5.1.4 Ottimizzazione con un vincolo di uguaglianza: condizioni per le quali un punto stazionario è un punto di ottimo globale

Sappiamo che se (x*, y*) è soluzione del problema
maxx,y  f (xy) con g(xy) = c
e g1¢(x*, y*) ¹ 0 o g2¢(x*, y*) ¹ 0 allora esiste un numero l* tale che (x*, y*) è un punto stazionario della Lagrangiana L(xy) =  f (xy- l*(g(xy- c)) (dato l*).

Dal fatto che (x*, y*) sia un punto stazionario della Lagrangiana non segue che (x*, y*) massimizza la Lagrangiana, dato l* (come vi era stato chiesto di dimostrare in un esercizio).

Supponiamo, comunque, che (x*, y*) massimizzi di fatto L(xy), dato l*. Allora

L(x*, y*) =   f (x*, y*) - l*(g(x*, y*) - c)
  ³  L(xy)
=   f (xy- l*(g(xy- c)
per ogni (xy). Se (x*, y*) soddisfa il vincolo allora queste equazioni si riducono a  f (x*, y*) ³  f (xy) per ogni (xy) con g(xy) = c, dunque (x*, y*) risolve il problema di massimizzazione.

Cioè:

se (x*, y*) massimizza la Lagrangiana, dato l*, e soddisfa il vincolo, allora è soluzione del problema.

Ora, se la Lagrangiana è concava, dato l*, e (x*, y*) soddisfa le condizioni del primo ordine, allora sappiamo che (x*, y*) massimizza la Lagrangiana. Da qui deriva il prossimo risultato.

Proposizione
Supponiamo che  f  e g siano funzioni continue e derivabili definite in un sottoinsieme aperto convesso A di uno spazio a due dimensioni e supponiamo che esista un numero l* tale che (x*, y*) Î A sia un punto stazionario interno della Lagrangiana
L(xy) =  f (xy- l*(g(xy- c).
Supponiamo inoltre che g(x*, y*) = c. Allora
  • se L(xy) è concava---in particolare se  f  è concava e l*g è convessa,---allora (x*, y*) risolve il problema di massimizzazione vincolata
  • se L(xy) è convessa---in particolare se  f  è convessa e l*g è concava,---allora (x*, y*) risolve il problema di minimizzazione vincolata

Notate che se g è lineare, allora l*g è sia convessa sia concava, indipendentemente dal valore di l*.

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y xayb con px + y = m,

precedentemente visto. Abbiamo trovato che esiste un valore di l* tale che

(x*, y*) =
am

(a + b)p
,
bm

a + b

è un punto stazionario della Lagrangiana e soddisfa il vincolo. Ora, se a ³ 0, b ³ 0, a + b £ 1 allora la funzione obiettivo è concava; il vincolo è lineare, quindi dalla proposizione appena enunciata sappiamo che (x*, y*) è soluzione del problema.

Esercizi


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