Si consideri, per esempio, un modello nel quale gli agenti sono delle imprese che devono massimizzare il profitto. Supponiamo che ci sia un singolo input che costa w per ogni unità e che un'impresa trasformi l'input in output mediante una funzione di produzione (derivabile) f e venda l'output al prezzo p. Il profitto dell' impresa utilizzando il livello x di input è
p f (x) - wx.Come sapete, se il livello ottimo di input è positivo allora esso soddisfa la "condizione del primo ordine"
p f ¢(x) - w = 0.Inoltre, con alcune restrizioni su f questa equazione ha una sola soluzione la quale massimizza il profitto dell'impresa. Si supponga che tali restrizioni siano soddisfatte e, per ogni coppia (w,p), si denoti la soluzione dell'equazione con z(w,p). Allora la condizione
p f ¢(z(w,p)) - w = 0 per ogni (w, p)definisce z(w,p) implicitamente come una funzione di w e p.
Cosa possiamo dire della funzione z? E' crescente o decrescente in w e p? In quale modo l'impresa massimizza il profitto al variare di w e p ?
Se noi conoscessimo la forma esatta di f potremmo rispondere a queste domande calcolando z(w,p) esplicitamente e usando semplici operazioni. Ma nella teoria economica generalmente non vogliamo che le funzioni assumano una forma specifica. La nostra teoria deve essere applicabile ad un ampio raggio di situazioni, ottenendo così risultati che non dipendano da una specifica forma funzionale. Potremmo assumere che la funzione f abbia qualche proprietà "visibile"--- per esempio che sia crescente --- ma vorremmo imporre il minor numero di condizioni possibile. Con queste circostanze, allo scopo di rispondere alle domande circa la dipendenza del comportamento dell'impresa da w e p dobbiamo trovare le derivate della funzione z definita implicitamente. Prima di farlo dobbiamo studiare la regola di derivazione delle funzioni composte e le derivate delle funzioni definite implicitamente, i nostri prossimi due argomenti.
Avendo studiato il comportamento di una singola impresa possiamo aspirare a costruire un modello di una economia che contenga molte imprese e molti consumatori. In un modello in "concorrenza perfetta" i prezzi sono determinati dall'uguaglianza di domanda e offerta per ogni bene---cioè, da un sistema di equazioni. Per studiare le proprietà delle soluzioni di un tale sistema, è utile un'ulteriore tecnica matematica .
Prendendo un esempio da un'altra area dell'economia, si consideri il modello macroeconomico
dove Y è il reddito nazionale, C il consumo, I l'investimento, T le tasse totali, G la spesa del governo, r il tasso di interesse, e M l'offerta di moneta. Le variabili sono Y, C, I e r, e i parametri sono M, T, e G.
Y = C + I + G C = f (Y-T) I = h(r) r = m(M)
Come prima, vorremmo imporre il minor numero di condizioni possibile alle funzioni f , h, and m. Non volendo assumere specifiche forme funzionali, non potremmo calcolare esplicitamente un equilibrio. In queste circostanze, come possiamo studiare in che modo l'equilibrio sia influenzato da cambiamenti nei parametri (che potremmo assumere essere sotto il controllo del governo)? Possiamo usare lo strumento dei differenziali, un altro argomento di questa sezione.