x¢(t) + a(t)x(t) = b(t) per ogni tper alcune funzioni a e b.
x¢(t) + ax(t) = b(t) per ogni t.Se il lato sinistro fosse la derivata di una qualche funzione e potessimo calcolare l'integrale di b, allora potremmo risolvere l'equazione integrando entrambi i lati. Ora, il lato sinistro sembra qualcosa come la derivata di un prodotto. Ma affinché esso sia esattamente la derivata di un prodotto della forma f (t)x(t) dovrebbe essere f (t) = 1 and f ¢(t) = a per ogni t, che chiaramente è impossibile.
Ma ora supponiamo di moltiplicare entambi i lati per g(t) per ogni t. Avremo quindi
g(t)x¢(t) + ag(t)x(t) = g(t)b(t) per ogni t.Affinché il lato sinistro di questa equazione sia la derivata di un prodotto di forma f (t)x(t) deve essere f (t) = g(t) e f ¢(t) = ag(t). Esiste qualche funzione f con questa proprietà? Si! Se f (t) = eat, allora f ¢(t) = aeet = a f (t).
Così se poniamo g(t) = eat, in modo tale da avere
eatx¢(t) + aeatx(t) = eatb(t),allora l'integrale del lato sinistro è
eatx(t),e perciò la soluzione dell'equazione è data da
eatx(t) = C + òteasb(s)ds,(dove òt f (s)ds è, come prima, l'integrale indefinito di f (s) calcolato in t), o
x(t) = e-at[C + òteasb(s)ds].Siccome moltiplicare l'equazione originale per eat ci permette di integrare il lato sinistro, chiamiamo eat il fattore di integrazione.
Se b(t) = b per ogni t, allora questa soluzione si semplifica e diventa
x(t) = Ce-at + b/a.
Osservando l'equazione originale vediamo che x¢(t) = 0 se e solo se x(t) = b/a. Questo valore di x(t) è dunque lo stato di equilibrio o stato stazionario dell'equazione: se x(t) = b/a per qualche t allora x resta uguale a b/a per ogni valore di t (poiché x¢(t) = 0).
Guardando la soluzione vediamo che quando t cresce l'andamento qualitativo del sistema dipende dal segno di a. Se a > 0, allora x(t) tende a b/a, l'equilibrio, e la soluzione è stabile; se a < 0, allora la soluzione è instabile.
|
|
x¢(t) + a(t)x(t) = b(t),dove a non è costante. In questo caso un fattore di integrazione può soddisfare la condizione f (t) = g(t) e f ¢(t) = a(t)g(t) per ogni t. La funzione eòta(s)ds ha questa proprietà. Moltiplicando per quasto fattore, l'equazione è
eòta(s)dsx¢(t) + a(t)eòta(s)dsx(t) = eòta(s)dsb(t),o
(d/dt)[x(t)eòta(s)ds] = eòta(s)dsb(t).(Ricordate che la derivata di un integrale indefinito è la funzione integranda stessa.) Così
x(t)eòta(s)ds = C + òteòua(s)dsb(u)du,o
x(t) = e-òta(s)ds[C + òteòua(s)dsb(u)du].La soluzione generale dell'equazione
x¢(t) + a(t)x(t) = b(t),è
x(t) = e-òta(s)ds[C + òteòua(s)dsb(u)du].
|