se F (x) = f (g(x)), allora F ¢(x) = f ¢(g(x))g¢(x).
Questa regola è utile se avete bisogno di calcolare la derivata di qualche "funzione di funzione", come i prossimi esempi illustrano.
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Ancora più importante per la teoria economica è che la regola di derivazione delle funzioni composte ci permette di trovare le derivate di espressioni che includono arbitrarie funzioni di funzioni. Tuttavia, non vi sono molte situazioni in economia nelle quali possiamo usare la regola di derivazione delle funzioni composte per una singola variabile; abbiamo bisogno di estenderla a più variabili. Qui è spiegato come procedere.
F (x) = f (g(x), h(x)).Che cos'è F ¢(x)? La regola di derivazione delle funzioni composte afferma che essa è
F ¢(x) = f ¢1(g(x), h(x))g¢(x) + f ¢2(g(x), h(x))h¢(x),dove f i¢ è la derivata parziale di f rispetto al suo i-esimo argomento. (Questa espressione a volte viene chiamata derivata totale di F (x) rispetto ad x.)
F (x, y) = f (g(x, y), h(x, y)),allora
F ¢x(x, y) = f ¢1(g(x, y), h(x, y))gx¢(x, y) + f ¢2(g(x, y), h(x, y))hx¢(x, y),e simmetricamente per F ¢y(x, y).
Più generalmente, se gj è una funzione di m variabili per j = 1, ..., n e
F (x1, ..., xm) = f (g1(x1, ..., xm), ..., gn(x1, ..., xm)),allora
F ¢j(x1, ..., xm) = åi=1n f i¢(g1(x1, ..., xm), ..., gn(x1, ..., xm))gij¢(x1, ..., xm),dove gij¢ è la derivata parziale di gi rispetto al suo j-esimo argomento.
Si consideri un'impresa che massimizza il profitto e che produce un singolo output attraverso l'utilizzo di un singolo input. Chiamiamo f la sua funzione di produzione (derivabile), w il prezzo dell'input e p il prezzo dell'output. Supponiamo che il livello di input che massimizza il profitto quando i prezzi sono w e p sia z(w, p). Allora il profitto massimo è
p(w, p) = p f (z(w, p)) - wz(w, p).Come cambia questo profitto se cresce p?
Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte abbiamo
p¢p(w, p) = f (z(w, p)) + p f ¢(z(w, p))z¢p(w, p) - wz¢p(w, p)oppure
p¢p(w, p) = f (z(w, p)) + z¢p(w, p)[p f ¢(z(w, p)) - w].Ma noi sappiamo che p f ¢(z(w, p)) - w = 0 è la "condizione del primo ordine" per massimizzare il profitto. Così risulta
p¢p(w, p) = f (z(w, p)).A parole, il tasso di crescita del profitto massimo dell'impresa quando il prezzo dell'output aumenta è esattamente uguale al suo output ottimale.
F (t) = òb(t)a(t) f (t, x)dx.
Cos'è F ¢(t)? Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, essa è la somma di tre componenti :
òb(t)a(t) f t¢(t, x) dx,l'integrale della derivata parziale della funzione. Così
che è nota come Formula di Leibniz.
F ¢(t) = f (t, b(t))b¢(t) - f (t, a(t))a¢(t) + òb(t)a(t) f 1¢(t, x) dx,
Come per le altre espressioni ottenute con la regola di derivazione delle funzioni composte, possiamo interpretare ogni sua parte. Se t cambia allora il limite dell'integrale cambia, ed il valore della funzione f cambia in ogni x. Il cambiamento nell'integrale può essere scomposto in tre parti :
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