5.1.3 Condizioni sufficienti per un punto di ottimo locale per un problema di ottimizzazione con due variabili e un vincolo

Consideriamo il problema
maxx,y  f (xy) con g(xy) = c.
Assumiamo g¢2(xy¹ 0. Sostituendo ad y il vincolo, possiamo semplificare il problema riducendolo ad una variabile, x. Sia h implicitamente definita da g(xh(x)) = c. Allora il problema diventa
maxx  f (xh(x)).
Definiamo F (x) =  f (xh(x)). Allora
F ¢(x) =  f 1¢(xh(x)) +  f 2¢(xh(x))h¢(x).
Sia x* punto stazionario per F  (i.e. F ¢(x*) = 0). Una condizione sufficiente affinché x* sia punto di massimo locale per F  è F ²(x*) < 0. Abbiamo
F ²(x*) =  f 11²(x*, h(x*)) + 2 f 12²(x*, h(x*))h¢(x*) +  f 22²(x*, h(x*))(h¢(x*))2 +  f 2¢(x*, h(x*))h²(x*).

Ora, da g(xh(x)) = c per ogni x, si ottiene

g1¢(xh(x)) + g2¢(xh(x))h¢(x) = 0,
quindi
h¢(x) =
-g1¢(xh(x))

g2¢(xh(x))
.
Attraverso questa espressione possiamo trovare h²(x*), e sostituirla nell'espressione che dà F ²(x*). Dopo alcune manipolazioni, troviamo che
F ²(x*) =
-D(x*, y*, l*)

(g1¢(x*, y*))2
dove
D(x*, y*, l*) =
 0   g1¢(x*, y*)   g2¢(x*, y*) 
 g1¢(x*, y*)    f 11²(x*, y*) - l*g11²(x*, y*)    f 12²(x*, y*) - l*g12²(x*, y*) 
 g2¢(x*, y*)    f 21²(x*, y*) - l*g21²(x*, y*)    f 22²(x*, y*) - l*g22²(x*, y*) 
e l* è il valore del moltiplicatore di Lagrange per la soluzione (p.e. - f 2¢(x*, y*)/g2¢(x*, y*)).

La matrice di cui D(x*, y*, l*) è il determinante è detta Hessiano orlato della Lagrangiana.

Alla fine, otteniamo i seguenti risultati.

Proposizione
Consideriamo il problema

maxx,y  f (xy) con g(xy) = c

e

minx,y  f (xy) con g(xy) = c.

Supponiamo che (x*, y*) e l* soddisfi le condizioni del primo ordine

 f 1¢(x*, y*) - l*g1¢(x*, y*)  =  0
  f 2¢(x*, y*) - l*g2¢(x*, y*)  =  0
e il vincolo g(x*, y*) = c.

  • Se D(x*, y*, l*) > 0, allora (x*, y*) è un punto di massimo locale per  f  con il vincolo g(xy) = c.
  • Se D(x*, y*, l*) < 0, allora (x*, y*) è un punto di minimo locale per  f  con il vincolo g(xy) = c.

Esempio
Consideriamo il problema
maxx,yxy con x + y = 6.
Abbiamo visto precedentemente che se questo problema ha soluzione, essa è (3, 3). Ora possiamo verificare se questo punto sia almeno un punto di massimo locale.

La Lagrangiana è

L(xy) = xy + l(6 - x - y)

il determinante dell'Hessiano orlato della Lagrangiana è

D(xy) =
 0   1   1 
 1   0   1 
 1   1   0 

Il determinante di questa matrice è 1 + 1 = 2 > 0, dunque il punto (3, 3) è proprio un punto di massimo locale.

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y x2y con 2x2 + y2 = 3.

Abbiamo trovato precedentemente che ci sono sei soluzioni delle condizioni del primo ordine, cioè

  1. (xyl) = (0, 31/2, 0), con  f (xy) = 0.
  2. (xyl) = (0, -31/2, 0), con  f (xy) = 0.
  3. (xyl) = (1, 1, 1/2), con  f (xy) = 1.
  4. (xyl) = (1, -1, -1/2), con  f (xy) = -1.
  5. (xyl) = (-1, 1, 1/2), con  f (xy) = 1.
  6. (xyl) = (-1, -1, -1/2), con  f (xy) = -1.

Inoltre, abbiamo visto che le soluzioni 3 e 5 sono punti di massimo globali, mentre le soluzioni 4 e 6 sono punti di minimo globali.

Le due rimanenti soluzioni alle condizioni del primo ordine, (0, 31/2) e (0, -31/2), sono né punti di massimo globali né di minimo globali. Possono essere punti di massimo o di minimo locali?

Il determinante dell'Hessiano orlato della Lagrangiana è

D(xyl) =
 0   4x   2y 
 4x   2y-4l   2x 
 2y   2x   -2l 

pari a

-4x(-8xl - 4xy) + 2y(8x2 - 2y(2y - 4l)) =  8[2l(2x2 + y2) + y(4x2 - y2)]
=  8[6l + y(4x2 - y2)]

(da 2x2 + y2 = 3 in ogni soluzione, dal vincolo). Il valore del determinante nelle due soluzioni è

  • (0, 31/2, 0): -8·33/2, quindi (0, 31/2) è punto di minimo locale;
  • (0, -31/2, 0): 8·31/2, quindi (0, -312) è punto di massimo locale.
Esercizi


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