7.3 Equazioni differenziali: teoria qualitativa e stabilità delle soluzioni

Spesso siamo interessati non tanto all'esatta forma della soluzione di un'equazione differenziale, ma piuttosto solamente alle proprietà qualitative di tale soluzione. In economia, infatti, le equazioni differenziali che compaiono nei nostri modelli spesso contengono funzioni la cui forma non viene esplicicitata specificatamente, così non è richiesto di trovare soluzioni esplicite. Un metodo per studiare le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale è costruire un diagramma di fase. Discuterò questa tecnica per la classe delle equazioni differenziali "autonome".

Equazioni autonome

Un'equazione differenziale del primo ordine è autonoma se prende la forma x¢(t) = F (x(t)) (cioè il valore di x¢(t) non dipende solo dalla variabile t).

Uno stato di equilibrio di una tale equazione è un valore di x per cui F (x) = 0. (Se F (x) = 0, allora x¢(t) = 0, dunque il valore di x non cambia.)

Un diagramma di fase indica la direzione verso cui x sta cambiando per un insieme "rappresentativo" di valori di x. Per costruire un tale diagramma, disegniamo la funzione F , che ci da i valori di x¢. Per valori di x in cui il grafico di F  sta sopra l'asse delle x abbiamo x¢(t) > 0, così x è crescente; per valori di x per cui il grafico sta sotto l'asse delle x abbiamo x¢(t) < 0, così x è decrescente. Un valore di x per cui F (x) = 0 è uno stato di equilibrio.

Diciamo che un equilibrio x* è (localmente) stabile se, dopo un piccolo spostamento da esso, il valore di x tende a x*. Dal diagramma di fase possiamo vedere che

Nell'esempio della prossima figura, ci sono tre stati di equilibrio, a, b, e c. Le freccie nell'asse delle x indicano la direzione verso cui x sta cambiando per ogni possibile valore di x.

Vediamo che l'equilibrio b è stabile, mentre gli equilbri a e c sono instabili.

Esempio
Consideriamo l'equazione

x¢(t) + ax(t) = b

con a ¹ 0. Questa equazione ha un unico equilibrio, x = b/a; questo equilibrio è stabile se a > 0 e instabile se a < 0. (Abbiamo precedentemente trovato la soluzione di questa equazione esplicitamente: x(t) = Ce-at + b/a.)

Esempio
Il modello seguente è il modello di Solow per la crescita economica. C'è una funzione di produzione strettamente crescente e strettamente concava F , di due variabili, K (stock di capitale) e L (lavoro). Assumiamo che F  sia omogenea di grado 1 (in termini economici, ha "rendimenti di scala costanti").

Una frazione costante s di output viene "risparmiata", e impiegata in aumento dello stock di capitale. Così lo stock di capitale varia in relazione all'equazione differenziale

K¢(t) = sF (K(t), L(t))

La forza lavoro cresce ad un tasso costante l, così che

L¢(t)/L(t) = l.

Ora, sia k = K/L e definiamo la funzione  f  con

 f (k) = F (k, 1).

Dato che F  è crescente e concava abbiamo  f ¢ > 0 e  f ¢¢ < 0, e dato che essa è omogenea di grado 1 abbiamo

F (KL) = LF (K/L, 1) = L f (k).

Segue che

K¢(t) = sL f (k).

Ora,

k¢(t) = [K¢(t)L(t- K(t)L¢(t)]/(L(t))2 = [K¢(t- k(t)L¢(t)]/L(t)

così

k¢(t) = s f (k(t)) - lk(t).

Il diagramma di fase di questa equazione è riportato nella seguente figura.

Vediamo che ci sono due equilibri, uno in cui k* = 0, instabile, ed uno in cui s f (k*) = lk*, che invece è stabile.

Esercizi


Copyright © 1997-2002 by Martin J. Osborne