se il prezzo dell'output cresce, allora un'azienda competitiva accresce il suo outputoppure
se la domanda è una funzione decrescente rispetto al prezzo e l'offerta è crescente rispetto al prezzo, allora un aumento dell'offerta conduce ad un aumento del prezzo di equilibrio.Queste affermazioni sono casi particolari della proposizione
se A allora B,dove A e B rappresentano due proposizioni qualsiasi. Possiamo alternativamente scrivere questa proposizione generale come
A implica B,o, usando i simboli, come
A Þ B.Vi sono ancora due modi per scrivere la stessa proposizione
A è condizione sufficiente per B,e
B è condizione necessaria per A.(Si noti che B viene per primo nella seconda di queste ultime due proposizioni!)
Nota importante: La proposizione A Þ B non ha nulla a che vedere con la proposizione :"B è vero se A non è vero"! Essa afferma solamente che se A è vero, allora B è vero. Sebbene questo punto possa sembrare ovvio, spesso è fonte di errori, in particolare perché noi stessi non applichiamo sempre le regole della logica nelle nostre comunicazioni quotidiane. Per esempio, quando diciamo "se domani sarà sereno allora giocheremo a tennis" probabilmente vogliamo dire sia "se domani sarà sereno allora giocheremo a tennis" sia "se domani non è sereno allora non giocheremo a tennis" (e forse anche "se domani non sarà sereno ma il tempo è abbastanza bello per giocare a tennis allora ti chiamerò"). Quando diciamo "se ascolti la radio alle 8 in punto allora saprai le previsioni del tempo", dall'altro lato, noi non vogliamo anche dire "se non ascolti la radio alle 8 in punto allora non saprai le previsioni del tempo", perché potresti ascoltare la radio alle 9 in punto o controllare su Internet, per esempio. Il punto è che le regole che usiamo per interpretare il significato delle proposizioni nel linguaggio di ogni giorno sono piuttosto flessibili, mentre le regole che usiamo nel campo della logica sono assolutamente precise: Quando enunciamo la proposizione logica "se A allora B", questo è esattamente ciò che vogliamo dire---niente di più, niente di meno.
Possiamo inoltre usare il simbolo "Ü" per dire "solo se" o "è implicato da". Così
B Ü Aè equivalente a
A Þ B.Infine, il simbolo "Û" significa " implica ed è implicato da", oppure "se e solo se". Così
A Û Bè equivalente a
A Þ B e B Þ A.Se A è una proposizione, il modo per scrivere che A non è vero è
non(A).Se A e B sono proposizioni ed entrambe sono vere, allora possiamo scrivere
A e B,e se almeno una di esse è vera, scriviamo
A o B.Si noti, in particolare, che scrivere "A o B" include la possibilità che entrambe le proposizioni siano vere.
A Þ Bè vera, allora lo è pure la proposizione
(non B) Þ (non A).La prima proposizione afferma che quando A è vera, allora B è vera. Quindi se B è falsa, A deve essere falsa---che è la seconda proposizione.
non(A e B)è equivalente alla proposizione
(non A) oppure (non B).Si noti l'"oppure" nella seconda proposizione! Se non siamo nel caso in cui né A né B sono vere (la prima proposizione), allora segue anche che A non è vero o B non è vero.
D(p) > 100 per ogni prezzo p nel dominio S.In questa proposizione "per ogni prezzo" è un quantificatore.
Nota importante: In questa proposizione possiamo usare un simbolo per rappresentare il prezzo: "p" è una variabile libera. Dopo aver definito D(p) come la domanda totale di pomodori al prezzo p, per esempio, possiamo scrivere
D(z) > 100 per ogni prezzo z nel dominio S.Dopo aver introdotto la notazione p per il prezzo, vedere comparire al suo posto z in questa proposizione può sembrare una piccola stranezza, ma non c'è assolutamente nulla di sbagliato! In questo semplice esempio, non c'è alcuna ragione per variare la notazione, ma qualche volta in casi più complicati un cambio di variabile è inevitabile (perché in contrasto con un'altra notazione) o conveniente. Il punto è che in diverse proposizioni della forma
A(x) per ogni x nel dominio Ypossiamo legittimamente usare simboli diversi al posto di "x".
Un altro tipo di proposizione che a volte dobbiamo enunciare è
A(x) per qualche x nel dominio Y,o, equivalentemente,
esiste x nel dominio Y tale che A(x)."Per qualche x" (alternativamente "esiste x") è un altro quantificatore, come "per ogni x"; il precedente commento sulla notazione si applica anche qui.