7.4 Equazioni differenziali del secondo ordine
Una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine è un'equazione differenziale della forma
G(t, x(t), x¢(t), x²(t)) = 0 per ogni t,
includendo solo t, x(t), e le derivate prima e seconda di x. Possiamo spesso scrivere una tale equazione nella forma
x²(t) = F (t, x(t), x¢(t)).
Equazioni della forma x²(t) = F (t, x¢(t))
Un'equazione di forma
x²(t) = F (t, x¢(t)),
nella quale x(t) non compare, può essere ridotta ad una equazione del primo ordine effettuando la sostituzione z(t) = x¢(t).
- Esempio
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Sia u(w) una funzione di utilità per il benessere w. La funzione
r(w) = -wu²(w)/u¢(w)
è detta misura di Arrow-Pratt dell'avversione relativa al rischio. (Se ru(w) > rv(w) per due funzioni di utilità u e v allora u riflette un maggior grado di avversione al rischio rispetto a v.)
Ma quali funzioni di utilità presentano un grado di avversione al rischio che sia indipendente dal livello di benessere? Cioè, per quali funzioni di utilità u abbiamo
a = -wu²(w)/u¢(w) per ogni w?
Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine in cui il termine u(w) non compare. (La variabile è w, invece che t.) Definiamo z(w) = u¢(w). Allora abbiamo
a = -wz¢(w)/z(w)
o
az(w) = -wz¢(w),
un'equazione separabile che possiamo scrivere come
a·dw/w = -dz/z.
La soluzione è data da
a·ln w = -ln z(w) + C,
o
z(w) = Cw-a.
Ora, z(w) = u¢(w), così per ottenere u dobbiamo integrare:
u(w) = |
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Cln w + B |
if a = 1 |
Cw1-a/(1 - a) + B |
if a ¹ 1 |
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Concludiamo che una funzione di utilità con un grado costante di avversione al rischio e pari a a prende questa forma.
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Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
Una equazione differenziale lineare del secondo ordine prende la forma
x²(t) + a(t)x¢(t) + b(t)x(t) = f (t)
dove a, b, e f sono funzioni continue.
A meno che le funzioni a e b siano costanti, una tale equazione non può essere risolta facilmente; focalizziamo l'attenzione alle equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, che prendono la forma
x²(t) + ax¢(t) + bx(t) = f (t)
per le costanti a e b. Una tale equazione è omogenea se f (t) = 0 per ogni t.
Possiamo risolvere una tale equazione utilizzando la seguente strategia.
- Troviamo la soluzione generale dell'equazione omogenea associata x²(t) + ax¢(t) + bx(t) = 0.
- Troviamo una singola soluzione dell'equazione originale.
- Mettiamo insieme le soluzioni.
Soluzione generale dell'equazione omogenea associata
Potreste suggerire, sulla base delle soluzioni che abbiamo trovato per le equazioni del primo ordine, che l'equazione omogenea ammette una soluzione della forma x(t) = Aert. Vediamo se è vero. Se x(t) = Aert allora
x¢(t) = rAert e x²(t) = r2Aert, così
x²(t) + ax¢(t) + bx(t) |
= r2Aert +
arAert + bAert |
|
= Aert(r2 + ar + b). |
Così, affinché x(t) sia soluzione dell'equazione, deve essere
r2 + ar + b = 0.
Questa equazione viene detta equazione caratteristica. Ammette due radici reali distinte, una singola radice reale, o due radici complesse. Se ha due radici distinte reali, dette r e s, allora abbiamo dimostrato che vale sia x(t) = Aert sia x(t) =
Best, per qualsiasi valore di A e B, sono soluzione dell'equazione. Così anche x(t) = Aert + Best è una soluzione. Può essere dimostrato, infatti, che ogni soluzione dell'equazione
prende questa forma; così chiamiamo questa la "soluzione generale" dell'equazione omogenea.
I casi in cui l'equazione caratteristica ha radici reali ripetute o radici complesse richiedono analisi leggermente differenti, con le seguenti conclusioni.
- Radici reali distinte
- Se a2 > 4b, l'equazione caratteristica ha radici reali distinte, e la soluzione generale dell'equazione omogenea è
Aert + Best.
- Radice reale ripetuta
- Se a2 = 4b, allora l'equazione caratteristica ha una singola radice, e la soluzione generale dell'equazione omogenea è
(A + Bt)ert,
dove r = -(1/2)a è la radice.
- Radici complesse
- Se a2 < 4b, allora l'equazione caratteristica ha radici complesse, e la soluzione generale dell'equazione omogenea è
Ceat cos(bt + w),
dove C e w sono costanti, a = -a/2, e b = Ö(b - a2/4), o, alternativamente,
Aeat cos(bt) + Beat sin(bt),
dove A = C cos w and B = -C sin w.
- Esempio
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Consideriamo l'equazione
x²(t) + x¢(t) - 2x(t) = 0.
L'equazione caratteristica è
r2 + r - 2 = 0
le radici sono
r = 1 e s = -2.
Cioè, le radici sono reali e distinte. La soluzione dell'equazione è così
x(t) = Aet + Be-2t.
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- Esempio
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Consideriamo l'equazione
y²(t) + 6y¢(t) + 9y(t) = 0.
L'equazione caratteristica ha una radice reale ripetuta, pari a -3. La soluzione dell'equazione è
x(t) = (A + Bt)e-3t.
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- Esempio
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Consideriamo l'equazione
x²(t) + 2x¢(t) + 17x(t) = 0.
Le radici caratteristiche sono complesse. La soluzione dell'equazione è
Ae-t cos(4t + w) = C1e-t cos(4t) +
C2e-t sin(4t).
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Soluzione dell'equazione originale
Il passo successivo è trovare una soluzione particolare dell'equazione originale. Una buona tecnica consiste nel provare una funzione generale della stessa classe di f (t).
Che cosa significa esattamente? Se f (t) è un polinomio, allora proviamo un polinomio generale del medesimo grado; se f (t) è una combinazione lineare delle funzioni sin t e cos t, allora proviamo una combinazione lineare simile. Il seguente esempio illustra la tecnica.
- Esempio
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Consideriamo l'equazione
x²(t) + x¢(t) - 2x(t) = t2.
La funzione sul lato destro è un polinomio di secondo grado, dunque per trovare una soluzione particolare dell'equazione, verifichiamo se ci sia una soluzione della forma x(t) = C + Dt + Et2. Se c'è, allora
2E + D + 2Et - 2C - 2Dt - 2Et2 = t2 per ogni t,
dunque deve essere (uguagliando i coefficienti di t2, t, e le costanti di entrambi i lati),
2E + D - 2C |
= 0 |
2E - 2D |
= 0 |
-2E = 1. |
Ne deduciamo che E = -1/2, D = -1/2, e C = -3/4. Cioè,
x(t) = -3/4 - t/2 - t2/2
è una soluzione dell'equazione.
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Mettiamo insieme le soluzioni
Questo passo è abbastanza banale!
- Esempio
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Consideriamo l'equazione dell'esempio precedente, cioè
x²(t) + x¢(t) - 2x(t) = t2.
Abbiamo visto sopra che la soluzione generale dell'equazione omogenea associata è
x(t) = Aet + Be-2t.
e che
x(t) = -3/4 - t/2 - t2/2
è una soluzione dell'equazione.
Dunque la soluzione generale dell'equazione è
x(t) = Aet + Be-2t - 3/4 - t/2 - t2/2.
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Stabilità dell'equilibrio
Diciamo che un sistema è stabile se il suo comportamento di lungo termine non è sensibile alle condizioni iniziali.
Nel caso che le radici dell'equazione omogenea associata siano reali (ripetute o no), devono essere entambe negative affinché la soluzione sia stabile, senza badare alle condizioni iniziali. (Notate che per ogni valore di k abbiamo tkert ® 0
se r < 0.)
Nel caso in cui le radici dell'equazione omogenea associata siano complesse, la forma della soluzione di questa equazione è
Aeat cos(bt + w),
dove a = -a/2, la parte reale di ogni radice. Dunque in questo caso la parte reale di ogni radice deve essere negativa.
La parte reale di una radice reale è semplicemente la radice stessa, possiamo quindi combinare i due casi: l'equazione è stabile se e solo se le parti reali di entrambe le radici dell'equazione caratteristica sono negative. Con un po' d'algebra si dimostra che questa condizione è equivalente ad a > 0 e b > 0.
- Proposizione
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Il sistema definito dall'equazione x¢¢(t) + ax¢(t) + bx(t) = f (t) è stabile se e solo se le parti reali di entrambe le radici dell'equazione caratteristica r2 +
ar + b = 0 sono negative, o, equivalentemente, a > 0 e b > 0.
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- Esempio
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Consideriamo il seguente modello macroeconomico. Chiamiamo Q l'offerta aggregata, p il livello dei prezzi, e p il tasso di inflazione atteso. Assumiamo che la domanda aggregata sia una funzione lineare di p e p, pari a a - bp +
cp dove a > 0, b > 0, e c > 0. Una condizione di equilibrio è
Q(t) = a - bp(t) + cp(t).
Chiamiamo Q* il livello sostenibile di lungo termine di output, e assumiamo che il prezzo varii in base all'equazione
p¢(t) = h(Q(t) - Q*) + p(t),
dove h > 0. Infine, supponiamo che le aspettative siano adattive:
p¢(t) = k(p¢(t) - p(t))
per qualche k > 0. E' stabile questo sistema?
Un modo per rispondere a questa domanda è ridurre il sistema a una singola equazione differenziale del secondo ordine derivando l'equazione in p¢(t) per ottenere p²(t) e sostituendo p¢(t) e
p(t). Otteniamo
p²(t) - h(kc - b)p¢(t) + khbp(t) = kh(a - Q*).
Concludiamo che il sistema è stabile se e solo se kc < b. (Da k > 0, h > 0, e b > 0, abbiamo khb > 0.)
In particolare, se c = 0 (cioè si ignorano le aspettative) allora il sistema è stabile. Se si tiene conto delle aspettative, comunque, e queste rispondono velocemente ai cambiamenti nel tasso di inflazione (k è grande), allora il sistema può essere instabile.
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Esercizi
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