3.2.3 Forme quadratiche: condizioni per la semidefinitività

Due variabili

Per primo consideriamo il caso di una forma quadratica a due variabili
Q(xy) = ax2 + 2bxy + cy2.

Se a = 0 allora Q(x, 1) = 2bx + c. Questa espressione è non-negativa per tutti i valori di x se e solo se b = 0 e c ³ 0, in tal caso ac - b2 = 0.

Ora prendiamo a ¹ 0. Come prima, abbiamo

Q(xy) = a[(x + (b/a)y)2 + (c/a - (b/a)2)y2].
Entrambi i quadrati sono non-negativi, così se a > 0 e ac - b2 ³ 0, allora questa espressione è non-negativa per ogni (xy). Se queste due condizioni sono soddisfatte, allora c ³ 0.

Concludiamo che se a ³ 0, c ³ 0, e ac - b2 ³ 0, allora la forma quadratica è semidefinita positiva.

Al contrario, se la forma quadratica è semidefinita positiva allora Q(1, 0) = a ³ 0, Q(0, 1) = c ³ 0, e Q(-ba) = a(ac - b2³ 0. Se a = 0 allora dal passaggio precedente deve essere b = 0 e c ³ 0 affinché la forma quadratica sia semidefinita positiva, così che ac - b2 = 0; se a > 0 allora deve essere ac - b2 ³ 0 affinché (ac - b2³ 0.

Concludiamo che la forma quadratica è semidefinita positiva se e solo se a ³ 0, c ³ 0, e ac - b2 ³ 0.

Un procedimento simmetrico implica che la forma quadratica è semidefinita negativa se e e solo se a £ 0, c £ 0, e ac - b2 ³ 0.

Notate che, in questo caso, diversamente da quello della definitività positiva e negativa, dobbiamo verificare tutte e tre le condizioni, non solo due di esse. Se a ³ 0 e ac - b2 ³ 0, non è necessariamente vero che c ³ 0 (provate a = b = 0 e c < 0), così la forma quadratica non è necessariamente semidefinita positiva. (Analogamente, le condizioni a £ 0 e ac - b2 ³ 0 non sono sufficienti affinché la forma quadratica sia semidefinita negativa: dovrà essere anche c £ 0.)

Quindi possiamo riscrivere il risultato come segue: la forma quadratica a due variabili Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 è

dove
A =
 a   b 
 b   c 
Segue che la forma quadratica è indefinita se e solo se ½A½ < 0. (Notate che se ½A½ ³ 0 allora ac ³ 0,così non possiamo avere a < 0 e c ³ 0, o a ³ 0 e c £ 0.)

Più variabili

Come nel caso di due variabili, per determinare quando una forma quadratica sia semidefinita positiva o negativa abbiamo bisogno di verificare più condizioni di quelle necessarie per controllare la definitività positiva o negativa. In particolare, non è vero che una forma quadratica è semidefinita positiva o negativa se le diseguaglianze nelle condizioni per la definitività sono debolmente soddisfatte. Per determinare quando una forma quadratica sia semidefinita positiva o negativa dobbiamo guardare altre cose oltre ai minori principali di guida. La seguente definizione descrive le matrici che dobbiamo esaminare.

Definizione
I minori principali di ordine k di una matrice simmetrica A n´ n sono i determinanti delle matrici k ´ k ottenute cancellando le n - k righe e le corrispondenti n - k colonne di A (dove k = 1, ... , n).

Notate che il minore principale di guida di ordine k di una matrice è uno dei suoi minori principali di ordine k.

Esempio:
Sia
A =
 a   b 
 b   c 
I minori principali del primo ordine di A sono a e c e il minore principale del secondo ordine è il determinante di A, cioè ac - b2.

Esempio:
Sia
A =
 3   1   2 
 1   -  3 
 2   3   2 
Questa matrice ha tre minori principali del primo ordine, ottenuti cancellando
  • le ultime due righe e colonne
  • la prima e la terza riga e la prima e la terza colonna
  • le prime due righe e colonne
che ci fanno ottenere semplicemente gli elementi sulla diagonale principale della matrice: 3, -1, e 2. La matrice ha inoltre tre minori principali del secondo ordine, ottenuti cancellando
  • l'ultima riga e l'ultima colonna
  • la seconda riga e la seconda colonna
  • la prima riga e la prima colonna
che danno -4, 2, e -11. Infine, la matrice ha un minore principale del terzo ordine, cioè il suo determinante, -19.

Il risultato seguente ci fornisce dei criteri per la semidefinitività.
Proposizione
Sia A una matrice simmetrica n ´ n. Allora
  • A è semidefinita positiva se e solo se tutti i minori principali di A sono non negativi.
  • A è semidefinita negativa se e solo se tutti i minori principali di ordine k di A sono £ 0 se k è dispari e ³ 0 se k è pari.

Esempio:
Sia
A =
 0   0 
 0   -
I due minori principali del secondo ordine sono 0 e -1, e il minore principale del secondo ordine è 0. Quindi la matrice è semidefinita positiva. (Non è definita negativa, perché il primo (e il secondo) minore principale di guida è zero.)

Procedimento per verificare la definitività di una matrice

Esempio
Supponiamo che i minori principali di guida della matrice A´ 3 siano D1 = 1, D2 = 0, e D3 = -1. Né le condizioni affinché A sia definita positiva né quelle affinché A sia definita negativa sono soddisfatte. Infatti, entrambe le condizioni sono strettamente violate (D1 è positivo mentre D3 è negativo), così la matrice è indefinita.

Esempio
Supponiamo che i minori principali di guida della matrice A´ 3 siano D1 = 1, D2 = 0, e D3 = 0. Né le condizioni affinché A sia definita positiva né quelle affinché A sia definita negativa sono soddisfatte. Ma la condizione per la definitività positiva non è strettamente violata. Per verificare la semidefinitività, dobbiamo esaminare tutti i minori principali.

Forme quadratiche e funzioni quadratiche

Forse vi starete chiedendo: perché guardare solamente alle forme quadratiche?---perché non considerare arbitrariamente funzioni quadratiche? Nel caso di due variabili, una tale funzione prende la forma
 f (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + px + qy + r.
Studiando le forme quadratiche noi studiamo anche le funzioni quadratiche: cambiando le variabili possiamo ridurre qualsiasi funzione quadratica in una forma quadratica. Nel caso di due variabili, scegliamo x, h, e d così che
2ax + 2bh = p, 2bx + 2ch = q, e ax2 + 2bxh + ch2 + d = r.
Quindi la funzione quadratica di sopra può essere scritta come
 f (x, y) = a(x + x)2 + 2b(x + x)(y + h) + c(y + h)2 + d,
che, ignorando la costante d, è una forma quadratica nelle variabili x + x e y + h. L'unico problema è che può non essere possibile scegliere x, h, e d per soddisfare le tre condizioni. E' possibile se ac ¹ b2; se ac = b2 allora  f (x, y) può venir espressa differentemente come una funzione quadratica semplice. (vedi pp. 529--530 nel testo per i dettagli.)

Esercizi


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