4.3 Esistenza di un punto di ottimo

Introduzione

I problemi di cui ci occupiamo prendono la forma
maxx f (x) con x Î S
dove x = (x1, ..., xn).

Prima di iniziare a pensare a come trovare la soluzione ad un problema, dobbiamo pensare a quando un problema ammetta soluzione. Qui sono elencate alcune specificazioni di  f  e S per le quali il problema non ha alcuna soluzione.

Il problema nel primo caso è che l'insieme S è illimitato; nel secondo caso l'intervallo S è aperto (non contiene i suoi punti di frontiera); mentre nel terzo caso la funzione  f  non è continua. Se S è un intervallo chiuso e limitato e  f  è continua, allora non sorge alcun problema.

Per essere più precisi, abbiamo bisogno di introdurre alcuni concetti.

Alcuni concetti di topologia

Dandovi le definizioni verbali dei seguenti concetti, restringerò l'attenzione agli insiemi bidimensionali, sebbene tutti i concetti si applichino ad insiemi di qualsiasi spazio dimensionale. Sia S un insieme in due dimensioni.

Esempio
L'insieme dei punti interni dell'insieme [ab] è (ab), e i punti di frontiera sono a e b.

Esempio
L'insieme dei punti interni dell'insieme (ab) è (ab), e i punti di frontiera sono a e b. Notate, in particolare, che i punti di frontiera dell'insieme non appartengono ad esso.

Notate che un insieme può essere né aperto e né chiuso, e può essere sia aperto che chiuso (considerate l'insieme di tutti i numeri reali).

Esempio
Dato che i punti di frontiera dell'insieme [ab] sono a e b, questo insieme è chiuso.

Esempio
Dato che l'interno dell'insieme (ab) è (ab), l'insieme stesso, l'insieme è aperto.

Esempio
L'insieme dei punti interni dell'insieme {(xy): x + y £ c, x ³ 0, e y ³ 0} è {(xy): x + y < c, x > 0, e y > 0}, e l'insieme dei punti di frontiera è {(xy): x + y = c, x = 0, o y = 0}. L'insieme è pertanto chiuso.

Esempio
L'insieme [-1, 100] è limitato, dato che è contenuto nell'insieme [-100, 100]. L'insieme [0, ¥) non è limitato, dato che non esiste un intorno di raggio finito che lo contiene.
Per generalizzare tutte queste definizioni ad n dimensioni, sostituite 'intorno' con 'sfera ad n dimensioni'.

Esistenza di un punto di ottimo

Proposizione (Teorema del valore estremo)
Una funzione continua in un insieme compatto ammette sia massimo che minimo nell'insieme.

Notate che questo risultato dà soltanto una condizione sufficiente affinché una funzione ammetta massimo. Se una funzione è continua e definita in un insieme compatto, allora ammette certamente massimo e minimo. Il risultato non include la possibilità che una funzione non continua o non definita in un insieme compatto ammetta massimo e/o minimo. (Tornate alla sezione di logica se non vi è chiaro questo punto.)

Esercizi


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