3.2.1 Forme quadratiche: definizioni

Una forma quadratica di più variabili è la somma di molti termini, ognuno dei quali è il prodotto di esattamente due variabili.
Definizione
Una forma quadratica in n variabili è una funzione

Q(x1, ..., xn = b11x12 + b12x1x2 + ... + bijxixj + ... + bnnxn2
  = åi=1n åj=1n bijxixj
dove bij per i = 1, ..., n e j = 1, ..., n sono costanti.

Esempio :
La funzione
Q(x1x2) = 2x12 + 4x1x2 - 6x2x1 - 3x22
è una forma quadratica di due variabili.

Possiamo scrivere la forma quadratica di questo esempio come

Q(x1x2) = (x1x2
 2   4 
 -  -
·
 x1 
 x
.
Poiché 4x1x2 - 6x2x1 = -2x1x2, possiamo alternativamente scriverla in questo modo
Q(x1x2) = (x1x2
 2   -
 -  -
·
 x1 
 x
.
In questo modo di scrivere una forma quadratica, la matrice è simmetrica.

Possiamo infatti scrivere qualunque forma quadratica come

Q(x) = x¢Ax
dove x è il vettore colonna di xi e A è una matrice simmetrica n ´ n in cui l'elemento (ij)-esimo è aij = (1/2)(bij + bji). La ragione è che xixj = xjxi per qualunque i e j, così che
bijxixj + bjixjxi  = (bij + bji)xixj
= (1/2)(bij + bji)xixj + (1/2)(bji + bij)xjxi.

Esempio
Sia Q(x1x2x3) = 3x12 + 3x1x2 - x2x1 + 3x1x3 + x3x1 + 2x2x3 + 4x3x2 - x22 + 2x32. Cioè, a11 = 3, a12 = 3, a21 = -1, etc. Abbiamo Q(x) = x¢Ax dove
A =
 3   1   2 
 1   -  3 
 2   3   2 

Di conseguenza, quando rappresentiamo una forma quadratica nella forma x¢Ax dovremmo sempre simmetrizzare la matrice A.


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