n. (Cioè, se e solo se i minori principali di guida alternano il loro segno, partendo dal segno negativo per D1.)
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Nel caso speciale in cui n = 2 queste condizioni si riducono alle precedenti perché per
A = |
 |
a |
b |
 |
b |
c |
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abbiamo D1 = a e D2 = ac - b2.
- Esempio
-
Sia
A = |
 |
-3 |
2 |
0 |
 |
2 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
-5 |
|
. |
I minori principali di guida di A sono D1 = -3 < 0, D2 = (-3)(-3)-(2)(2) = 5 > 0, e
½A½ = -25 < 0. Così A è definita negativa.
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- Esempio
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Abbiamo visto sopra che i minori principali di guida della matrice
A = |
 |
3 |
1 |
2 |
 |
1 |
-1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
sono D1 = 3, D2 = -4, and D3 = -19. Così A non è né definita positiva né definita negativa. (Notate che possiamo dire ciò osservando solo i primi due minori principali di guida---non c'è bisogno di calcolare
D3.)
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