xt+2 = f (t, xt, xt+1).Come per un'equazione del primo ordine, un'equazione del secondo ordine ha un'unica soluzione: attraverso operazioni successive possiamo vedere che dati x0 e x1 esiste un unico valore determinato di xt per ogni t ³ 2. (Notate che per una equazione del secondo ordine abbiamo bisogno di due condizioni iniziali, x0 e x1, anziché uno soltanto.)
xt+2 + atxt+1 + btxt = ct.Per risolvere questa equazione, iniziamo prendendo in considerazione l'equazione omogenea associata
xt+2 + atxt+1 + btxt = 0.Supponiamo di trovare due soluzioni per questa equazione, ut e vt. Allora
ut+2 + atut+1 + btut = 0e
vt+2 + atvt+1 + btvt = 0.Perciò per alcune costanti A e B troviamo
(Aut+2 + Aatut+1 + Abtut) + (Bvt+2 + Batvt+1 + Bbtvt) = 0,o
(Aut+2 + Bvt+2) + (atAut+1 + atBvt+1) + (btAut + btBvt) = 0.Cioè, Aut + Bvt è anche una soluzione dell'equazione.
Questa soluzione contiene due costanti arbitrarie, quindi sembra poter essere una soluzione generale. Ma per essere una soluzione generale, le due soluzioni dovrebbero essere realmente indipendenti; per esempio, non possono essere proporzionali l'una con l'altra. Le soluzioni sono linearmente indipendenti se
Se questa condizione viene soddisfatta, allora Aut + Bvt è una soluzione generale per l'equazione omogenea.
u0 v0 u1 v1 ¹ 0.
Ora ritorniamo all'equazione originaria. Supponiamo che u*t sia soluzione per l'equazione. Sia xt una soluzione arbitraria per l'equazione originaria. Allora xt - u*t è una soluzione della equazione omogenea. Così xt - u*t = Aut + Bvt per valori di A e B, o
xt = Aut + Bvt + u*t.
Cioè, una certa soluzione dell'equazione originaria è la somma di una soluzione particolare di questa equazione ed una soluzione dell'equazione omogenea.
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Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti
Una equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti prende la forma
xt+2 + axt+1 + bxt = ct.La strategia per risolvere una tale equazione è molto simile a quella per risolvere una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. Innanzitutto consideriamo l'equazione omogenea associata
xt+2 + axt+1 + bxt = 0.
xt+2 + axt+1 + bxt = 0.Possiamo intuire che una soluzione prende la forma ut = mt. Affinché ut sia soluzione, deve essere
mt(m2 + am + b) = 0o, se m ¹ 0,
m2 + am + b = 0.Questa è l'equazione caratteristica dell'equazione alle differenze. Le sue soluzioni sono
-(1/2)a ± Ö((1/4)a2 - b).Possiamo distinguere tre casi:
Am1t + Bm2t,dove m1 e m2 sono le due radici.
(A + Bt)mt,dove m = -(1/2)a è la radice.
Art cos(qt + w),dove A e w sono costanti, r = Öb, e cos q = -a/(2Öb), o, alternativamente,
C1rt cos(qt) + C2rt sin(qt),dove C1 = A cos w e C2 = -A sin w (usando la formula cos(x+y) = (cos x)(cos y) - (sin x)(sin y).
In ogni caso le soluzioni sono linearmente indipendenti:
u0 v0 u1 v1 =
1 1 m1 m2 = m2 - m1 ¹ 0
1 0 m m = m ¹ 0
1 0 r cos q r sin q = r sin q = ÖbÖ(1 - cos2q) = ÖbÖ(1 - a2/4b) = Ö(b - (1/4)a2) > 0.
Nel terzo caso, quando l'equazione caratteristica presente radici complesse, la soluzione oscilla. Art è l'ampiezza (che dipende dalle condizioni iniziali) al tempo t, e r è il fattore di crescita. q/2p rappresente la frequenza delle oscillazioni e w è la fase (che dipende dalle condizioni iniziali).
Se ½r½ < 1, allora le oscillazioni sono smorzate; se ½r½ > 1 allora questen sono esplosive.
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xt+2 + axt+1 + bxt = ctdobbiamo trovare una delle sue soluzioni. Supponiamo b ¹ 0.
La forma di una soluzione dipende da ct.
Supponiamo ct = c per ogni t. Allora xt = C è una soluzione se C = c/(1 + a + b) e se 1 + a + b ¹ 0. (Se 1 + a + b = 0, allora provate xt = Ct; se non funziona, provate xt = Ct2.)
Più in generale, se ct è una combinazione lineare di termini di forma qt, tm, cos(pt), e sin(pt) (per costanti q, p, e m), e prodotti di tali termini, allora il metodo dei coefficienti indeterminati può essere usato, con una soluzione di prova della forma suggerita da ct, come viene illustrato nei seguenti esempi. Se accade che ct soddisfa l'equazione omogenea---e quindi è già parte della soluzione generale---allora deve essere perseguito un approccio diverso, che non discuto qui.
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Stabilità
Come per le equazioni differenziali, diciamo che un sistema è stabile se il suo comportamento di lungo periodo non risente delle condizioni iniziali.
Consideriamo l'equazione del secondo ordine
xt+2 + axt+1 + bxt = ct.Scriviamo la soluzione generale come
xt = Aut + Bvt + ut*,dove A e B sono determinate dalle condizioni iniziali. Questa soluzione è globalmente asintoticamente stabile (o semplicemente stabile) se i primi due termini tendono a 0 quando t ® ¥, per ogni valore di A e B. In questo caso, per alcune condizioni iniziali, la soluzione dell'equazione tende alla soluzione particolare ut*.
Se i primi due termini tendono a zero per ogni A e B, allora ut e vt devono tendere a zero. (Per vedere che ut deve tendere a zero, prendete A = 1 e B = 0; per vedere che vt deve tendere a 0, prendete A = 0 e B = 1.) Una condizione necessaria e sufficiente affinché lo sia è che i moduli delle radici dell'equazione caratteristica devono essere entrambi minori di 1. (Il modulo di un numero complesso a + bi è +Ö(a2 + b2), che è il valore assoluto del numero se fosse reale.)
Vi sono due casi:
Possiamo dimostrare (vedete l'argomento all'interno del libro a pagina 756, e il problema 10 a pagina 758) che queste condizioni sono equivalenti alle condizioni ½a½ < 1 + b e b < 1. Così deduciamo:
La soluzione è stabile se e solo se il modulo di ogni radice dell'equazione caratteristica è minore di 1. In termini di coefficienti dei termini nell'equazione, la soluzione è stabile se e solo se ½a½ < 1 + b e b < 1.