4.3 Esistenza di un punto di ottimo
Introduzione
I problemi di cui ci occupiamo prendono la forma
maxx f (x) con x Î S
dove x = (x1, ..., xn).
Prima di iniziare a pensare a come trovare la soluzione ad un problema, dobbiamo pensare a quando un problema ammetta soluzione. Qui sono elencate alcune specificazioni di f e S per le quali il problema non ha alcuna soluzione.
- f (x) = x, S = [0, ¥) (i.e. S è l'insieme di tutti i numeri reali non negativi). In questo caso, f cresce senza limite, e non raggiunge mai un massimo.
- f (x) = x, S = (0, 1). In questo caso, i punti 0 e 1 sono esclusi da S (che è un intervallo "aperto", come indicato dalle parentesi). Come x si avvicina ad 1, il valore della funzione si avvicina ad 1, ma questo valore non si raggiunge mai per valori di x in S, perché S esclude x = 1.
- f (x) = x se x < 1/2 e f (x) = x - 1 se x ³ 1/2; S = [0, 1]. In questo caso, come x si avvicina ad 1/2 il valore della funzione tende ad 1/2, ma questo valore non si raggiunge mai, poiché in
x = 1/2 la funzione salta giù a -1/2.
Il problema nel primo caso è che l'insieme S è illimitato; nel secondo caso l'intervallo S è aperto (non contiene i suoi punti di frontiera); mentre nel terzo caso la funzione f non è continua. Se S è un intervallo chiuso e limitato e f è continua, allora non sorge alcun problema.
Per essere più precisi, abbiamo bisogno di introdurre alcuni concetti.
Alcuni concetti di topologia
Dandovi le definizioni verbali dei seguenti concetti, restringerò l'attenzione agli insiemi bidimensionali, sebbene tutti i concetti si applichino ad insiemi di qualsiasi spazio dimensionale. Sia S un insieme in due dimensioni.
- Un punto x è un punto interno di S se esiste un intorno con centro in x che sia sottoinsieme di S.
- Un punto x è un punto di frontiera di S se ogni intorno che contiene x contiene sia punti di S che punti esterni ad S.
- Esempio
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L'insieme dei punti interni dell'insieme [a, b] è (a, b), e i punti di frontiera sono a e b.
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- Esempio
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L'insieme dei punti interni dell'insieme (a, b) è (a, b), e i punti di frontiera sono a e b. Notate, in particolare, che i punti di frontiera dell'insieme non appartengono ad esso.
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- L'insieme S è chiuso se ogni punto di frontiera di S appartiene ad S.
- L'insieme S è aperto se ogni punto appartenente ad S è un punto interno ad S.
Notate che un insieme può essere né aperto e né chiuso, e può essere sia aperto che chiuso (considerate l'insieme di tutti i numeri reali).
- Esempio
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Dato che i punti di frontiera dell'insieme [a, b] sono a e b, questo insieme è chiuso.
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- Esempio
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Dato che l'interno dell'insieme (a, b) è (a, b), l'insieme stesso, l'insieme è aperto.
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- Esempio
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L'insieme dei punti interni dell'insieme {(x, y): x + y £ c, x ³ 0, e y ³ 0} è {(x, y): x + y < c, x > 0, e y > 0},
e l'insieme dei punti di frontiera è {(x, y): x + y = c, x = 0, o y = 0}. L'insieme è pertanto chiuso.
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- L'insieme S è limitato se è contenuto in un intorno di raggio finito.
- L'insieme S è compatto se è chiuso e limitato.
- Esempio
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L'insieme [-1, 100] è limitato, dato che è contenuto nell'insieme [-100, 100]. L'insieme [0, ¥) non è limitato, dato che non esiste un intorno di raggio finito che lo contiene.
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Per generalizzare tutte queste definizioni ad n dimensioni, sostituite 'intorno' con 'sfera ad n dimensioni'.
Esistenza di un punto di ottimo
- Proposizione (Teorema del valore estremo)
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Una funzione continua in un insieme compatto ammette sia massimo che minimo nell'insieme.
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Notate che questo risultato dà soltanto una condizione sufficiente affinché una funzione ammetta massimo. Se una funzione è continua e definita in un insieme compatto, allora ammette certamente massimo e minimo. Il risultato non include la possibilità che una funzione non continua o non definita in un insieme compatto ammetta massimo e/o minimo. (Tornate alla
sezione di logica se non vi è chiaro questo punto.)
Esercizi
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