3.2.2 Forme quadratiche: condizioni per la definitività

Definizioni

Alcune domande rilevanti quando studiamo la concavità e la convessità di funzioni di più variabili sono: E' utile la seguente terminologia.

Sia Q(x) una forma quadratica, e sia A la matrice simmetrica che la rappresenta (i.e. Q(x) = x¢Ax). Allora Q(x) (e la matrice associata A) è

Esempio:
x12 + x22 > 0 se (x1x2¹ 0: questa forma quadratica è positiva definita. Più in generale, ax12 + cx22 è positiva definita se a > 0 e c > 0

Esempio:
(x1 + x2)2 ³ 0 per ogni (x1x2): questa forma quadratica è positiva semidefinita. Non è positiva definita perché (x1 + x2)2 = 0 per (x1x2) = (1,-1) (per esempio).

Esempio:
x12 - x22 > 0 per (x1x2) = (1, 0) (per esempio), e x12 - x22 < 0 per (x1x2) = (0, 1) (per esempio). Quindi questa forma quadratica è indefinita.

Due variabili

Possiamo facilmente derivare le condizioni per la definitività di ogni forma quadratica in due variabili. Per rendere l'argomento più leggibile, modifichiamo leggermente la notazione, usando x e y per le variabili, piuttosto che x1 e x2. Consideriamo la forma quadratica
Q(xy) = ax2 + 2bxy + cy2.

Se a = 0 allora Q(1,0) = 0, così Q è né positiva definita né negativa definita. Assumiamo quindi che sia a ¹ 0.

Dato a ¹ 0, abbiamo

Q(xy) = a[(x + (b/a)y)2 + (c/a - (b/a)2)y2].
Entrambi i quadrati sono sempre non-negativi, e almeno uno di essi è positivo a meno che (x, y) = (0, 0). Così se a > 0 e c/a - (b/a)2 > 0, allora Q(xy) è definita positiva. Dato a > 0, la seconda condizione è ac > b2. Concludiamo così che se a > 0 e ac > b2, allora Q(xy) è definita positiva.

Ora, abbiamo Q(1, 0) = a and Q(-b/a, 1) = (ac - b2)/a. Così, se Q(xy) è definita positiva, allora a > 0 e ac > b2.

Concludiamo che Q(xy) è definita positiva se e solo se a > 0 e ac > b2.

Un procedimento simile dimostra che Q(xy) è definita negativa se e solo se a < 0 e ac > b2.

Notate che se a > 0 e ac > b2, allora, poiché b2 ³ 0 per ogni b, possiamo concludere che c > 0. Similmente, se a < 0 e ac > b2, allora c < 0. Così, per determinare se una forma quadratica sia positiva definita o negativa definita, abbiamo bisogno di osservare solo il segno di a e di ac - b2, tuttavia se le condizioni per la definitività positiva sono soddisfatte allora deve anche essere c > 0, e se le condizioni per la definitività negativa sono soddisfatte, allora c < 0.

Da notare che ac - b2 è il determinante della matrice che rappresenta la forma quadratica, in simboli

A =
 a   b 
 b   c 
Così possiamo riscrivere il risultato come segue: la forma quadratica in due variabili Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 è

Più variabili

Per determinare le condizioni affinché una forma quadratica di n variabili sia definita positiva o definita negativa, dobbiamo esaminare i determinanti di alcune sue sottomatrici.

Definizione
Il minore principale di guida di ordine k della matrice simmetrica n ´ n A = (aij) è il determinante della matrice ottenuta cancellando le ultime n - k righe e colonne di A (dove k = 1, ... , n):
Dk =
 a11    a12     ...     a1k 
 a21    a22    ...    a2k 
 ...    ...    ...    ... 
 ak1    ak2    ...    akk 

Esempio
Sia
A =
 3   1   2 
 1   -  3 
 2   3   2 
Il minore principale di guida del primo ordine D1 è il determinante della matrice che si ottiene da A cancellando le ultime due righe e colonne; cioè, D1 = 3. Il minore principale di guida del secondo ordine D2 è il determinante della matriche che deriva da A cancellando l'ultima riga e l'ultima colonna; cioè,
D2 =
 3   1 
 1   -
,
così D2 = -4. Infine, il minore principale di guida del terzo ordine D3 è il determinante di A, cioè -19.

Il risultato seguente caratterizza le forme quadratiche definite positive e negative (e le loro matrici associate).

Proposizione
Sia A una matrice simmetrica n ´ n e siano Dk per k = 1, ... , n i suoi minori principali di guida. Allora
  • A è definita positiva se e solo se Dk > 0 per k = 1, ..., n.
  • A è definita negativa se e solo se (-1)kDk > 0 per k = 1, ..., n. (Cioè, se e solo se i minori principali di guida alternano il loro segno, partendo dal segno negativo per D1.)

Nel caso speciale in cui n = 2 queste condizioni si riducono alle precedenti perché per

A =
 a   b 
 b   c 
abbiamo D1 = a e D2 = ac - b2.

Esempio
Sia
A =
 -  2   0 
 2   -  0 
 0   0   -
.
I minori principali di guida di A sono D1 = -3 < 0, D2 = (-3)(-3)-(2)(2) = 5 > 0, e ½A½ = -25 < 0. Così A è definita negativa.
Esempio
Abbiamo visto sopra che i minori principali di guida della matrice
A =
 3   1   2 
 1   -  3 
 2   3   2 
sono D1 = 3, D2 = -4, and D3 = -19. Così A non è né definita positiva né definita negativa. (Notate che possiamo dire ciò osservando solo i primi due minori principali di guida---non c'è bisogno di calcolare D3.)


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