maxx u(x) con p·x £ w e x ³ 0.Vi sono delle circostanze per le quali possiamo dedurre che il consumatore spenderà certamente tutto il suo budget, così la soluzione sarà la stessa sotto il vincolo p·x = w. Così in certi casi possiamo cavarcela usando gli strumenti per l'ottimizzazione con un vincolo di uguaglianza. Comunque, ci sono altri problemi che non possiamo ridurre all'ottimizzazione con vincoli di sola uguaglianza. Per esempio, se il consumatore si trova di fronte a due vincoli (per esempio reddito e tempo), allora in un ampio raggio di circostanze almeno uno di questi non vincola la soluzione, e così non possiamo assumere che entrambi i vincoli debbano essere soddisfatti in termini di uguaglianza.
Consideriamo un problema di forma generale
maxx f (x) con gj(x) £ cj per j = 1,...,m,dove x = (x1, ..., xn).
Da notare:
maxx f (x) con h(x) = 0
può essere scritto come
maxx f (x) con h(x) £ 0 e -h(x) £ 0.
minx h(x) con gj(x) £ cj per j = 1,...,mè lo stesso di
maxx f (x) con gj(x) £ cj per j = 1,...,m,dove f (x) = -h(x).
Consideriamo innanzitutto il caso di un vincolo (m = 1). Possiamo scrivere il problema come
maxx f (x) con g(x) £ c.
Ci sono due possibilità per risolvere questo problema. Nelle figure seguenti, le curve chiuse nere sono linee di livello di f ; valori della funzione crescono nella direzione indicata dalle frecce blu. La linea rossa discendente è l'insieme dei punti x che soddisfano g(x) = c; l'insieme dei punti x che soddisfano g(x) £ c giace sotto e a sinistra della linea, e l'insieme dei punti che soddisfano g(x) ³ c giace sopra e a destra della linea.
In ogni figura la soluzione del problema è il punto x*. In quello di sinistra x* soddisfa il vincolo g(x) = c; in quello di destra, essa si trova all'interno del vincolo, pari al punto di massimo non vincolato di f (x). Quindi:
Nel secondo caso, il valore di l non rientra nella condizioni, dunque possiamo scegliere qualsiasi valore per esso. Data l'interpretazione di l, ha senso porre l = 0. In base a questa assunzione abbiamo f i¢(x) = L¢i(x) per ogni x, e da qui in entrambi i casi abbiamo L¢i(x*) = 0 per ogni i, l ³ 0, e g(x*) £ c. Nel primo caso abbiamo g(x*) = c e nel secondo l = 0.
Ora possiamo scrivere le condizioni come
Usando il fatto che il prodotto tra due numeri è zero se e e solo se almeno uno di essi è zero, possiamo alternativamente scrivere queste condizioni in questo modo
Li¢(x*) = 0 per j = 1, ..., n l ³ 0, g(x*) £ c, e l = 0 o g(x*) - c = 0.
L'argomentazione che abbiamo dato suggerisce che se x* risolve il problema e il problema non è degenere, allora x* deve soddisfare queste condizioni.
Li¢(x*) = 0 per j = 1, ..., n l ³ 0, g(x*) £ c, e l[g(x*) - c] = 0.
Se vi sono più vincoli, allora come prima introduciamo un moltiplicatore per ogni vincolo, e le condizioni saranno
Queste condizioni sono dette condizioni di Kuhn-Tucker, da Harold W. Kuhn, membro emerito del Dipartimento di Matematica di Princeton, e Albert W. Tucker, che trovò le circostanze per le quali esse individuano soluzioni per il problema di massimizzazione.
Li¢(x*) = 0 per i = 1 ,..., n lj ³ 0, gj(x*) £ cj e lj[gj(x*) - cj] = 0 per j = 1, ..., m.
Notate che le condizioni non comprendono la possibilità che sia l = 0 e g(x*) = c.
Le disuguaglianze l ³ 0 e g(x*) £ c sono dette condizioni di complementary slackness; almeno una di queste condizioni non è una uguaglianza (p.e. è "allentata").
Prima di esaminare la precisa relazione tra le soluzioni alle condizioni di Kuhn-Tucker e le soluzioni del problema, consideriamo il seguente esempio, che illustra la forma delle condizioni di Kuhn-Tucker in un caso specifico.
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