4.5 Punti di ottimo locali

Una variabile

Occasionalmente siamo interessati solo ai punti di massimo (o minimo) locali. Esaminando la derivata seconda della funzione possiamo essere in grado di dire quando un punto stazionario è un punto di massimo locale o un punto di minimo locale.

Proposizione (Condizioni del secondo ordine per funzioni di una sola variabile)
Sia  f  una funzione di una variabile con derivate prima e seconda continue, definita nell'intervallo I. Supponiamo che x* sia punto stazionario per  f  nell'interno di I (così  f ¢(x*) = 0).

  • Se  f ²(x*) < 0, allora x* è un punto di massimo locale.
  • Se x* è un punto di massimo locale, allora  f ²(x*) £ 0.
  • Se  f ²(x*) > 0, allora x* è punto di minimo locale.
  • Se x* è un punto di minimo locale, allora  f ²(x*) ³ 0.

Se  f ²(x*) = 0, allora non sappiamo, senza ulteriori investigazioni, quando x* è punto di massimo o minimo locale di  f  [vedi l'esempio x4, -x4, e x3 in x = 0]. In questo caso, l'informazione sui segni delle derivate di ordine superiore può dirci quando un punto sia di massimo locale o di minimo locale. In pratica queste condizioni sono raramente utili, così non le discutiamo.

Più variabili

Un punto stazionario può essere un punto di massimo locale, o di minimo locale, o nessuno dei due. (Per esempio, per una funzione di due variabili potrebbe essere un punto di sella: consideriamo il punto stazionario (0, 0) di  f (xy) = x2 - y2, che è un punto di massimo nella direzione y data da x = 0 e un punto di minimo nella direzione x data da y = 0.)

Come per le funzioni di una sola variabile, possiamo essere in grado di dire quando un punto stazionario sia un punto di massimo o di minimo locale esaminando le derivate del secondo ordine della funzione nel punto stazionario.

Sia (x0y0) un punto stazionario della funzione  f  di due variabili. Supponiamo che sia un punto di massimo locale. Allora deve essere certamente un punto di massimo lungo le due rette attraverso (x0y0) parallele agli assi. Usando la teoria delle funzioni di una sola variabile, concludiamo che

 f 11²(x0y0£ 0 e  f 22²(x0y0£ 0,
dove  f ij² denota la derivata parziale seconda di  f  prima rispetto al suo i-esimo argomento, poi rispetto al suo j-esimo argomento.

Purtroppo anche la variante di questa condizione in cui entrambe le disuguaglianze sono strette, non è sufficiente affinché (x0y0) sia un punto di massimo, come dimostra il prossimo esempio.

Esempio
Consideriamo la funzione  f (xy) = 3xy - x2 - y2. Le condizioni del primo ordine sono

 f 1¢(x, y) =  3y - 2x = 0
 f 2¢(x, y) =  3x - 2y = 0
così  f  ha un solo punto stazionario, (xy) = (0, 0). Ora,

 f 11²(0, 0) =  -£ 0
 f 22²(x, y) =  -£ 0.
Ma (0, 0) non è un punto di massimo locale: in (0, 0) il valore della funzione è 0, ma in (ee) con e > 0 il valore della funzione è 3e2 - e2 - e2 = e2, che è maggiore di zero (e perciò supera  f (0, 0) = 0) per quanto piccolo sia e.

Questo esempio dimostra che nel caso di una funzione  f  di due variabili, dobbiamo esaminare non solo le derivate parziali  f 11² and  f 22², ma anche le derivate parziali miste  f 12².

Per una funzione di più variabili, dobbiamo guardare tutte le derivate parziali miste. Ne segue che la condizione del secondo ordine per punti di ottimo locali di una funzione di più variabili ha a che fare con l'Hessiano della funzione. Notate che se tutte le derivate parziali  f ij² sono continue per ogni x in un certo insieme S allora dal teorema di Young otteniamo  f ij²(x) =  f ji²(x) per ogni x Î S, così per una tale funzione l'Hessiano è simmetrico. (La condizione è soddisfatta, per esempio, da qualsiasi polinomio.) Supporremo sempre che le funzioni soddisfino la condizione per cui i loro Hessiani risultino simmetrici.

Proposizione (Condizioni del secondo ordine per funzioni di più variabili)
Sia  f  una funzione di n variabili con derivate parziali continue del primo e del secondo ordine, definita nell'insieme S. Supponiamo che x* sia un punto stazionario di  f  nell'interno di S (così che  f i¢(x*) = 0 per ogni i).
  • Se H(x*) è definito negativo, allora x* è punto di massimo locale.
  • Se x* è punto di massimo locale, allora H(x*) è semidefinito negativo.
  • Se H(x*) è definito positivo, allora x* è punto di minimo locale.
  • Se x* è punto di minimo locale, allora H(x*) è semidefinito positivo.

Un'implicazione di questo risultato è che x* è un punto stazionario di  f  allora

Per una funzione  f  di due variabili, l'Hessiano è
  f 11²(x*)    f 12²(x*) 
  f 21²(x*)    f 22²(x*) 
.
Questa matrice è definita negativa se  f 11²(x*) < 0 e ½H(x*)½ > 0. (Notate che questi due fatti implicano che  f 22²(x*) < 0.) Così la condizione extra, in aggiunta alle due condizioni  f 11²(x*) < 0 e  f 22²(x*) < 0 considerate originariamente, affinché x* sia punto di massimo locale è  f 11²(x*) f 22²(x*) -  f 21²(x*) f 12²(x*) > 0.

Analogamente, una condizione sufficiente affinché un punto stazionario x* di una funzione di due variabili sia un punto di massimo locale è  f 11²(x*) > 0 e ½H(x*)½ > 0 (che implica che  f 22²(x*) > 0).

In particolare, se per una funzione di due variabili, ½H(x*)½ < 0, allora x* è né punto di massimo locale né di minimo locale.

Esempio
Consideriamo la funzione  f (xy) = x3 + y3 - 3xy. Le condizioni del primo ordine per un punto di ottimo sono
3x2 - 3y =  0
3y2 - 3x =  0.
I punti stazionari soddisfano y = x2 = y4, quindi sia (xy) = (0, 0) che y3 = 1. Ci sono due punti stazionari: (0, 0), e (1, 1).

Ora, l'Hessiano di  f  in qualsiasi punto (xy) è

H(xy) =
 6x   -
 -  6y 
.
Così ½H(0, 0)½ = -9, così che (0, 0) è un punto di sella;  f 11²(1, 1) = 6 > 0 e ½H(1, 1)½ = 36 - 9 > 0, dunque (1, 1) è un punto di minimo locale.

Esempio
Consideriamo la funzione  f (xy) = 8x3 + 2xy - 3x2 + y2 + 1. Abbiamo

 f 1¢(xy = 24x2 + 2y - 6x
 f 2¢(xy = 2x + 2y.
L'Hessiano è

 48x - 6   2 
 2   2 
Per trovare i punti stazionari della funzione, risolviamo le condizioni del primo ordine. Dalla seconda equazione abbiamo y = -x; sostituendo questa nella prima equazione troviamo che 24x2 - 8x = 8x(3x - 1) = 0. Questa equazione ha due soluzioni, x = 0 e x = 1/3. Ci sono dunque due soluzioni alle condizioni del primo ordine:

(x*, y*) = (0, 0) e (x**, y**) = (1/3, -1/3).

Ora guardiamo alla condizione del secondo ordine. Abbiamo

 f 11²(xy) = 48x - 6,  f 22²(xy) = 2, e  f ¢¢12(xy) = 2.

Studiamo un punto stazionario per volta:

(x*, y*) = (0, 0)
Abbiamo  f 11²(0, 0) = -6 < 0 e
 f 11²(0, 0) f 22²(0, 0) -f 12²(0, 0))2 = -16 < 0.
Così (x*, y*) = (0, 0) è un punto di massimo locale punto di minimo locale (infatti, dato che  f 11²(0, 0) e  f 22²(0, 0) hanno segno opposto, è un punto di sella).
(x**, y**) = (1/3, -1/3)
Abbiamo  f 11²(1/3, -1/3) = 10 > 0 e
 f 11²(1/3, -1/3) f 22²(1/3, -1/3) -f 12²(1/3, -1/3))2 = 96/3 - 16 = 16 > 0.
Così (x**, y**) = (1/3, -1/3) è un punto di minimo locale. Il minimo valore della funzione è  f (1/3, -1/3) = 23/27.

Esercizi


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