6.2 Ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza: la necessarietà delle condizioni di Kuhn-Tucker

Abbiamo visto che una soluzione per un problema di ottimizzazione con vincoli di uguaglianza è necessariamente un punto stazionario della Lagrangiana solo se una nondegeneracy condition (Ñg(x*) ¹ 0 nel caso di un unico vincolo g(x) = c)) è soddisfatta. In un problema di ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza una correlata nondegeneracy condition necessita di essere soddisfatta affinché una soluzione soddisfi necessariamente le condizioni di Kuhn-Tucker. Tre potenti forme alternative di questa condizione sono date nel seguente risultato.

Proposizione
Supponiamo che x* sia soluzione del problema

maxx f (x) con gj(x£ cj per j = 1, ..., m

dove  f  e ogni gj siano derivabili e continue. Supponiamo poi che

  • ogni funzione gj sia concava oppure
  • ogni gj sia convessa ed esista un certo x tale che gj(x) < cj per j = 1, ..., m oppure
  • ogni gj sia quasiconvessa, Ñgj(x*) ¹ (0,...,0) per ogni j, ed esista un certo x tale che gj(x) < cj per j = 1, ..., m.
Allora esistono dei valori li per i = 1, ..., m tali che (x*,l) soddisfa le condizioni di Kuhn-Tucker.

Notate: Una funzione lineare è concava, dunque le condizioni nel risultato sono soddisfatte se ogni funzione vincolo gj è lineare.

Un modo in cui le condizioni del risultato possono essere indebolite è a volte utile: le condizioni per le funzioni vincolo devono essere soddisfatte solo dai vincoli j per cui gj(x*) = cj.


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