4.6 Condizioni per le quali un punto stazionario è di ottimo globale

Una variabile

Se  f  è una funzione derivabile concava definita per esempio in un intervallo I, allora  f ²(x£ 0 per ogni x in I, così  f ¢(x) è decrescente in I. Così se  f ¢(c) = 0 (cioè c è un punto stazionario of  f ) e c appartiene all'interno di I allora  f ¢(x) è positiva per x < c e negativa per x > c. Cioè, la funzione è crescente fino a c e poi decrescente, dunque c è un punto di massimo globale. Questo argomento pone le basi per il prossimo risultato.

Proposizione
Sia  f  una funzione derivabile definita nell'intervallo I, e sia x appartenente all'interno di I. Allora
  • se  f  è concava, allora x è un punto di massimo globale per  f  in I se e solo se è un punto stazionario di  f 
  • se  f  è convessa, allora x è un punto di minimo globale per  f  in I se e solo se è un punto stazionario di  f .

Ora, una funzione derivabile due volte è concava se e solo se la sua derivata seconda è non positiva (e simmetricamente per una funzione convessa); ne deriva così il prossimo risultato.

Proposizione
Sia  f  una funzione derivabile definita nell'intervallo I, e sia x un punto interno di I. Allora
  • se  f ²(x£ 0 per ogni x Î I, allora x è un punto di massimo globale per  f  in I se e solo se  f ¢(x) = 0
  • se  f ²(x³ 0 per ogni x Î I, allora x è un punto di minimo globale per  f  in I se e solo se  f ¢(x) = 0.

Esempio
Consideriamo il problema maxx-x2 con x Î [-1,1]. La funzione  f  è concava; il suo unico punto stazionario è 0. Dunque il suo punto di massimo globale è 0.

Esempio
Una impresa in concorrenza paga w per ogni unità di input. Ottiene un ritorno p per ogni unità di output che riesce a vendere. L'output che deriva da x unità di input è Öx. Per quale valore di x è massimo il suo profitto?

Il profitto dell'impresa è pÖx - wx. La derivata di questa funzione è (1/2)px-1/2 - w, e la derivata seconda è -(1/4)px-3/2 £ 0, dunque la funzione è concava. Così il punto di massimo della funzione corrisponde al suo punto stazionario.Il punto di massimo risolve (1/2)px-1/2 - w = 0, quindi x = (p/2w)2.

Che cosa succede se la funzione di produzione è x2?

Più variabili

Il prossimo risultato afferma che una funzione concava giace sempre al di sotto del suo piano tangente, mentre una funzione convessa sta sempre sopra.

Proposizione
Supponiamo che la funzione  f  abbia derivate parziali continue in un insieme aperto convesso S. Allora

  •  f  è concava se e solo se per ogni x Î S e x¢ Î S abbiamo

     f (x-  f (x¢£ åi=1n f i¢(x¢)·(xi - xi¢)

  •  f  è strettamente concava se e solo se la precedente diseguaglianza è stretta per x ¹ x¢
  •  f  è convessa se e solo se per ogni x Î S e x¢ Î S abbiamo

     f (x-  f (x¢³ åi=1n f i¢(x¢)·(xi - xi¢)

  •  f  è strettamente concava se e solo se la precedente diseguaglianza è stretta per x ¹ x¢

Questo risultato significa che qualsiasi punto stazionario è un punto di massimo globale, analogamente al precedente risultato per funzioni di una variabile.

Proposizione
Supponiamo che la funzione  f  abbia derivate parziali continue in un insieme convesso S. Sia x appartenente all'interno di S. Allora
  • se  f  è concava, allora x è punto di massimo globale per  f  in S se e solo se è un punto stazionario per  f 
  • se  f  è convessa, allora x è un punto di minimo globale per  f  in S se e solo se è un punto stazionario per  f .

Come nel caso delle funzioni di una sola variabile, possiamo combinare questo risultato con il precedente caratterizzando le funzioni concave e convesse derivabili due volte per arrivare al prossimo risultato, analogo a quello sulle funzioni di una variabile.

Proposizione
Supponiamo che la funzione  f  abbia derivate parziali continue del primo e secondo ordine in un insieme convesso S. Sia x punto stazionario per  f  nell'interno di S. Chiamiamo l'Hessiano di  f  in x con H(x). Allora
  • se H(x) è semidefinito negativo per ogni x Î S, allora x è un punto di massimo globale per  f  in S
  • se H(x) è semidefinito positivo per ogni x Î S, allora x è un punto di minimo globale per  f  in S.

Siate sicuri di aver notato la differenza tra la forma di questo risultato e quella del risultato sui punti di ottimo locali. Ponendo brevemente assieme i risultati per i punti di massimo:

Condizioni sufficienti per un punto di massimo locale: se x* è un punto stazionario per  f  e l'Hessiano di  f  è definito negativo in x*, allora x* è un punto di massimo locale per  f 
Condizioni sufficienti per un punto di massimo globale: se x* è un punto stazionario per  f  e l'Hessiano di  f  è semidefinito negativo per tutti i valori di x allora x* è un punto di massimo globale per  f .

Esempio
Consideriamo la funzione  f (xy) = x2 + xy + 2y2 + 3, definita nel dominio (-¥¥). Abbiamo

 f ¢x(xy = 2x + y
 f ¢y(xy = x + 4y

e

 f ¢¢xx(xy) = 2,  f ¢¢yy(xy) = 4, e  f ¢¢xy(xy) = 1,

così l'Hessiano di  f  è

 2   1 
 1   4 

che è definito positivo. Perciò  f  è (strettamente) convessa.

L'unica soluzione per le condizioni del primo ordine è (xy) = (0, 0). Dunque il punto di minimo globale della funzione è (0, 0); il minimo valore della funzione è 3.

Esempio
Consideriamo la funzione  f (xy) = x4 + 2y2, definita nel dominio (-¥¥). Abbiamo

 f ¢x(xy = 4x3
 f ¢y(xy = 4y,

allora la funzione ha un solo punto stazionario, (xy) = (0, 0). Abbiamo

 f ¢¢xx(xy) = 12x2,  f ¢¢yy(xy) = 4, e  f ¢¢xy(xy) = 0,

l'Hessiano di  f  è

 12x   0 
 0   4 
.

In (xy) = (0, 0) la matrice è semidefinita positiva, ma non definita positiva. Così non possiamo dire se (0, 0) è un punto di massimo o minimo locale, o nessuno dei due.

Per altri valori di (xy) la matrice non è semidefinita positiva (per esempio, se x < 0 la matrice non è semidefinita positiva), dunque la funzione non è concava. Non possiamo perciò concludere se (0, 0) sia un punto di massimo o di minimo globale.

Insomma, possiamo concludere da questa analisi solo che se la funzione ha un punto di minimo, allora è (0, 0), e se ha un punto di massimo, questo è (0, 0). (In pratica, poiché x4 ³ 0 per ogni x e y2 ³ 0 per ogni y, possiamo vedere che (0, 0) è il punto di minimo globale della funzione.)

Esempio
Consideriamo la funzione  f (x1, x2, x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2x1x2 + 2x1x3, che abbiamo visto essere strettamente convessa in un precedente esempio. Essa ha un unico punto stazionario, (x1, x2, x3) = (0, 0, 0). Perciò il suo unico punto di minimo globale è (0, 0, 0), con una quota pari a 0.

Esempio
Consideriamo un'impresa con funzione di produzione  f , definita nei vettori di input (x1, ..., xn). Assumiamo che  f  sia concava. La funzione di profitto dell'impresa è

p(x1, ..., xn) = p f (x1, ..., xn- åj=1nwjxj
dove p è il prezzo dell'output dell'impresa e wj è il prezzo del j-esimo input. Il secondo termine nella funzione di profitto è lineare, dunque concavo, quindi la funzione p è concava (da un precedente risultato). Il paniere degli input (x1*, ..., xn*) > 0 massimizza il profitto dell'impresa se e solo se p f ¢j(x*) = wj per ogni j (per esempio il valore del prodotto marginale di ogni input  j è uguale al suo prezzo).

Esercizi


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