6.4 Ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza: vincoli di non negatività

Frequentemente, i problemi di ottimizzazione che incontriamo in economia hanno dei vincoli di non negatività applicati alle variabili. Per esempio, un consumatore sceglie un paniere di beni x per massimizzare la sua funzione di utilità u(x) sotto il suo vincolo di bilancio e la condizione x ³ 0. Un tale problema è un caso speciale di un generale problema di massimizzazione con vincoli di disuguaglianza, precedentemente studiato. Per risolverlo, possiamo così utilizzare il risultato appena sviluppato. Comunque, in alcuni casi è più conveniente determinare risultati alternativi fatti su misura per problemi di ottimizzazione con vincoli di non negatività.

Per prima cosa consideriamo un problema ad una dimensione con un solo vincolo di non negatività:

maxx f (x) con x ³ 0.
Nella soluzione x* abbiamo Possiamo riscrivere queste condizioni come
 f ¢(x*) £ 0, x³ 0 e xf ¢(x*) = 0
(xf ¢(x*) = 0 implica x* = 0 o  f ¢(x*) = 0).

Ora consideriamo un problema con più variabili:

maxx f (x) con x ³ 0.
In questo caso nella soluzione x*, per ogni j, xj* = 0 ovvero  f j¢(x*) = 0, o
 f j¢(x*) £ 0, x*j ³ 0, e xj*· f j¢(x*) = 0 per j = 1,...,n,
oppure, in una notazione più compatta,
Ñ f (x*) £ 0, x³ 0, e xÑ f (x*) = 0.

Ora consideriamo il problema generale

maxx f (x) con gj(x£ cj per j = 1, ..., m e xi ³ 0 per i = 1, ..., n.
Sia
M(x) =  f (x- åj=1mlj[gj(x- cj].
Notate che i vincoli di non negatività non sono inclusi in questa Lagrangiana. Le condizioni del primo ordine per questo problema sono le seguenti condizioni di Kuhn-Tucker:

Mi¢(x*) £ 0, xi³ 0, e xi*·Mi¢(x*)  = 0 per i = 1,...,n
gj(x*) £ cj, lj ³ 0, e lj·[gj(x*) - cj = 0 per j = 1,...,m.

L'ultima condizione per ogni riga di queste condizioni è detta condizione di complementary slackness.

Queste condizioni hanno lo stesso contenuto delle originali condizioni di Kuhn-Tucker per la Lagrangiana L(x) =  f (x- åj=1mlj[gj(x- cj] + åj=1nlj+mxj, che include esplicitamente le funzioni vincolo che contengono i vincoli di non negatività. (Verificherete questo fatto in un esercizio.)

(Notate che, come prima, possiamo applicare queste condizioni ad un problema di minimizzazione moltiplicando la funzione obiettivo per -1.)

Esempio
Consideriamo il problema

maxx,y xy con x + y £ 6, x ³ 0 e y ³ 0

studiato nella precedente sezione. La forma alternativa della Lagrangiana definita sopra è

M(xy) = xy - l(x + y - 6)

e le condizioni di Kuhn-Tucker sono

y - l  £ 0, x ³ 0, e x(y - l) = 0
x - l  £ 0, y ³ 0, e y(x - l) = 0
l  ³ 0, x + y £ 6, l(x + y - 6) = 0.

Possiamo trovare una soluzione a queste condizioni in questo modo.

  • Se x > 0, dal primo insieme di condizioni abbiamo y = l. Se y = 0, in questo caso allora l = 0, così il secondo insieme di condizioni implica x £ 0, contraddicendo x > 0. Perciò y > 0, e così x = l, così che x = y = l = 3.
  • Se x = 0, allora se y > 0, abbiamo l = 0 dal secondo insieme di condizioni, così la prima condizione contraddice y > 0. Dunque y = 0 e quindi l = 0 dal terzo insieme di condizioni.

Concludiamo (come prima) che ci sono due soluzioni alle condizioni di Kuhn-Tucker, in questo caso (xyl) = (3, 3, 3) e (0, 0, 0). Dato che il valore della funzione oggetto in (3, 3) è più grande del valore della stessa in (0, 0), la soluzione è (3, 3).

Esercizi


Copyright © 1997-2002 by Martin J. Osborne