3.1 Funzioni concave e convesse di una sola variabile

Funzioni derivabili due volte

Le funzioni concave e convesse giocano un ruolo molto importante nella teoria economica.

Una funzione derivabile due volte (cioè una funzione derivabile con derivata a sua volta derivabile) è concava se la sua derivata seconda è non positiva ed è convessa se la sua derivata seconda è non negativa. Segue una definizione precisa.

Un intervallo è un insieme di numeri reali compresi tra (e che può includere) due numeri. L'intervallo di tutti i numeri da a a b, compresi a e b, viene scritto come [ab]; l'intervallo di tutti i numeri da a a b, escludendo a e b, viene scritto come (ab). (L'intervallo che include a ma non b si scrive [ab) e quello che include b ma non a si scrive (ab].)

L'interno di un intervallo è l'insieme di tutti i numeri nell'intervallo eccetto i punti di frontiera. Così l'interno di [ab] è (ab), che è pure l'interno di (ab], [a, b), e (ab).

Definzione
Una funzione derivabile due volte  f  di una sola variabile è
  • concava nell' intervallo I se  f ¢¢(x£ 0 per ogni x appartenente all'interno di I
  • convessa nell'intervallo I se  f ¢¢(x³ 0 per ogni x appartenente all'interno di I.

La seguente figura mostra alcuni esempi.

L'importanza delle funzioni concave e convesse nella teoria dell'ottimizzazione deriva dal fatto che se la funzione  f  è concava allora ogni punto x in cui  f ¢(x) = 0 è un punto di massimo globale, e se è convessa allora ogni punto siffatto è un punto di minimo globale.

Notate che una funzione è sia concava che convessa se e solo se prende la forma  f (x) = ax + b (cioè se è una funzione "affine").

Esempio:
La funzione x2 - 2x + 2 è concava o convessa? In che intervallo? La sua derivata seconda è 2 ³ 0, dunque è convessa per ogni x.

Esempio:
La funzione x3 - x2 è concava o convessa in un intervallo? La sua derivata seconda è 6x - 2, così essa è convessa nell'intervallo [1/3, ¥) e concava nell'intervallo (-¥, 1/3].

Esempio:
Supponiamo che U e g siano due funzioni di una sola variabile non decrescenti, concave e derivabili due volte (cioè, U¢(x³ 0, U²(x£ 0, g¢(x³ 0, e g²(x£ 0 per ogni x). Dimostriamo che  f (x) = g(U(x)) è non decrescente e concava.

Abbiamo  f ¢(x) = g¢(U(x))U¢(x). Dato che g¢(x³ 0 per ogni x e U¢(x³ 0 per ogni x, abbiamo  f ¢(x³ 0 per ogni x. Quindi  f  è non decrescente.

Inoltre,

 f ²(x) = g²(U(x))·U¢(xU¢(x) + g¢(U(x))U²(x).
Dato che g²(x£ 0, g¢(x³ 0, e U²(x£ 0, abbiamo  f ²(x£ 0. Dunque  f  è concava.

Cioè: una trasformazione concava non decrescente di una funzione concava non decrescente è non decrescente e concava.

Un punto in cui una funzione passa da convessa a concava, o viceversa, è un punto di flesso.

Definizione
c è un punto di flesso di una funzione  f  derivabile due volte se esistono tre punti a, be c con a < c < b dove vale
  •  f ²(x³ 0 se a < x < c e  f ²(x£ 0 se c < x < b
  • oppure  f ²(x£ 0 se a < x < c e  f ²(x³ 0 se c < x < b.

La seguente figura mostra un esempio di punto di flesso.

Proposizione
  • Se c è un punto di flesso per  f , allora  f ²(c) = 0.
  • Se  f ²(c) = 0 e  f ² cambia segno in c allora c è un punto di flesso.

Notate, comunque, che  f ² non deve cambiare segno in c affinché c sia un punto di flesso per  f . Per esempio, ogni punto di una funzione lineare è un punto di flesso.

Funzioni generali

La precedente definizione di concavità e convessità si applica solo alle funzioni derivabili due volte. La seguente definizione si applica a tutte, ed ha due vantaggi addizionali: si basa sulle proprietà geometriche "elementari" della funzione, ed è facilmente generalizzabile alle funzioni di più variabili.

Definizione
Sia  f  una funzione di una sola variabile definita in un intervallo. Allora  f  è
  • concava se il segmento che unisce qualsiasi coppia di punti del suo grafico non giace mai sopra il grafico.
  • convessa se il segmento che unisce qualsiasi coppia di punti del suo grafico non giace mai sotto il grafico.

Per rendere utile questa definizione abbiamo bisogno di tradurla in una condizione algebrica tale da poterla verificare. La seguente figura illustra la definizione per una funzione concava.

Ogni punto da a a b può essere scritto come (1 - l)a + lb, dove l è un numero reale compreso tra 0 e 1. (Quando l = 0, il punto è a; quando l = 1 è b). La caratteristica della figura che non è ovvia è l'ordinata del segmento da (a,  f (a)) a (b,  f (b)) nel punto x = (1 - l)a + lb. Chiamiamo h la funzione che definisce questa ordinata (segmento). Vorremmo trovare h((1 - l)a + lb). Il fatto che h sia lineare significa che

h((1 - l)a + lb) = (1 - l)h(a) + lh(b).
Inoltre, abbiamo h(a) =  f (a) e h(b) =  f (b), così
h((1 - l)a + lb) = (1 - lf (a) + l f (b),
come indicato nella figura.

Dato questo fatto, le funzioni concave e convesse possono essere rigorosamente definite come segue.

Definizione
Sia  f  una funzione di una sola variabile definita in un intervallo. Allora  f  è
  • concava nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I, ed ogni l Î (0,1) abbiamo

     f ((1-l)a + lb³ (1 - lf (a) + l f (b).
  • convessa nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I, ed ogni l Î (0,1) abbiamo

     f ((1-l)a + lb£ (1 - lf (a) + l f (b).

Si noti che questa definizione, diversamente da quella originale, non dipende dal fatto che  f  sia o meno derivabile due volte, o anche soltanto derivabile .

Si noti anche che  f  è concava se e solo se - f  è convessa.

Il prossimo esempio generalizza un esempio precedente, che si applica solo alle funzioni derivabili.
Esempio:
Sia U concava e g non decrescente e concava. Sia  f (x) = g(U(x)). Dimostrate che  f  è concava.

Abbiamo bisogno di dimostrare che  f ((1-l)a + lb³ (1-lf (a) + l f (b).

Dalla definizione di  f  abbiamo

 f ((1-l)a + lb) = g(U((1-l)a + lb)).
Ora, dato che U è concava abbiamo

U((1-l)a + lb³ (1 - l)U(a) + lU(b).
Poiché g è non decrescente, r ³ s implica g(r³ g(s). Perciò

g(U((1-l)a + lb)) ³ g((1-l)U(a) + lU(b)).
Ma ora, dalla concavità di g otteniamo

g((1-l)U(a) + lU(b)) ³ (1-l)g(U(a)) + lg(U(b)) = (1-lf (a) + l f (b).
Dunque  f  è concava.

Convessità e concavità strette

Le diseguaglianze nella definizione di funzioni concave/convesse sono deboli: una funzione concava/convessa può avere parti lineari, come nella seguente figura.

Una funzione concava che non ha parti lineari è detta strettamente concava.

Definizione
La funzione  f  è
  • strettamente concava nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I con a ¹ b, ed ogni l Î (0,1) abbiamo

     f ((1-l)a + lb) > (1 - lf (a) + l f (b).
  • strettamente convessa nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I con a ¹ b, ed ogni l Î (0,1) abbiamo

     f ((1-l)a + lb) < (1 - lf (a) + l f (b).

Se  f  è derivabile due volte, allora

 f  è concava su [ab] se e solo se  f ²(x£ 0 per ogni x Î (a, b).
Se  f ²(x) < 0 per ogni x Î (a,b) allora  f  è strettamente concava su [ab], ma non è vero l'inverso: se  f  è strettamente concava allora la sua derivata seconda non è necessariamente negativa in ogni suo punto. (Considerate la funzione  f (x) = -x4. E' concava, ma la sua derivata seconda in 0 è zero). Cioè,
 f  è strettamente concava su [ab] se  f ²(x) < 0 per ogni x Î (a, b), ma se  f  è strettamente concava su [ab] allora  f ²(x) non è necessariamente negativa per ogni x Î (ab).
(Osservazioni analoghe si applicano al caso di funzioni convesse e strettamente convesse, dove le condizioni  f ²(x³ 0 e  f ²(x) > 0 rimpiazzano rispettivamente le condizioni  f ²(x£ 0 e  f ²(x) < 0.)

Esercizi


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