1.2 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari
Si consideri un sistema di due equazioni lineari in due variabili x e y:
Ci sono tre modi per determinare x e y.
- Si isoli una delle variabili in una delle equazioni e si sostituisca il risultato all'interno dell'altra equazione. Per esempio, dalla seconda equazione risulta
y = (v - cx)/d.
Sostituendo questa espressione in y nella prima equazione ne deriva
ax + b(v - cx)/d = u,
che può essere scritto come
(a - bc/d)x + bv/d = u,
quindi
o meglio
Per trovare y usiamo il fatto che y = (v - cx)/d, in modo da arrivare a
- Usiamo la regola di Cramer. Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale
Per la regola di Cramer, le soluzioni sono date da
x = |
 |
u |
b |
 |
v |
d |
|
|
|
|
ad - bc |
|
e
y = |
 |
a |
u |
 |
c |
v |
|
|
|
|
ad - bc |
|
(dove ad - bc č il determinante della matrice ottenuta rappresentando in forma matriciale le equazioni, e la matrice al numeratore di ogni espressione si ottiene inserendo al posto della colonna nella matrice al membro di sinistra della (*) che corrisponde alla variabile per la quale si sta cercando la soluzione il vettore-colonna al membro di destra dalla (*)), oppure
e
- Scriviamo le due equazioni in forma matriciale
(come quando si usa la regola di Cramer) e risolviamo invertendo la matrice al membro di sinistra. L'inversa di questa matrice č
|
|
 |
d |
-b |
 |
-c |
a |
|
|
cosė abbiamo
quindi
e
Quale dei tre metodi sia il "migliore" dipende da molti fattori, inclusa la vostra abilità di ricordare la regola di Cramer e/o l'inversione di una matrice. Se si deve risolvere soltanto per una delle variabili, la regola di Cramer è particolarmente conveniente (se riuscite a ricordarla!).
Per un sistema con più di due variabili, i tre metodi sono ugualmente validi. Il primo, tuttavia, risulta abbastanza laborioso, e a meno che non siate esperti a invertire matrici, la regola di Cramer probabilmente sarà la vostra miglior scelta.
Matrice inversa
L'inversa di una matrice 2 ´ 2
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a |
b |
 |
c |
d |
|
è
|
 |
d |
-b |
 |
-c |
a |
|
. |
(Si noti che ad - bc è il determinante della matrice.)
Per trovare l'inversa di una matrice 3 ´ 3
 |
a |
b |
c |
 |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
|
per prima cosa calcolate il determinante, dato da
D = a(ei - h f ) - b(di - g f ) + c(dh - eg).
Quindi l'inversa è data da
|
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D11 |
-D12 |
D13 |
 |
-D21 |
D22 |
-D23 |
D31 |
-D32 |
D33 |
|
dove Dij è il determinante della matrice 2 ´ 2 che si ottiene cancellando la i-esima colonna e la j-esima riga della matrice 3 ´ 3 originale. Cioè, D11 =
ei - h f , D12 = bi - ch, D13 = b f - ec, D21 =
ei - f g, D22 = ai - cg, D23 = a f - dc, D31 =
dh - eg, D32 = ah - bg, e D33 = ae - db.
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