8.1 Equazioni alle differenze del primo ordine

Una generale equazione alle differenze del primo ordine prende la forma
xt =  f (txt-1) per ogni t.
Possiamo risolvere una tale equazione attraverso operazioni successive: dato x0 abbiamo
x1  =   f (1, x0)
x2  =   f (2, x1) =  f (2,  f (1, x0))
e così via.
In particolare, dato un valore per x0, esiste un'unico tracciato di soluzione x1, x2, ....

Comunque, calcolare la soluzione in questo modo non ci dice molto sulle proprietà della soluzione. Preferiremmo piuttosto avere una formula generale per trovare la soluzione. Se la forma di  f  è semplice, tali formule esistono.

Equazioni alle differenze lineari del primo ordine a coefficiente costante

Una equazione alle differenze del primo ordine a coefficienti costanti prende la forma
xt = axt-1 + bt,
dove bt sono costanti per t = 1, . (Notate che la costante che moltiplica xt-1 è costante, mentre bt può dipendere da t.)

Se usiamo il metodo delle operazioni successive di sopra, troviamo uno schema:

xt = atx0 + åk=1tat-kbk.
Dall'argomento precedente sappiamo che l'equazione ha un unico tracciato di soluzione. Così per verificare che questa formula ci da l'unica soluzione basta vedere se soddisfa l'equazione originale. Abbiamo
axt-1 + bt  = a(at-1x0 + åk=1t-1at-1-kbk) + bt
= atx0 + åk=1t-1at-kbk + bt
= atx0 + åk=1tat-kbk
= xt,
che verifica che la soluzione è corretta.

Proposizione
Per valori dati di x0, l'unica soluzione dell'equazione alle differenze

xt = axt-1 + bt,

è

xt = atx0 + åk=1tat-kbk.

Nel caso speciale che bk = b per ogni k = 1,... abbiamo

xt = atx0 + båj=0t-1ajb.
Ora, la somma di serie geometriche finite 1 + a + a2 + ... + at-1 è data da
1 + a + a2 + ... + an-1 = (1-an)/(1-a).
se a ¹ 1. Abbiamo quindi
xt = atx0 + b·(1 - at)/(1 - a)
se a ¹ 1.

Proposizione
Per valori dati di x0, l'unica soluzione dell'equazione alle differenze

xt = axt-1 + b,

dove a ¹ 1, è

xt = at(x0 - b/(1 - a)) + b/(1 - a).

Equilibrio

In generale, dato il punto di partenza x0, il valore di xt varia con t. Vi sono valori di x0 per i quali xt non varia? Si: chiaramente se
x* = b/(1 - a),
allora xt è costante, pari a b/(1 - a).

Chiamiamo x* il valore di equilibrio per x. Possiamo riscrivere la soluzione come

xt = at(x0 - x*) + x*.

Comportamento qualitativo

Il comportamento qualitativo del tracciato soluzione dipende dal valore di a.
½a½ < 1
xt converge verso x*: la soluzione è stabile. Vi sono due sottocasi:
0 < a < 1
Convergenza monotonica.
-1 < a < 0
Oscillazioni smorzate.
½a½ > 1
Divergenza:
a > 1
Esplosione.
a < -1
Oscillazioni esplosive.

Esempio
Supponiamo che la domanda dipenda dal prezzo corrente:

Dt = g - dpt,

mentre l'offerta dal prezzo precedente:

St = (pt-1 - a)/2b.

(Forse il ritardo esiste perché la produzione necessita di tempo (pensate alla produzione agricola).) Notate che queste equazioni possono non essere valide per ogni valore di pt e pt-1: Dt e St devono essere entrambe non negative. I seguenti argomenti assumono che pt sia compreso nell'intervallo per cui le equazioni sono valide.

Per avere un equilibrio al tempo  t deve essere Dt = St, che da l'equazione alle differenze

pt = -(1/2bd)pt-1 + (a + 2bg)/2bd.

Il prezzo di equilibrio è dato da

p* = (a + 2bg)/(1 + 2bg),

quindi possiamo scrivere la soluzione come

pt = p* + (-1/2bg)t(p0 - p*).

L'equilibrio è stabile se

2bd > 1.

Un tracciato di soluzione per tali parametri è mostrato nella seguente figura.

(Se il sistema è instabile, allora eventualmente si raggiunge una frontiera, e le equazioni che determinano Dt e St di sopra non sono più valide.)

Nell'esempio precedente bt è indipendente da t. Nei prossimi due esempi bt dipende da t.
Esempio
Avete un patrimonio di $z0. Potete ottenere un reddito costante r su questo patrimonio. (Cioè, dopo t anni avrete (1 + r)tz0 se non consumate nulla di questo patrimonio.) L'inflazione è pari a i, dove i < r. In ogni periodo  t ³ 1 ritirate una somma di denaro equivalente al potere di acquisto di y al periodo  1. (Cioè, ritirate y(1 + i)t-1 in ogni periodo  t.)

  • Quanto durerà il vostro patrimonio se r = 0.08, i = 0.04, y = $50,000, e z0 = 1,000,000?
  • Quanto deve valere il vostro patrimonio per durare per 30 anni di prelievi se ritirate $80,000 all'anno (con r = 0.08 e i = 0.04)?

Abbiamo

zt = (1 + r)zt-1 - (1 + i)t-1y,

dunque

zt  = (1 + r)tz0 - åk=1t(1 + r)t-k(1 + i)k-1y
= (1 + r)tz0 - y(1 + r)t-1[1 - ((1 + i)/(1 + r))t]/[1 - (1 + i)/(1 + r)]
= (1 + r)tz0 - y(1 + r)t[1 - ((1 + i)/(1 + r))t]/(r - i)
= (1 + r)t[z0 - y(1 - ((1 + i)/(1 + r))t)/(r-i)].

Quindi il vostro patrimonio dura fino al periodo  t per cui

z0 = (y/(r-i))(1 - ((1 + i)/(1 + r))t).

Perciò

t =
log(1-(r-i)z0/y)

log((1 + i)/(1 + r))
.

Così nell'esempio abbiamo t = 42.6 anni. L'ammontare di denaro di cui avete bisogno per farlo durare per 30 anni con un prelievo pari a $80,000 all'anno è z0 = $1,355,340. (Se guardate l'andamento del vostro patrimonio totale, notate che prima cresce e poi gradualmente decresce.)

Equazioni alle differenze lineari del primo ordine a coefficiente variabile

La soluzione dell'equazione
xt = atxt-1 + bt.
può esser trovata, come prima, attraverso successive operazioni. Otteniamo
xt = (Ps=1tas)x0 + åk=1t(Ps=k+1tas)bk
dove un prodotto con nessun termine (e.g. da t+1 a t) è 1.

(Nel libro vi è un esempio di interesse composto per il caso con tasso di interesse variabile.)

Esercizi


Copyright © 1997-2000 by Martin J. Osborne