- Esempio
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Consideriamo il problema
maxx,y x2y con 2x2 + y2 = 3.
Notate che l'insieme vincolare è compatto e la funzione oggetto è continua, per cui per il teorema del valore estremo il problema ammette soluzione.
La Lagrangiana è
L(x, y) = x2y - l(2x2 + y2 - 3)
le condizioni del primo ordine sono
L¢1(x, y) = 2xy - 4lx = 2x(y -
2l) |
= |
0 |
L¢2(x, y) = x2 - 2ly |
= |
0 |
e il vincolo è 2x2 + y2 - 3 = 0.
Per trovare le soluzioni di queste tre equazioni, per prima cosa notate che dalla prima equazione si ottiene o x = 0 o y = 2l. Possiamo verificare una possibilità per volta.
- x = 0: abbiamo y = 31/2 e l = 0, o y = -31/2 e l = 0.
- y = 2l: abbiamo x2 = y2 dalla seconda equazione, dunque o x = 1 o x = -1 dalla terza equazione.
- x = 1: o y = 1 e l = 1/2, o y = -1 e l = -1/2.
- x = -1: o y = 1 e l = 1/2, o y = -1 e l = -1/2.
Dunque,le condizioni del primo ordine danno sei soluzioni:
- (x, y, l) = (0, 31/2,0), con f (x, y) = 0.
- (x, y, l) = (0, -31/2,0), con f (x, y) = 0.
- (x, y, l) = (1, 1, 1/2), con f (x, y) = 1.
- (x, y, l) = (1, -1, -1/2), con f (x, y) = -1.
- (x, y, l) = (-1, 1, 1/2), con f (x, y) = 1.
- (x, y, l) = (-1, -1, -1/2), con f (x, y) = -1.
Ora, g¢1(x, y) = 4x e g¢2(x, y) = 2y, così l'unico valore di (x, y) per cui
g¢1(x, y) = 0 e g¢2(x, y) = 0 è (x, y) = (0, 0). In questo punto il vincolo non è soddisfatto, dunque l'unica possibile soluzione per il problema è data dalle soluzioni delle
condizioni del primo ordine.
Concludiamo che il problema ha due soluzioni, (x, y) = (1, 1) e (x, y) = (-1, 1).
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