xt = f (t, xt-1) per ogni t.Possiamo risolvere una tale equazione attraverso operazioni successive: dato x0 abbiamo
In particolare, dato un valore per x0, esiste un'unico tracciato di soluzione x1, x2, ....
x1 = f (1, x0) x2 = f (2, x1) = f (2, f (1, x0)) e così via.
Comunque, calcolare la soluzione in questo modo non ci dice molto sulle proprietà della soluzione. Preferiremmo piuttosto avere una formula generale per trovare la soluzione. Se la forma di f è semplice, tali formule esistono.
xt = axt-1 + bt,dove bt sono costanti per t = 1, . (Notate che la costante che moltiplica xt-1 è costante, mentre bt può dipendere da t.)
Se usiamo il metodo delle operazioni successive di sopra, troviamo uno schema:
xt = atx0 + åk=1tat-kbk.Dall'argomento precedente sappiamo che l'equazione ha un unico tracciato di soluzione. Così per verificare che questa formula ci da l'unica soluzione basta vedere se soddisfa l'equazione originale. Abbiamo
che verifica che la soluzione è corretta.
axt-1 + bt = a(at-1x0 + åk=1t-1at-1-kbk) + bt = atx0 + åk=1t-1at-kbk + bt = atx0 + åk=1tat-kbk = xt,
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Nel caso speciale che bk = b per ogni k = 1,... abbiamo
xt = atx0 + båj=0t-1ajb.Ora, la somma di serie geometriche finite 1 + a + a2 + ... + at-1 è data da
1 + a + a2 + ... + an-1 = (1-an)/(1-a).se a ¹ 1. Abbiamo quindi
xt = atx0 + b·(1 - at)/(1 - a)se a ¹ 1.
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x* = b/(1 - a),allora xt è costante, pari a b/(1 - a).
Chiamiamo x* il valore di equilibrio per x. Possiamo riscrivere la soluzione come
xt = at(x0 - x*) + x*.
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Nell'esempio precedente bt è indipendente da t. Nei prossimi due esempi bt dipende da t.
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xt = atxt-1 + bt.può esser trovata, come prima, attraverso successive operazioni. Otteniamo
xt = (Ps=1tas)x0 + åk=1t(Ps=k+1tas)bkdove un prodotto con nessun termine (e.g. da t+1 a t) è 1.
(Nel libro vi è un esempio di interesse composto per il caso con tasso di interesse variabile.)