5.2 Ottimizzazione con vincoli di uguaglianza: n variabili, m vincoli

Il metodo di Lagrange può venir facilmente generalizzato ad un problema della forma
maxx  f (x) con gj(x) = cj per j = 1, ..., m
con n variabili e m vincoli (dove x = (x1, ..., xn)).

Per questo problema la Lagrangiana è

L(x) =  f (x- åj=1mlj(gj(x- cj).
Cioè, c'è un moltiplicatore di Lagrange per ogni vincolo.

Come per il caso di due variabili ed un vincolo, la condizione del primo ordine è che x* sia punto stazionario per la Lagrangiana. La condizione di "nondegeneracy" nel caso di due variabili---vale a dire che almeno uno di g1¢(x1x2) e g2¢(x1x2)sia non nullo---è meno banale da generalizzare. La generalizzazione appropriata include il concetto di "rango" di una matrice n ´ m in cui l'(ij)-esimo elemento è la derivata parziale di gj rispetto a xi valutata in x*. Nessuno dei problemi richiede che siate in grado di applicare questa condizione.

Proposizione (Condizioni necessarie per un estremo)
Siano  f  e g1, ..., gm funzioni continue e derivabili in un certo dominio A e supponiamo che x* = (x1*, ..., xn*) sia interno ad A e risolva il problema

maxx  f (x) con gj(x) = cj per j = 1,...,m.

oppure il problema

minx  f (x) con gj(x) = cj per j = 1,...,m.

o sia un punto di massimo o minimo locale di  f (x) con gj(x) = cj per j = 1, ..., m. Supponiamo poi che il rango della matrice ("Jacobiano") in cui l'(ij)-esimo elemento è (gj/xi)(x*) sia m.

Allora esistono numeri l1, ..., lm tali che la Lagrangiana

L(x) =  f (x- åj=1mlj(gj(x- cj)

abbia un punto stazionario in x*. Cioè, x* soddisfa le condizioni del primo ordine

 f i¢(x*) - åj=1mlj(gj/xi)(x*) = 0 per i = 1,...,n
In aggiunta, gj(x*) = cj per j = 1, ..., m.

Come nel caso di due variabili e un vincolo, le condizioni del primo ordine e il vincolo sono sufficienti per un massimo se la Lagrangiana è concava, e sono sufficienti per un minimo se la Lagrangiana è convessa, come stabilito precisamente nel seguente risultato.

Proposizione (Condizioni per le quali sono sufficienti le condizioni necessarie per un estremo)
Supponiamo che  f  e gj per j = 1,...,n siano funzioni continue e derivabili definite in un sottoinsieme aperto convesso A di uno spazio a n dimensioni e sia xÎ A un punto stazionario interno della Lagrangiana

L(x) =  f (x- åj=1ml*(gj(x- cj).
Supponiamo inoltre che gj(x*) = cj per j = 1, ..., m. Allora
  • Se L è concava---in particolare se  f  è concava e lj*gj è convessa per j = 1, ..., m---allora x* risolve il problema di massimizzazione vincolata
  • Se L è convessa---in particolare se  f  è convessa e l*jgj è concava per j = 1, ..., m---allora x* risolve il problema di minimizzazione vincolata

Esempio
Consideriamo il problema
minx,y,z x2 + y2 + z2 con x + 2y + z = 1 e 2x - y - 3z = 4.

La Lagrangiana è

L(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - l1(x + 2y + z - 1) - l2(2x - y - 3z - 4)

Le condizioni del primo ordine sono

2x - l1 - 2l2  = 0
2y - 2l1 + l2  = 0
2z - l1 + 3l2  = 0

e i vincoli sono

x + 2y + z =  1
2x - y - 3z =  4

Risolvete le prime due condizioni del primo ordine rispetto a l1 e l2 per avere

l1 =  (2/5)x + (4/5)y
l2 =  (4/5)x - (2/5)y.

Sostituite ora nell'ultima la condizione del primo ordine e poi utilizzate i due vincoli per ottenere

x = 16/15, y = 1/3, z = -11/15,
con l1 = 52/75 e l2 = 54/75.

Ora, la Lagrangiana è una funzione convessa, visto che la funzione obiettivo è convessa, i vincoli sono lineari, e il moltiplicatore è positivo. Concludiamo che (xyz) = (16/15, 1/3, -11/15) è la soluzione del problema.

Interpretazione economica dei moltiplicatori di Lagrange

Nel caso di un problema con due variabili ed un vincolo abbiamo visto che il moltiplicatore di Lagrange ha una interessante interpretazione economica. Questa interpretazione viene generalizzata al caso di un problema con n variabili e m vincoli.

Consideriamo il problema

maxx  f (x) con gj(x) = cj per j = 1,...,m,
dove x = (x1, ..., xn). Sia x*(c) la soluzione di questo problema, dove c è il vettore (c1, ..., cm) e sia
 f *(c) =  f (x*(c)).
Allora abbiamo
 f *j¢(c) = lj(c) per j = 1,...,m,
dove lj è il valore del moltiplicatore del j-esimo vincolo nella soluzione del problema.

Cioè:

il valore del moltiplicatore di Lagrange per il j-esimo vincolo nella soluzione del problema è pari al tasso di variazione del massimo valore della funzione oggetto quando aumenta il j-esimo vincolo.
Se il j-esimo vincolo aumenta, in quanto limite all'ammontare di alcune risorse, allora ci riferiamo a lj(c) come prezzo ombra della j-esima risorsa.

Esercizi


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