2.4 Approssimazioni lineari e differenziali

Introduzione

La derivazione implicita è uno strumento che possiamo usare per studiare la dipendenza di una variabile rispetto a dei parametri quando la variabile è definita da un'equazione del tipo  f (xp) = 0, dove x è una lista di variabili e p una lista di parametri. Nella teoria economica, molti modelli comprendono molte equazioni simultaneamente. In questi casi, è utile un altro strumento.

Supponiamo di avere due variabili, x e y, e due parametri p e q, e per qualche valore di p e q i valori delle variabili soddisfano le due equazioni

 f (xypq = 0
g(xypq = 0.
Queste due equazioni definiscono implicitamente x e y come funzioni di p e q. Come nel caso di una singola equazione, sorgono due domande:

Esistenza di una soluzione

Abbiamo visto che una singola equazione in una sola variabile può non avere soluzione. Anche una singola equazione lineare può non avere soluzione nel campo di interesse rilevante. (Considerate l'equazione x + p = 0 per p > 0. Se il valore di x viene limitato ad essere non-negativo (come la quantità di un bene), allora l'equazione non ha soluzione). Anche un insieme di equazioni in molte variabili può non avere soluzione. Come abbiamo visto, il Teorema del Valor Medio può permetterci di dedurre che una singola equazione abbia soluzione. Generalizzazioni di questo teorema, di cui ora non parlo, possono essere utili nel mostrare che una collezione di equazioni con molte variabili ammette soluzione.

Un'utile guida approssimativa affinché un insieme di equazioni abbia un unica soluzione è che il numero delle equazioni sia uguale al numero delle variabili. Precisamente, questa condizione non è né necessaria né sufficiente. Per esempio, la singola equazione x2 = -1 in una sola variabile non ha soluzione, mentre la singola equazione x2 + y2 = 0 in due variabili ha un'unica soluzione ((xy) = (0, 0)). Ma c'è la presunzione per cui se la condizione è soddisfatta e le equazioni sono tutte "indipendenti" le une dalle altre, il sistema dovrebbe avere un'unica soluzione, e se non è soddisfatta la possibilità che abbia un'unica soluzione è piuttosto piccola.

Differenziali

Ora consideriamo la questione sul modo in cui una soluzione, se esiste, dipende dai parametri. Un utile strumento per affrontare questa domanda include la nozione di differenziale.

Sia  f  una funzione derivabile in una sola variabile. Se x cresce di una piccola quantità da a a a + Dx, di quanto cresce  f (x) ? Una funzione di una sola variabile viene approssimata in a dalla sua tangente in a. Così se Dx è molto piccolo, allora la crescita approssimata in  f (x) è

 f ¢(a)Dx
(dove  f ¢(a) è naturalmente la derivata di  f  in a).

Per ogni cambiamento dx in x definiamo il differenziale di  f (x) come segue

Definizione
Sia  f  una funzione di una singola variabile. Per ogni numero reale dx, il differenziale di y =  f (x) è

dy =  f ¢(x)dx.

Dall'argomento precedente, se dx è piccolo, allora il differenziale dà approssimativamente il cambiamento nel valore di  f  attorno al punto x.

Se  f  è una funzione di due variabili, essa è approssimata dal suo piano tangente: per (xy) molto vicini a (ab) approssimativamente

 f (xy) =  f (ab) +  f 1¢(ab)(x - a) +  f 2¢(ab)(y - b).

Per una funzione di molte variabili, il differenziale si definisce come segue.

Definizione
Sia  f  una funzione di più variabili. Per ogni numero reale dx1, ..., dxn, il differenziale di z =  f (x1, ..., xn) è

dz =  f ¢1(x1, ..., xn)dx1 + ... +  f ¢n(x1, ..., xn)dxn.
Come nel caso di una funzione di una singole variabile, se xi cambia di una piccola quantità dxi per ogni i = 1, ..., n allora il cambiamento in  f (x1, ..., xn) è approssiamativamente dato dal suo differenziale dz.

Per trovare un differenziale dobbiamo semplicemente trovare la derivate parziali rispetto ad ogni variabile a turno. Alternativamente possiamo usare un insieme di regole analoghe a quelle per le derivate:

d(a f  + bg) =  ad f  + bdg
df ·g) =  gd f  +  f dg
df /g) =  (gd f  -  f dg)/g2
se z = gf (xy)) allora dz = g¢f (xy))d f 

Usare i differenziali per studiare le variazioni nelle soluzioni di sistemi di equazioni

Supponiamo che le variabili, x, e y, soddisfino le seguenti due equazioni, dove p e q sono parametri, come nella sezione di sopra:
 f (xypq = 0
g(xypq = 0.
Assumiamo che le funzioni  f  e g siano tali che le due equazioni definiscano due funzioni soluzione
x*(pq) e y*(pq).
cioè,  f (x*(pq), y*(pq), pq) = 0 e g(x*(pq), y*(pq), pq) = 0 per ogni p ed ogni q.

Come dipendono x* e y* dai parametri p e q? Assumendo che le funzioni x* e y* siano derivabili, possiamo rispondere a questa domanda calcolando i differenziali delle due equazioni che le definiscono. Questi differenziali sono

 f 1¢ · dx +  f 2¢ · dy +  f 3¢ · dp +  f 4¢ · dq  = 0
g1¢ · dx + g2¢ · dy + g3¢ · dp + g4¢ · dq  = 0.
(Per rendere queste equazioni più semplici da leggere, ho omesso gli argomenti delle derivate parziali). Ora risolvete queste due equazioni per dx e dy. (Si veda la pagina su
risoluzione di sistemi di equazioni lineari se vi siete dimenticati come farlo). Otteniamo
dx =
-g2¢ · ( f 3¢ · dp +  f 4¢ · dq) +  f 2¢ · (g3¢ · dp + g4¢ · dq)

 f 1¢ · g2¢ -  f 2¢ · g1¢
e
dy =
g1¢ · (g3¢ · dp + g4¢ · dq-  f 1¢ · (g3¢ · dp + g4¢ · dq)

 f 1¢ · g2¢ -  f 2¢ · g1¢
.

Ora, per determinare l'impatto di una variazione di p su x e y, mantenendo q costante, poniamo dq = 0 per avere

dx =
(-g2¢ ·  f 3¢ +  f 2¢ · g3¢) · dp

 f 1¢ · g2¢ -  f 2¢ · g1¢
e
dy =
(g1¢ · g3¢ -  f 1¢ · g3¢) · dp

 f 1¢ · g2¢ -  f 2¢ · g1¢
.
Possiamo alternativamente scrivere la prima equazione come
x

p
 =
-g2¢ ·  f 3¢ +  f 2¢ · g3¢

 f 1¢ · g2¢ -  f 2¢ · g1¢
.
Se abbiamo fatto qualche assunzione circa il segno delle derivate parziali di  f  e g, questa espressione ci può permettere di determinare il segno di x/p---cioè, la direzione in cui il valore di equilibrio di x cambia al variare del parametro p.

Questa tecnica ci permette anche di studiare la variazione di una variabile quando più di un parametro cambia, come è illustrato nel seguente esempio economico.
Esempio
Consideriamo il modello macroeconomico
Y =  C + I + G
C =   f (Y-T)
I =  h(r)
r =  m(M)
dove le variabili sono Y (reddito nazionale), C (consumo), I (investimenti) e r (tasso di interesse), ed i parametri sono M (offerta di moneta), T (l'onere fiscale), e G (spesa del governo). Vogliamo trovare come le variabili cambiano con variazioni nei parametri.

Prendiamo i differenziali:

dY dC + dI + dG
dC =  f ¢(Y-T)(dY - dT)
dI h¢(r)dr
dr m¢(M)dM
Abbiamo bisogno di risolvere per dY, dC, dI, e dr in termini di dM, dT, e dG. Il sistema è troppo grande per usare la regola di Cramer facilmente, ma ha una struttura adatta a procedere passo dopo passo.

Mettendo insieme le ultime due equazioni otteniamo

dI = h¢(r)m¢(M)dM.
Ora sostituite al posto di dI nella prima equazione per ottenere

dY - dC =  h¢(r)m¢(M)dM + dG
 f ¢(Y-T)dY - dC =   f ¢(Y-T)dT
Potete risolvere questo sistema (usando la regola di Cramer) per dY e dC. Per esempio,

dY =
h¢(r)m¢(M)

1- f ¢(Y-T)
dM -
 f ¢(Y-T)

1- f ¢(Y-T)
dT +
1

1- f ¢(Y-T)
dG.
Così, per esempio, se T varia mentre M e G restano costanti (così che dM = dG = 0), allora il tasso di variazione di Y è dato da

Y

T
 =
- f ¢(Y - T)

-  f ¢(Y - T)
cioè, se 0 <  f ¢(z) < 1 per ogni x, allora Y decresce quando T cresce. Ancora, possiamo dedurre che se T e G crescono di una (piccola) quantità uguale allora la variazione in Y è

dY =
-  f ¢(Y - T)

-  f ¢(Y - T)
dT = dT.
Cioè, un eguale (piccolo) aumento di T e G porta ad un aumento di Y della stessa misura.

Esercizi


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