3.1 Funzioni concave e convesse di una sola variabile
Funzioni derivabili due volte
Le funzioni concave e convesse giocano un ruolo molto importante nella teoria economica.
Una funzione derivabile due volte (cioè una funzione derivabile con derivata a sua volta derivabile) è concava se la sua derivata seconda è non positiva ed è convessa se la sua derivata seconda è non negativa. Segue una definizione precisa.
Un intervallo è un insieme di numeri reali compresi tra (e che può includere) due numeri. L'intervallo di tutti i numeri da a a b, compresi a e b, viene scritto come [a, b]; l'intervallo di tutti i numeri da a a b, escludendo a e b, viene scritto come (a, b). (L'intervallo che include
a ma non b si scrive [a, b) e quello che include b ma non a si scrive (a, b].)
L'interno di un intervallo è l'insieme di tutti i numeri nell'intervallo eccetto i punti di frontiera. Così l'interno di [a, b] è (a, b), che è pure l'interno di (a, b], [a, b), e (a, b).
- Definzione
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Una funzione derivabile due volte f di una sola variabile è
- concava nell' intervallo I se f ¢¢(x) £ 0 per ogni x appartenente all'interno di I
- convessa nell'intervallo I se f ¢¢(x) ³ 0 per ogni x appartenente all'interno di I.
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La seguente figura mostra alcuni esempi.
L'importanza delle funzioni concave e convesse nella teoria dell'ottimizzazione deriva dal fatto che se la funzione f è concava allora ogni punto x in cui f ¢(x) = 0 è un punto di massimo globale, e se è convessa allora ogni punto siffatto è un punto di minimo globale.
Notate che una funzione è sia concava che convessa se e solo se prende la forma f (x) = ax + b (cioè se è una funzione "affine").
- Esempio:
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La funzione x2 - 2x + 2 è concava o convessa? In che intervallo? La sua derivata seconda è 2 ³ 0, dunque è convessa per ogni x.
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- Esempio:
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La funzione x3 - x2 è concava o convessa in un intervallo? La sua derivata seconda è 6x - 2, così essa è convessa nell'intervallo [1/3, ¥) e concava nell'intervallo
(-¥, 1/3].
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- Esempio:
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Supponiamo che U e g siano due funzioni di una sola variabile non decrescenti, concave e derivabili due volte (cioè, U¢(x) ³ 0, U²(x) £ 0,
g¢(x) ³ 0, e g²(x) £ 0 per ogni x). Dimostriamo che f (x) = g(U(x)) è non decrescente e concava.
Abbiamo f ¢(x) = g¢(U(x))U¢(x). Dato che g¢(x) ³ 0 per ogni x e
U¢(x) ³ 0 per ogni x, abbiamo f ¢(x) ³ 0 per ogni x. Quindi f è non decrescente.
Inoltre,
f ²(x) = g²(U(x))·U¢(x)·U¢(x) + g¢(U(x))U²(x).
Dato che g²(x) £ 0, g¢(x) ³ 0, e U²(x) £ 0, abbiamo
f ²(x) £ 0. Dunque f è concava.
Cioè: una trasformazione concava non decrescente di una funzione concava non decrescente è non decrescente e concava.
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Un punto in cui una funzione passa da convessa a concava, o viceversa, è un punto di flesso.
- Definizione
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c è un punto di flesso di una funzione f derivabile due volte se esistono tre punti a, be c con a < c < b dove vale
- f ²(x) ³ 0 se a < x < c e f ²(x) £ 0 se c < x < b
- oppure f ²(x) £ 0 se a < x < c e f ²(x) ³ 0 se c < x < b.
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La seguente figura mostra un esempio di punto di flesso.
- Proposizione
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- Se c è un punto di flesso per f , allora f ²(c) = 0.
- Se f ²(c) = 0 e f ² cambia segno in c allora c è un punto di flesso.
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Notate, comunque, che f ² non deve cambiare segno in c affinché c sia un punto di flesso per f . Per esempio, ogni punto di una funzione lineare è un punto di flesso.
Funzioni generali
La precedente definizione di concavità e convessità si applica solo alle funzioni derivabili due volte. La seguente definizione si applica a tutte, ed ha due vantaggi addizionali: si basa sulle proprietà geometriche "elementari" della funzione, ed è facilmente generalizzabile alle funzioni di più variabili.
- Definizione
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Sia f una funzione di una sola variabile definita in un intervallo. Allora f è
- concava se il segmento che unisce qualsiasi coppia di punti del suo grafico non giace mai sopra il grafico.
- convessa se il segmento che unisce qualsiasi coppia di punti del suo grafico non giace mai sotto il grafico.
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Per rendere utile questa definizione abbiamo bisogno di tradurla in una condizione algebrica tale da poterla verificare. La seguente figura illustra la definizione per una funzione concava.
Ogni punto da a a b può essere scritto come (1 - l)a + lb, dove l è un numero reale compreso tra 0 e 1. (Quando l = 0, il punto è a; quando l = 1 è
b). La caratteristica della figura che non è ovvia è l'ordinata del segmento da (a, f (a)) a (b, f (b)) nel punto x = (1 - l)a + lb. Chiamiamo h la funzione che definisce
questa ordinata (segmento). Vorremmo trovare h((1 - l)a + lb). Il fatto che h sia lineare significa che
h((1 - l)a + lb) = (1 - l)h(a) + lh(b).
Inoltre, abbiamo h(a) = f (a) e h(b) = f (b), così
h((1 - l)a + lb) = (1 - l) f (a) + l f (b),
come indicato nella figura.
Dato questo fatto, le funzioni concave e convesse possono essere rigorosamente definite come segue.
- Definizione
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Sia f una funzione di una sola variabile definita in un intervallo. Allora f è
- concava nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)a + lb) ³ (1 - l) f (a) + l f (b).
- convessa nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)a + lb) £ (1 - l) f (a) + l f (b).
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Si noti che questa definizione, diversamente da quella originale, non dipende dal fatto che f sia o meno derivabile due volte, o anche soltanto derivabile .
Si noti anche che f è concava se e solo se - f è convessa.
Il prossimo esempio generalizza un esempio precedente, che si applica solo alle funzioni derivabili.
- Esempio:
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Sia U concava e g non decrescente e concava. Sia f (x) = g(U(x)). Dimostrate che f è concava.
Abbiamo bisogno di dimostrare che f ((1-l)a + lb) ³ (1-l) f (a) + l f (b).
Dalla definizione di f abbiamo
f ((1-l)a + lb) = g(U((1-l)a + lb)).
Ora, dato che U è concava abbiamo
U((1-l)a + lb) ³ (1 - l)U(a) + lU(b).
Poiché g è non decrescente, r ³ s implica g(r) ³ g(s). Perciò
g(U((1-l)a + lb)) ³ g((1-l)U(a) + lU(b)).
Ma ora, dalla concavità di g otteniamo
g((1-l)U(a) + lU(b)) ³ (1-l)g(U(a)) + lg(U(b)) =
(1-l) f (a) + l f (b).
Dunque f è concava.
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Convessità e concavità strette
Le diseguaglianze nella definizione di funzioni concave/convesse sono deboli: una funzione concava/convessa può avere parti lineari, come nella seguente figura.
Una funzione concava che non ha parti lineari è detta strettamente concava.
- Definizione
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La funzione f è
- strettamente concava nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I con a ¹ b, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)a + lb) > (1 - l) f (a) + l f (b).
- strettamente convessa nell'intervallo I se per ogni a Î I, ogni b Î I con a ¹ b, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)a + lb) < (1 - l) f (a) + l f (b).
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Se f è derivabile due volte, allora
f è concava su [a, b] se e solo se f ²(x) £ 0 per ogni x Î (a, b).
Se f ²(x) < 0 per ogni x Î (a,b) allora f è strettamente concava su [a, b], ma non è vero l'inverso: se f è strettamente concava allora la sua derivata seconda non è necessariamente negativa in ogni suo punto. (Considerate
la funzione f (x) = -x4. E' concava, ma la sua derivata seconda in 0 è zero). Cioè,
f è strettamente concava su [a, b] se f ²(x) < 0 per ogni x Î (a, b), ma se f è strettamente concava su [a, b] allora f ²(x)
non è necessariamente negativa per ogni x Î (a, b).
(Osservazioni analoghe si applicano al caso di funzioni convesse e strettamente convesse, dove le condizioni f ²(x) ³ 0 e f ²(x) > 0 rimpiazzano rispettivamente le condizioni
f ²(x) £ 0 e f ²(x) < 0.)
Esercizi
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