maxx f (x) con gj(x) = cj per j = 1, ..., mcon n variabili e m vincoli (dove x = (x1, ..., xn)).
Per questo problema la Lagrangiana è
L(x) = f (x) - åj=1mlj(gj(x) - cj).Cioè, c'è un moltiplicatore di Lagrange per ogni vincolo.
Come per il caso di due variabili ed un vincolo, la condizione del primo ordine è che x* sia punto stazionario per la Lagrangiana. La condizione di "nondegeneracy" nel caso di due variabili---vale a dire che almeno uno di g1¢(x1, x2) e g2¢(x1, x2)sia non nullo---è meno banale da generalizzare. La generalizzazione appropriata include il concetto di "rango" di una matrice n ´ m in cui l'(i, j)-esimo elemento è la derivata parziale di gj rispetto a xi valutata in x*. Nessuno dei problemi richiede che siate in grado di applicare questa condizione.
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Come nel caso di due variabili e un vincolo, le condizioni del primo ordine e il vincolo sono sufficienti per un massimo se la Lagrangiana è concava, e sono sufficienti per un minimo se la Lagrangiana è convessa, come stabilito precisamente nel seguente risultato.
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Consideriamo il problema
maxx f (x) con gj(x) = cj per j = 1,...,m,dove x = (x1, ..., xn). Sia x*(c) la soluzione di questo problema, dove c è il vettore (c1, ..., cm) e sia
f *(c) = f (x*(c)).Allora abbiamo
f *j¢(c) = lj(c) per j = 1,...,m,dove lj è il valore del moltiplicatore del j-esimo vincolo nella soluzione del problema.
Cioè:
il valore del moltiplicatore di Lagrange per il j-esimo vincolo nella soluzione del problema è pari al tasso di variazione del massimo valore della funzione oggetto quando aumenta il j-esimo vincolo.Se il j-esimo vincolo aumenta, in quanto limite all'ammontare di alcune risorse, allora ci riferiamo a lj(c) come prezzo ombra della j-esima risorsa.