5.1.1 Ottimizzazione con un vincolo di uguaglianza: una condizione necessaria per un punto di ottimo nel caso di due variabili

Alcune spiegazioni

Consideriamo il problema in due variabili
maxx,y  f (x, y) con g(x, y) = c.
Supponiamo che l'insieme vincolare (l'insieme di tutte le coppie (xy) tali che g(xy) = c) sia una curva nello spazio (xy). Le curve di livello ("curve di indifferenza") di  f  sono anche curve nello spazio (xy), come nella seguente figura (dove k¢ > k se  f  è crescente).

Assumendo che le funzioni  f  e g siano derivabili, vediamo dalla figura che in una soluzione del problema (x*, y*) la curva del vincolo è tangente ad una curva di livello di  f , così (usando l'equazione della tangente),

-
 f 1¢(x*, y*)

 f 2¢(x*, y*)
 = -
g1¢(x*, y*)

g2¢(x*, y*)
o
 f 1¢(x*, y*)

g1¢(x*, y*)
 =
 f 2¢(x*, y*)

g2¢(x*, y*)
,
assumendo che né g1¢(x*, y*) né g2¢(x*, y*) siano zero.

Ora introduciamo una nuova variabile, l, e poniamola uguale al comune valore del quoziente. Potreste pensare che introducendo una nuova variabile il problema si complichi solamente, ma è una mossa intelligente che ci permette di esprimere in un modo elegante la condizione per un punto di massimo. In aggiunta, la nuova variabile si rivela avere una interpretazione molto utile. Data la definizione di l, la condizione per un punto di massimo può venir espressa con le due equazioni

 f 1¢(x*, y*) - lg1¢(x*, y*)  = 0
 f 2¢(x*, y*) - lg2¢(x*, y*)  = 0.
Per la soluzione del problema abbiamo bisogno, in aggiunta, che c = g(x*, y*) (il vincolo sia soddisfatto). Così le seguenti condizioni devono essere soddisfatte nella soluzione (x*, y*):
 f 1¢(x*, y*) - lg1¢(x*, y*)  = 0
 f 2¢(x*, y*) - lg2¢(x*, y*)  = 0
c - g(x*, y*)  = 0.
Le prime due equazioni possono essere viste in maniera conveniente come le condizioni per cui le derivate della Lagrangiana
L(xy) =  f (xy- l(g(xy- c)
rispetto ad x e y siano zero.

Questo fatto ci suggerisce che se (x*, y*) risolve il problema

maxx,y  f (x, y) con g(x, y) = c.
allora, se né g1¢(x*, y*) né g2¢(x*, y*) sono zero, (x*, y*) è un punto stazionario della Lagrangiana L (e, in aggiunta, il vincolo deve essere soddisfatto).

(Questo metodo fu sviluppato da Joseph-Louis Lagrange (sito 1, sito 2, sito 3) (1736-1813), all'anagrafe Giuseppe Lodovico Lagrangia nato a Torino, "il più grande matematico del diciottesimo secolo".)

Condizioni necessarie per un punto di ottimo

Precise condizioni per un punto di ottimo vengono date nel seguente risultato.

Proposizione
Siano  f  e g funzioni con derivate continue nel dominio A e supponiamo che (x*, y*) sia interno a A e sia soluzione del problema

maxx,y  f (xy) con g(xy) = c

o del problema

minx,y  f (xy) con g(xy) = c

o sia un punto di massimo o minimo locale di  f (xy) con g(xy) = c. Supponiamo poi che sia g1¢(x*, y*) ¹ 0 o g¢2(x*, y*) ¹ 0.

Allora esiste un unico numero l tale che la Lagrangiana

L(xy) =  f (xy- l(g(xy- c)

abbia un punto stazionario in (x*, y*). Cioè, (x*, y*) soddisfa le condizioni del primo ordine

 f 1¢(x*, y*) - lg1¢(x*, y*)  =  0
  f 2¢(x*, y*) - lg2¢(x*, y*)  =  0.
In aggiunta, g(x*, y*) = c.

Procedimento

Segue da questo risultato che il seguente procedimento può essere usato per risolvere il problema
maxx,y  f (xy) con g(xy) = c
o il corrispondente problema di minimizzazione.

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y xy con x + y = 6.

Dato che l'insieme vincolare non è limitato, il teorema del valore estremo non ci dice se questo problema abbia soluzione.

La Lagrangiana è

L(xy) = xy - l(x + y - 6)

così le condizioni del primo ordine sono

L¢1(xy) = y - l  = 0
 L¢2(xy) = x - l  = 0

e il vincolo è x + y - 6 = 0.

Queste equazioni hanno un'unica soluzione, (xyl) = (3, 3, 3). Abbiamo g¢1(xy) = 1 ¹ 0 e g¢2(xy) = 1 ¹ 0 per ogni (xy); concludiamo così che se il problema ammette soluzione essa è (xy) = (3, 3).

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y x2y con 2x2 + y2 = 3.

Notate che l'insieme vincolare è compatto e la funzione oggetto è continua, per cui per il teorema del valore estremo il problema ammette soluzione.

La Lagrangiana è

L(xy) = x2y - l(2x2 + y2 - 3)

le condizioni del primo ordine sono

L¢1(xy) = 2xy - 4lx = 2x(y - 2l) = 0
 L¢2(xy) = x2 - 2ly  = 0

e il vincolo è 2x2 + y2 - 3 = 0.

Per trovare le soluzioni di queste tre equazioni, per prima cosa notate che dalla prima equazione si ottiene o x = 0 o y = 2l. Possiamo verificare una possibilità per volta.

  • x = 0: abbiamo y = 31/2 e l = 0, o y = -31/2 e l = 0.
  • y = 2l: abbiamo x2 = y2 dalla seconda equazione, dunque o x = 1 o x = -1 dalla terza equazione.
    • x = 1: o y = 1 e l = 1/2, o y = -1 e l = -1/2.
    • x = -1: o y = 1 e l = 1/2, o y = -1 e l = -1/2.

Dunque,le condizioni del primo ordine danno sei soluzioni:

  1. (xyl) = (0, 31/2,0), con  f (xy) = 0.
  2. (xyl) = (0, -31/2,0), con  f (xy) = 0.
  3. (xyl) = (1, 1, 1/2), con  f (xy) = 1.
  4. (xyl) = (1, -1, -1/2), con  f (xy) = -1.
  5. (xyl) = (-1, 1, 1/2), con  f (xy) = 1.
  6. (xyl) = (-1, -1, -1/2), con  f (xy) = -1.

Ora, g¢1(xy) = 4x e g¢2(xy) = 2y, così l'unico valore di (xy) per cui g¢1(xy) = 0 e g¢2(xy) = 0 è (xy) = (0, 0). In questo punto il vincolo non è soddisfatto, dunque l'unica possibile soluzione per il problema è data dalle soluzioni delle condizioni del primo ordine.

Concludiamo che il problema ha due soluzioni, (xy) = (1, 1) e (xy) = (-1, 1).

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y xayb con px + y = m,

dove a > 0 e b > 0. (La funzione oggetto potrebbe essere la funzione di utilità di un consumatore e la funzione vincolo il suo vincolo di bilancio.) La Lagrangiana è

L(xy) = xayb - l(px + y - m)

le condizioni del primo ordine sono

axa-1yb - lp =  0
 bxayb-1 - l =  0

il vincolo è px + ym. Dalle prime due condizioni abbiamo ay = pbx. Sostituendo all'interno del vincolo otteniamo

x = am/((a + b)p) e y = bm/(a + b)

con

l = [aabb/(a+b)a+b-1][ma+b-1/pa].

Abbiamo g¢1(xy) = p e g¢2(xy) = 1, perciò non ci sono valori di (xy) per cui g¢1(xy) = g¢2(xy) = 0. Dunque se il problema ammette soluzione, essa è (xy) = (am/((a + b)p), bm/(a + b)).

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y x con x2 = 0.
La Lagrangiana è

L(xy) = x - lx2
le condizioni del primo ordine sono

- 2lx  = 0
0  = 0

Il vincolo è x2 = 0. Dal vincolo otteniamo x = 0, che non soddisfa la condizione del primo ordine. Allora le tre equazioni non hanno soluzione. Ora, abbiamo g¢1(xy) = 2x e g2¢(xy) = 0. Allora si ottiene g¢1(xy) = g2¢(xy) = 0 per (xy) = (0, y) per qualsiasi valore di y. In tutti questi punti il valore della funzione oggetto è lo stesso (vale a dire 0). Da qui, se il problema ammette soluzione, l'insieme delle soluzioni è l'insieme delle coppie (0, y) per tutti i valori di y.

(Si noti che il problema ha una soluzione, anche se non possiamo dedurre ciò dal Teorema del Valore Estremo, poiché l'insieme vincolare, che è formato da tutte le coppie (0, y), per qualsiasi valore di y, non è compatto.)

Esercizi


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