- Esempio
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Consideriamo il problema
maxx,y xy con x + y £ 6, x ³ 0, e y ³ 0.
Le funzioni vincolo sono concave, dunque le condizioni di Kuhn-Tucker sono necessarie. Inoltre, la funzione obiettivo è continua e l'insieme vincolare è compatto dunque, per il Teorema del Valore Estremo, il problema ammette soluzione. Le soluzioni del problema perciò sono le soluzioni delle condizioni del primo ordine stesse che segnalano i valori più alti della funzione. (Alternativamente, possiamo richiamare la
sufficienza delle condizioni di Kuhn-Tucker: la funzione obiettivo è quasiconcava (ma non concava) nell'insieme vincolare (le sue curve di livello sono iperboli equilatere) e le funzioni vincolo sono lineari, quindi quasiconvesse, così se x* risolve le condizioni di Kuhn-Tucker e Ñ f (x*) ¹
(0, 0), allora x* è soluzione del problema. Notate che questo argomento lascia aperto la stato dei punti x* che risolvono le condizioni di Kuhn-Tucker e soddisfano Ñ f (x*) = (0, 0)---non si determina quando essi siano soluzione o non lo siano.)
La Lagrangiana è
L(x, y) = xy - l1(x + y - 6) + l2x +
l3y.
Le condizioni di Kuhn-Tucker sono
y - l1 + l2 |
= 0 |
x - l1 + l3 |
= 0 |
l1 ³ 0, x + y £ 6, l1(x + y - 6) |
= 0 |
l2 ³ 0, x ³ 0, l2x |
= 0 |
l3 ³ 0, y ³ 0, l3y |
= 0. |
- Se x > 0 e y > 0, allora l2 = l3 = 0, quindi l1 = x = y dalle prime due condizioni. Quindi x = y =
l = 3 dalla terza condizione. Questi valori soddisfano tutte le condizioni.
- Se x = 0 e y > 0, allora l3 = 0 dall'ultima condizione e l1 = x = 0 dalla seconda condizione. Ma ora dalla prima condizione l2 =
-y < 0, contraddicendo l2 ³ 0.
- Se x > 0 e y = 0, allora l2 = 0, ed un analogo argomento porta ad una contraddizione.
- Se x = y = 0, allora l1 = 0 dal terzo insieme di condizioni, così l2 = l3 dalla prima e seconda condizione. Questi valori soddisfano tutte le condizioni.
Concludiamo che vi sono due soluzioni alle condizioni di Kuhn-Tucker, (x, y, l1, l2, l3) = (3, 3, 3, 0, 0) e (0, 0, 0, 0, 0).
Dato che il valore della funzione oggetto in (3, 3) è più grande del valore della funzione oggetto in (0, 0), la soluzione del problema è (3, 3).
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