4.4 Una condizione necessaria per un punto di ottimo interno

Una variabile

Dai vostri precedenti studi in matematica, probabilmente sapete che se la funzione  f  di una sola variabile è derivabile allora c'è una relazione tra la soluzione del problema
maxx f (x) con x Î [a,b]
e i punti nei quali la derivata prima di  f  si annulla. Qual è precisamente questa relazione?

Chiamiamo un punto x tale che  f ¢(x) = 0 un punto stazionario di  f . Consideriamo i casi delle tre figure.

Ne deduciamo che Cioè, la condizione di stazionarietà è condizione necessaria sufficiente per risolvere il problema. Allora quale è la relazione tra i punti stazionari e i punti di massimo?

Sebbene un punto di massimo possa non essere un punto stazionario, l'unico caso in cui non lo è si ha quando esso è uno dei punti di frontiera dell'intervallo [a,b] in cui  f  è definita. Cioè, qualsiasi punto interno a questo intervallo che sia un punto di massimo deve essere un punto stazionario.

Proposizione
Sia  f  una funzione derivabile di una sola variabile definita nell'intervallo [ab]. Se x Î (ab) è un punto di massimo o minimo locale o globale di  f  allora  f ¢(x) = 0.

Questo risultato ci dà una condizione necessaria affinché x sia punto di massimo (o minimo) per  f : se è un punto di massimo (o minimo) e si trova tra a e b allora x è un punto stazionario per  f . La condizione ovviamente non è sufficiente per essere un punto di massimo---la condizione è anche soddisfatta per esempio, per i punti che sono di minimo. Poiché la derivata prima vi compare, ci riferiamo alla condizione come condizione del primo ordine.

In sintesi, tra tutti i punti nell'intervallo [a,b], solo a, b, e i punti stazionari di  f  possono essere punti di massimo di  f . Dato che la maggior parte delle funzioni hanno un numero relativamente piccolo di punti stazionari, un ragionevole modo per individuare i punti di massimo è il seguente:

Esempio
Consideriamo la funzione  f (x) = x2 nell'intervallo [-1, 2]. Abbiamo  f ¢(x) = 2x, così la funzione ha un solo punto stazionario, x = 0;  f (0) = 0. Il valore di  f  nei punti di frontiera dell'intervallo su cui essa è definita sono  f (-1) = 1 e  f (2) = 4. Così il punto di massimo globale della funzione su [-1, 2] è x = 2 e il punto di minimo globale è x = 0.

Più variabili

Consideriamo un massimo (locale o globale) di una funzione di due variabili.Partendo da questo massimo la funzione deve decrescere in ogni direzione (altrimenti il punto non sarebbe un massimo!). In particolare, il massimo deve essere un massimo lungo una linea parallela all'asse delle x e un massimo lungo una linea parallela all'asse delle y. Perciò, dati i nostri studi per le funzioni di una sola variabile, nel punto di massimo la derivata parziale rispetto ad x deve essere zero, e lo stesso vale per la derivata parziale rispetto a y. Estendendo questa idea in uno spazio a più dimensioni abbiamo il seguente risultato, dove  f i¢ è la derivata parziale di  f  rispetto a xi.

Proposizione
Sia  f  una funzione derivabile di più variabili definita nell'insieme S. Se x = (x1, ..., xn) è nell'interno di S ed è un punto di massimo o minimo locale o globale per  f  allora

 f i¢(x) = 0 per ogni i.
Come per l'
analogo risultato per le funzioni di una sola variabile, questo risultato ci offre una condizione necessaria per un massimo (o minimo): se un vettore (x1, ..., xn) è un punto di massimo allora la condizione deve essere soddisfatta. Come prima, la condizione viene detta condizione del primo ordine. Qualsiasi punto in cui tutte le derivate parziali di  f  si annullano è un punto stazionario di  f .

Come per le funzioni di una sola variabile, il risultato ci dice che gli unici punti che possono essere punti di massimo globale sono sia punti stazionari sia punti di frontiera dell'insieme S. Così il seguente metodo localizza tutti i punti di massimo e di minimo globali di una funzione derivabile:

Questo metodo è molto meno utile che l'analogo metodo per le funzioni di una sola variabile perché può essere difficile trovare i valori più piccoli e più grandi di  f  nella frontiera di S (mentre è facile trovare i valori di una funzione di una sola variabile nei punti di frontiera dell'intervallo su cui è definita). Per questa ragione, nelle prossime due sezioni rivolgiamo una considerevole attenzione ad altri metodi migliori per individuare massimi e minimi nei problemi di ottimizzazione con i vincoli.

Comunque, per alcuni problemi il metodo può essere di facile applicazione, come dimostra il seguente esempio.

Esempio
Consideriamo i problemi

max x2 + y2 + y - 1 con x2 + y2 £ 1
e

min x2 + y2 + y - 1 con x2 + y2 £ 1.

In entrambi i casi l'insieme vincolo è S = {(xy): x2 + y2 £ 1}, così S è compatto. La funzione obiettivo è continua, dunque per il Teorema del Valore Estremo il problema ammette soluzione.

Applichiamo il metodo come segue.

  • Abbiamo  f 1¢(xy) = 2x e  f 2¢(xy) = 2y + 1, dunque i punti stazionari sono le soluzioni di 2x = 0 e 2y + 1 = 0. Così la funzione ha un solo punto stazionario, (xy) = (0, -1/2); abbiamo  f (0, -1/2) = -5/4.
  • La frontiera di S è l'insieme dei punti (xy) tali che x2 + y2 = 1. Così per un punto (xy) nella frontiera abbiamo  f (xy) = x2 + 1 - x2 + y - 1 = y. Abbiamo -£ y £ 1 nella frontiera, quindi il massimo della funzione nella frontiera è 1, raggiunto in (xy) = (0, 1) e il minimo è -1, raggiunto in (xy) = (0, -1). [Notate che il ragionamento è corretto in quanto abbiamo espresso il valore della funzione nella frontiera del suo dominio in termini di una sola variabile (y).]
  • Osservando tutti i valori che abbiamo trovato, vediamo che il massimo globale di  f  è 1, in (0, 1) e il minimo globale è -5/4, in (0, -1/2).

Esercizi


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