maxx f (x, r),dove r è un vettore di parametri e x un vettore. Assumiamo che per un certo vettore r il problema abbia un'unica soluzione; chiamiamo la soluzione x*(r). Indichiamo il massimo valore di f , per un dato valore di r, con f *(r):
f *(r) = f (x*(r), r).Sia f * la funzione valore.
Nella seguente figura, le curve nere sono grafici delle sezioni in r della funzione f (x, r), per vari valori di x. Ogni sezione mostra come cambia la funzione quando cambia r, per un dato valore di x. Per trovare la soluzione del problema per un dato valore arbitrario di r, troviamo la più alta funzione per quel valore di r. Per esempio, per r = r¢, la più alta funzione è f (x*(r¢),r).
I massimi valori della funzione, al variare di r, tracciano l'inviluppo della funzione f (x, r).
Che cos'è f *j¢(r)? Innanzitutto, dato che x*(r) è una soluzione del problema quando il parametro è r, essa soddisfa le condizioni del primo ordine:
(¶ f /¶xi)(x*(r)) = 0 per i = 1, ..., n.Ora, abbiamo
f *j¢(r) = åi=1n (¶ f /¶xi)(x*(r), r) · (¶xi*/¶rj)(r) + (¶ f /¶rj)(x*(r), r).Il primo termine corrisponde alla variazione in f * causata dalla variazione nella soluzione del problema che avviene quando r cambia; il secondo termine corrisponde all'effetto diretto della variazione di r nel valore di f .
Date le condizioni del primo ordine, abbiamo
f *j¢(r) = (¶ f /¶rj)(x*(r),r) per j = 1, ..., m.
Questo risultato è il teorema dell'inviluppo per un problema di ottimizzazione non vincolata. Afferma che la variazione del massimo valore che raggiunge la funzione quando muta un parametro è semplicemente la variazione causata dall'impatto diretto del parametro sulla funzione; l'effetto indiretto, che deriva dalla variazione nel valore ottimo di x causata da un cambiamento nel parametro, è zero.
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maxx f (x, r) con gj(x, r) = 0 per j = 1, ..., m,dove r è un vettore di parametri e x un vettore. Come prima, chiamiamo il massimo valore di f , per qualsiasi dato valore di r, con f *(r), e chiamiamo f * la funzione valore. Sia x*(r) il valore massimizzato di x, come funzione di r, dunque
f *(r) = f (x*(r), r).
La Lagrangiana è
L(x, r) = f (x, r) - åj=1mljgj(x, r).Dato che x*(r) è soluzione del problema, soddisfa le condizioni del primo ordine
(¶ f /¶xi)(x*(r), r) - åj=1mlj(¶gj/¶xi)(x*(r), r) = 0 per i = 1, ..., m.Ora, abbiamo
usando la condizione del primo ordine. Ora invertiamo le somme per concludere che
f *h¢(r) = åi=1n (¶ f /¶xi)(x*(r),r) · (¶x*i/¶rh)(r) + (¶ f /¶rh)(x*(r), r) = åi=1n[åj=1mlj (¶gj/¶xi)(x*(r), r)] · (¶x*i/¶rh)(r) + (¶ f /¶rh)(x*(r), r),
Abbiamo gj(x*(r), r) = 0 per ogni r, dunque derivando rispetto a rh otteniamo
f *h¢(r) = åj=1mlj[åi=1n (¶gj/¶xi)(x*(r),r) · (¶x*i/¶rh)(r)] + (¶ f /¶rh)(x*(r),r).
åi=1n(¶gj/¶xi)(x*(r), r) · (¶xi*/¶rh)(r) + (¶gj/¶rh)(x*(r), r) = 0.Allora
Questo è il teorema dell'inviluppo per problemi di ottimizzazione vincolata.
f *h¢(r) = -åj=1m lj(¶gj/¶rh)(x*(r), r) + (¶ f /¶rh)(x*(r), r) = (¶L/¶rh)(x*(r), r).
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