Un'impresa impiega due input per produrre un singolo output. La sua funzione di produzione è
f (x, y) = xayb,
Il prezzo dell'output è p e i prezzi degli input sono wx e wy. L'impresa è vincolata da un processo produttivo che la obbliga ad usare esattamente lo stesso numero di unità per entrambi gli input.
Il problema dell'impresa è dunque
maxx,y [pxayb - wxx - wyy] con y
- x = 0.
(L'impresa è anche vincolata dalle condizioni x ³ 0 e y ³ 0, ma ignoriamo questi vincoli per il momento.)
La Lagrangiana è
L(x,y) = pxayb - wxx - wyy -
l(y - x)
le condizioni del primo ordine sono
apxa-1yb - wx + l |
= |
0 |
bpxayb-1 - wy - l |
= |
0 |
e il vincolo è y = x. Queste equazioni hanno una sola soluzione:
x = y = ((wx + wy)/(p(a + b)))1/(a+b-1)
e
l = (bwx - awy)/(a + b).
Non esistono valori di (x, y) per i quali g1¢(x, y) = g2¢(x, y) = 0, così se il problema ammette soluzione essa è la soluzione della condizione del primo ordine.
Perciò, dato che l misura il tasso di crescita del valore massimo della funzione obiettivo al crescere del vincolo, segue che se l > 0 allora l'impresa preferirebbe che il vincolo aumentasse: il suo profitto sarebbe maggiore se il vincolo fosse y - x =
e, per un certo e > 0.
Supponiamo che bwx > awy, così l > 0. L'impresa vorrebbe utilizzare una maggiore quantità dell'input y rispetto a x. Un ispettore governativo fa capire che in cambio di una bustarella, sarebbe disposto a sorvolare su una piccola variazione del vincolo:
permetterebbe all'impresa di usare una piccola quantità in più di y rispetto a x. Supponiamo che il vincolo sia elevato a y - x = e. La massima tangente che l'impresa è disposta a offrire è pari all'aumento del suo profitto massimizzato, che è approssimativamente
el = e(bwx - awy)/(a + b). Questa quindi è la massima tangente che l'impresa è disposta a pagare. (Se
wx = wy = 1, a = 1/4, e b = 1/2, per esempio, la massima tangente è e/3.)