1.3 Nozioni di analisi matematica

Preliminari

Il valore  f ¢(a) della derivata della funzione f  nel punto a è la pendenza della tangente alla funzione in a. Precisamente, consideriamo la "retta secante" passante per (a,  f (a)) e per (a + h,  f (a + h)) nella figura seguente.

Allora la retta ha pendenza ( f (a + h-  f (a))/h. La derivata di  f  in a viene definita come il limite (se esso esiste) di questa pendenza quando h tende a zero.

Definizione
La funzione  f  è derivabile in a se limh®0f (a + h-  f (a))/h esiste. In tal caso questo limite è la derivata della funzione  f  in a, che denotiamo con  f ¢(a).

Un esempio di una funzione che non è derivabile in un punto è dato dalla seguente figura.

La funzione  f  nella figura non è derivabile in a, perché la pendenza della secante passante per (a,  f (a)) e per (a + h,  f (a + h)) è molto diversa per h > 0 e per h < 0, anche quando h è arbitrariamente piccolo, cioè limh®0f (a + h-  f (a))/h non esiste.

In tutti quei punti nei quali una funzione ha uno "spigolo", essa non sarà derivabile. La derivata di  f  in a viene spesso indicata in questo modo (d f /dx)(a).

Regole di derivazione

Funzioni specifiche: Tre regole generali (molto importanti!):
Somma
F (x) =  f (x) + g(x): F ¢(x) =  f ¢(x) + g¢(x)
Prodotto
F (x) =  f (x)g(x): F ¢(x) =  f ¢(x)g(x) +  f (x)g¢(x)
Quoziente
F (x) =  f (x)/g(x): F ¢(x) = [ f ¢(x)g(x-  f (x)g¢(x)]/(g(x))2
Si noti che sapendo che la derivata di (g(x))n è n(g(x))n-1g¢(x) (un'implicazione della "regola di derivazione delle funzioni composte",
di cui parliamo in seguito), la regola del quoziente segue direttamente dalla regola del prodotto: se scriviamo  f (x)/g(x) come  f (x)(g(x))-1 allora la regola del prodotto implica che la derivata sia
 f ¢(x)(g(x))-1 -  f (x)(g(x))-2g¢(x)),
che è uguale a ( f ¢(x)g(x-  f (x)g¢(x))/(g(x))2.

Esempio
Sia F (x) = x2 + log x. Dalla regola della somma, troviamo F ¢(x) = 2x + 1/x.
Esempio
Sia F (x) = x2log x. Dalla regola del prodotto, F ¢(x) = 2xlog x + x2/x = 2xlog x + x.
Esempio
Sia F (x) = x2/log x. Dalla regola del quoziente, F ¢(x) = [2xlog x - x2/x]/(log x)2 = [2xlog x - x]/(log x)2.

Funzioni continue

Una funzione è continua se il suo grafico non ha "salti", così che può esserne tracciato il grafico senza staccare la penna dal foglio. Ma vediamo una definizione precisa.

Definizione
La funzione  f  è continua nel punto a se limx®a f (x) =  f (a) (cioè se  f (x) tende a  f (a) quando x tende ad a).

La figura sottostante mostra una funzione che non è continua. Il valore di tale funzione in a è  f (a), che è molto più grande del valore che la funzione stessa assume in ogni punto leggermente maggiore di a.

Se una funzione è derivabile in a allora è anche continua in a; ma essa può essere continua in a e non derivabile in a, come abbiamo visto.

Se  f  e g sono entrambe continue, allora lo sono anche  f  + g e  f ·g nonché  f /g in ogni punto a dove g(a¹ 0.

Inoltre, ( f (x))k è continua in a per tutti i valori di k in cui ( f (a))k è definita. E se  f  e g sono continue, allora lo è pure  f (g(x)).

In particolare, tutti i polinomi (funzioni della forma a0 + a1x + a2x2 + ... + akxk per dei numeri k e a0, ..., ak) sono funzioni continue.

Il prossimo risultato rileva un'importante proprietà delle funzioni continue. Esso afferma che se una funzione  f  è continua, ed è definita per ogni valore compreso tra a e b, allora per ogni z compreso tra  f (a) e  f (b) esiste un x tale che  f (x) = z.

Proposizione
[Teorema del valor medio] Se  f  è continua nell'intervallo chiuso [a,b] e  f (a¹  f (b), allora al variare di x,  f (x) assume tutti i valori compresi tra  f (a) e  f (b).

In particolare, se  f (a) è positivo e  f (b) negativo, avremo  f (x) = 0 per qualche x.

Esempio
Si consideri la funzione  f (x) = x4 - 4x2 + 2. L'equazione  f (x) = 0 ammette soluzioni tra 0 e 1? La funzione è un polinomio, quindi è continua. Abbiamo  f (0) = 2 e  f (1) = -1, così il Teorema del Valor Medio implica che la risposta al quesito sia affermativa: per qualche valore di x compreso tra 0 e 1 deve valere  f (x) = 0.

Integrazione

Integrali definiti

L'integrale ("definito") della funzione  f  da a a b, in simboli
òba f (z)dz,
è definito come l'area compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di  f , da a a b.

Note:

  1. Se  f (x) < 0 per qualche x compreso tra a e b, allora le aree corrispondenti (in rosso nella figura sopra) contano negativamente nel calcolo dell'integrale.
  2. Definiamo "area" il limite, se esiste, dell'approssimazione consistente in una somma delle aree di piccoli rettangoli. Se il limite non esiste, la funzione "non è integrabile".
  3. Si noti che la variabile z è una variabile libera e può essere rimpiazzata da un'altra variabile. A volte viene omessa in blocco, e l'integrale viene scritto semplicemente come òba f .

Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale mostra che integrazione e derivazione sono, in un certo senso, operazioni inverse.
Proposizione
[Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale] Si definisca la funzione F  nell'intervallo [ab] data da
F (x) = òxa f (z)dz.
Se  f  è continua nel punto c interno ad [ab], allora F  è derivabile in c e
F ¢(c) =  f (c).
Similmente, definita la funzione G nell'intervallo [ab] data da
G(x) = òbx f (z)dz,
se  f  è continua nel punto c interno ad [ab], allora G è derivabile in c e
G¢(c) = - f (c).
Se  f  è continua in [ab] e  f  = g¢ per una qualsiasi funzione g, allora
òba f (z)dz = g(b- g(a).

Integrazione indefinita

Il simbolo
ò f (x)dx,
si chiama integrale indefinito di  f  e denota l'insieme di funzioni g per cui togli l'apostrofo g¢ =  f . Ma perché parliamo di "insieme"? Perché se g¢(z) =  f (z) per ogni z, allora per qualche funzione h con h(z) = g(z) + c, dove c è una costante, avremo h¢(z) =  f (z) per ogni z. Per ricordare questa costante, a volte scriviamo una notazione di questo tipo : "ò2x dx = x2 + c", che sta a significare che la derivata della funzione x2 + c, per qualsiasi valore di c, è 2x.

Abbiamo, per esempio,

òxndx = xn + 1/(n+1) + c
e
òexdx = ex + c
e
ò(1/x)dx = ln ½x½ + c

Integrazione per parti

A volte possiamo calcolare l'integrale indefinito di un prodotto di due funzioni usando l'identità
ò f (x)g¢(x)dx =  f (x)g(x- ò f ¢(x)g(x)dx.

Esempio:
òxexdx = xex - òexdx = xex - ex + c. Per verificarlo provate a derivare!

Derivate parziali

Se  f (x1, ..., xn) è una funzione di più variabili, la derivata parziale di  f  rispetto a xi è la derivata di  f  rispetto a xi mantenendo fisso il valore delle altre variabili. Questa derivata si scrive come:  f ¢i(x1, ..., xn), o a volte ( f /xi)(x1, ..., xn).

Esempio:
Sia  f (x1x2) = (x1)3log x2. Allora  f ¢1(x1x2) = 3(x1)2log x2 e  f ¢2(x1x2) = (x1)3/x2.

La derivata rispetto a xj di  f ¢i(x1, ..., xn) è scritta come  f ²ij(x1, ..., xn). Se questa "derivata parziale mista" è una funzione continua in tutti i punti di qualche insieme S di valori di (x1, ..., xn), e lo stesso vale per  f ²ji(x1, ..., xn), allora il "Teorema di Young" afferma che

 f ²ij(x1, ..., xn) =  f ²j(x1, ..., xn) per ogni (x1, ..., xn) in S.
La condizione di continuità è soddisfatta per ogni polinomio e per tutte le altre funzioni derivabili che appaiono in questo tutorial.

Esercizi


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