1.3 Nozioni di analisi matematica
Preliminari
Il valore f ¢(a) della derivata della funzione f nel punto a è la pendenza della tangente alla funzione in a. Precisamente, consideriamo la "retta secante" passante per (a, f (a)) e per (a + h, f (a + h)) nella
figura seguente.
Allora la retta ha pendenza ( f (a + h) - f (a))/h. La derivata di f in a viene definita come il limite (se esso esiste) di questa pendenza quando h tende a zero.
- Definizione
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La funzione f è derivabile in a se limh®0( f (a + h) - f (a))/h esiste. In tal caso questo limite è la derivata
della funzione f in a, che denotiamo con f ¢(a).
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Un esempio di una funzione che non è derivabile in un punto è dato dalla seguente figura.
La funzione f nella figura non è derivabile in a, perché la pendenza della secante passante per (a, f (a)) e per (a + h, f (a + h)) è molto diversa per h > 0 e per h < 0, anche quando h è arbitrariamente piccolo, cioè
limh®0( f (a + h) - f (a))/h non esiste.
In tutti quei punti nei quali una funzione ha uno "spigolo", essa non sarà derivabile.
La derivata di f in a viene spesso indicata in questo modo (d f /dx)(a).
Regole di derivazione
Funzioni specifiche:
- f (x) = k: f ¢(x) = 0.
- f (x) = kxn: f ¢(x) = knxn-1.
- f (x) = log x: f ¢(x) = 1/x
- f (x) = ex: f ¢(x) = ex
- f (x) = cos x: f ¢(x) = -sin x
- f (x) = sin x: f ¢(x) = cos x
- f (x) = tan x: f ¢(x) = 1 + (tan x)2
Tre regole generali (molto importanti!):
- Somma
- F (x) = f (x) + g(x): F ¢(x) = f ¢(x) + g¢(x)
- Prodotto
- F (x) = f (x)g(x): F ¢(x) = f ¢(x)g(x) + f (x)g¢(x)
- Quoziente
- F (x) = f (x)/g(x): F ¢(x) = [ f ¢(x)g(x) -
f (x)g¢(x)]/(g(x))2
Si noti che sapendo che la derivata di (g(x))n è n(g(x))n-1g¢(x) (un'implicazione della "regola di derivazione delle funzioni composte", di cui parliamo in seguito), la regola del quoziente segue direttamente dalla regola del prodotto: se
scriviamo f (x)/g(x) come f (x)(g(x))-1 allora la regola del prodotto implica che la derivata sia
f ¢(x)(g(x))-1 - f (x)(g(x))-2g¢(x)),
che è uguale a ( f ¢(x)g(x) - f (x)g¢(x))/(g(x))2.
- Esempio
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Sia F (x) = x2 + log x. Dalla regola della somma, troviamo F ¢(x) = 2x + 1/x.
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- Esempio
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Sia F (x) = x2log x. Dalla regola del prodotto, F ¢(x) = 2xlog x + x2/x = 2xlog x + x.
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- Esempio
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Sia F (x) = x2/log x. Dalla regola del quoziente, F ¢(x) = [2xlog x - x2/x]/(log x)2 =
[2xlog x - x]/(log x)2.
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Funzioni continue
Una funzione è continua se il suo grafico non ha "salti", così che può esserne tracciato il grafico senza staccare la penna dal foglio. Ma vediamo una definizione precisa.
- Definizione
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La funzione f è continua nel punto a se limx®a f (x) = f (a) (cioè se f (x) tende a f (a) quando x tende ad a).
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La figura sottostante mostra una funzione che non è continua. Il valore di tale funzione in a è f (a), che è molto più grande del valore che la funzione stessa assume in ogni punto leggermente maggiore di a.
Se una funzione è derivabile in a allora è anche continua in a; ma essa può essere continua in a e non derivabile in a, come abbiamo visto.
Se f e g sono entrambe continue, allora lo sono anche f + g e f ·g nonché f /g in ogni punto a dove g(a) ¹ 0.
Inoltre, ( f (x))k è continua in a per tutti i valori di k in cui ( f (a))k è definita. E se f e g sono continue, allora lo è pure f (g(x)).
In particolare, tutti i polinomi (funzioni della forma a0 + a1x + a2x2 + ... + akxk per dei numeri k e
a0, ..., ak) sono funzioni continue.
Il prossimo risultato rileva un'importante proprietà delle funzioni continue. Esso afferma che se una funzione f è continua, ed è definita per ogni valore compreso tra a e b, allora per ogni z compreso tra f (a) e f (b) esiste un x tale che f (x) = z.
- Proposizione
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[Teorema del valor medio]
Se f è continua nell'intervallo chiuso [a,b] e f (a) ¹ f (b), allora al variare di x, f (x) assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b).
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In particolare, se f (a) è positivo e f (b) negativo, avremo f (x) = 0 per qualche x.
- Esempio
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Si consideri la funzione f (x) = x4 - 4x2 + 2. L'equazione f (x) = 0 ammette soluzioni tra 0 e 1? La funzione è un polinomio, quindi è continua. Abbiamo f (0) = 2 e
f (1) = -1, così il Teorema del Valor Medio implica che la risposta al quesito sia affermativa: per qualche valore di x compreso tra 0 e 1 deve valere f (x) = 0.
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Integrazione
Integrali definiti
L'integrale ("definito") della funzione f da a a b, in simboli
òba f (z)dz,
è definito come l'area compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di f , da a a b.
Note:
- Se f (x) < 0 per qualche x compreso tra a e b, allora le aree corrispondenti (in rosso nella figura sopra) contano negativamente nel calcolo dell'integrale.
- Definiamo "area" il limite, se esiste, dell'approssimazione consistente in una somma delle aree di piccoli rettangoli. Se il limite non esiste, la funzione "non è integrabile".
- Si noti che la variabile z è una variabile libera e può essere rimpiazzata da un'altra variabile. A volte viene omessa in blocco, e l'integrale viene scritto semplicemente come òba f .
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale mostra che integrazione e derivazione sono, in un certo senso, operazioni inverse.
- Proposizione
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[Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale]
Si definisca la funzione F nell'intervallo [a, b] data da
F (x) = òxa f (z)dz.
Se f è continua nel punto c interno ad [a, b], allora F è derivabile in c e
F ¢(c) = f (c).
Similmente, definita la funzione G nell'intervallo [a, b] data da
G(x) = òbx f (z)dz,
se f è continua nel punto c interno ad [a, b], allora G è derivabile in c e
G¢(c) = - f (c).
Se f è continua in [a, b] e f = g¢ per una qualsiasi funzione g, allora
òba f (z)dz = g(b) - g(a).
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Integrazione indefinita
Il simbolo
ò f (x)dx,
si chiama integrale indefinito di f e denota l'insieme di funzioni g per cui togli l'apostrofo g¢ = f . Ma perché parliamo di "insieme"? Perché se g¢(z) = f (z) per ogni z, allora per qualche funzione h con h(z) = g(z) +
c, dove c è una costante, avremo h¢(z) = f (z) per ogni z. Per ricordare questa costante, a volte scriviamo una notazione di questo tipo : "ò2x dx = x2 + c", che sta a significare che la derivata della funzione
x2 + c, per qualsiasi valore di c, è 2x.
Abbiamo, per esempio,
òxndx = xn + 1/(n+1) + c
e
òexdx = ex + c
e
ò(1/x)dx = ln ½x½ + c
Integrazione per parti
A volte possiamo calcolare l'integrale indefinito di un prodotto di due funzioni usando l'identità
ò f (x)g¢(x)dx = f (x)g(x) - ò f ¢(x)g(x)dx.
- Esempio:
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òxexdx = xex - òexdx =
xex - ex + c. Per verificarlo provate a derivare!
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Derivate parziali
Se f (x1, ..., xn) è una funzione di più variabili, la derivata parziale di f rispetto a xi è la derivata di f rispetto a xi mantenendo
fisso il valore delle altre variabili. Questa derivata si scrive come: f ¢i(x1, ..., xn), o a volte
(¶ f /¶xi)(x1, ..., xn).
- Esempio:
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Sia f (x1, x2) = (x1)3log x2. Allora
f ¢1(x1, x2) = 3(x1)2log x2 e
f ¢2(x1, x2) = (x1)3/x2.
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La derivata rispetto a xj di f ¢i(x1, ..., xn) è scritta come
f ²ij(x1, ..., xn). Se questa "derivata parziale mista" è una funzione continua in tutti i punti di qualche insieme S di valori di
(x1, ..., xn), e lo stesso vale per f ²ji(x1, ..., xn), allora il "Teorema di Young" afferma che
f ²ij(x1, ..., xn) =
f ²j(x1, ..., xn) per ogni (x1, ..., xn) in S.
La condizione di continuità è soddisfatta per ogni polinomio e per tutte le altre funzioni derivabili che appaiono in questo tutorial.
Esercizi
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