4.1 Teoria dell'ottimizzazione: introduzione

Nella teoria economica tradizionale si assume che coloro che prendono decisioni (per esmpio consumatori, imprese, governi) siano "razionali". Cioè, si assume che ogni "decisore" abbia un ordinamento di prefernze sui risultati delle sue azioni e scelga un'azione, tra tutte quelle che sono realizzabili, che sia la maggiormente preferita in relazione a questo ordinamento. Di solito facciamo un'assunzione che garantisce che l'ordinamento di preferenze di un decisore sia rappresentato da una funzione dei payoff (a volte chiamata funzione di utilità), così che possiamo presentare il problema del decisore come un problema di scelta di un'azione, tra tutte quelle che sono realizzabili, che massimizzi il valore di tale funzione. Cioè, possiamo scrivere il problema del decisore nella forma
maxa u(a) sotto il vincolo a Î S.

Se il decisore è un consumatore classico allora a è un paniere di consumo, u la funzione di utilità del consumatore, e S l'insieme dei panieri di beni che il consumatore si può permettere. Se il decisore è un'impresa classica allora a è un vettore di input-output, u(a) è il profitto che genera l'azione a, e S l'insieme di tutti i vettori input-output realizzabili (che dipendono cioè dalla tecnologia dell'impresa).

Anche fuori dalla teoria classica, il comportamento dei decisori è spesso assunto razionale. Per esempio, l'oggetto di un'impresa può non essere la massimizzazione del profitto, ma piuttosto la massimizzazione delle vendite; un consumatore può badare ai panieri di beni che consuma, ma anche ai panieri di beni che consumano gli altri membri della famiglia, massimizzando una funzione che include questi panieri oltre al suo stesso paniere; un governo può essere orientato a scegliere le politiche che massimizzano la sua possibilità di rielezione.

Notate che il problema dell'ottimizzazone ha un vincolo: l'azione che sceglie il decisore deve esser contenuta nell'insieme S. Così la teoria della massimizzazione vincolata gioca un ruolo importante nell'analisi dei modelli economici.

La teoria della minimizzazione vincolata concerne problemi della forma

mina u(a) sotto il vincolo a Î S.
Questa teoria, come la teoria della massimizzazione vincolata, è un importante strumento della teoria economica. Per esempio, quando massimizzano i loro profitti, le imprese scelgono i loro panieri di input per minimizzare il costo di produzione degli output prodotti; un'analisi del problema di minimizzazione del costo per raggiungere un certo payoff facilita enormemente lo studio di un consumatore che massimizza il suo payoff.

Insieme, le due teorie---massimizzazione vincolata e minimizzazione vincolata---fanno parte della teoria dell'ottimizzazione vincolata.


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