7.1 Equazioni differenziali del primo ordine

Introduzione

Una equazione differenziale ordinaria è un'equazione della forma
G(t, x(t), x¢(t), x²(t), ...) = 0 per ogni t,
dove G è una funzione nota e x è una funzione incognita, x¢(t) è la derivata di x rispetto a t, x²(t) è la derivata seconda di x rispetto a t, e così via. Per risolvere questa equazione abbiamo bisogno di trovare una funzione x che soddisfi l'equazione per ogni valore di t. Il nome "equazione differenziale" viene qualificato con l'aggiunta del termine "ordinaria" per riflettere il fatto che solo una variabile, x, è implicata.

(La derivata x¢(t) viene spesso indicata con un punto sopra la x, piuttosto che una virgola prima di essa; usiamo la virgola per le limitazioni del linguaggio HTML.)

In generale una equazione differenziale che ammette soluzione ha più soluzioni, ognuna corrispondente ad un differente insieme di "condizioni iniziali". Se la nostra equazione differenziale è x¢(t- 1 = 0, per esempio, allora x(t) = t + C è una soluzione per qualsiasi valore di C. Se sappiamo che x(0) = 0, per esempio, allora abbiamo C = 0; o se x(1) = 2, allora C = 1. Una equazione differenziale assieme ad una condizione iniziale è chiamata problema con valori iniziali.

Se solo la derivata prima x¢(t) di x è implicata allora l'equazione è una equazione differenziale ordinaria del primo ordine.

La variabile indipendente è spesso indicata con t per il fatto che essa rappresenta il tempo. Comunque, in alcuni casi la variabile indipendente presenta un'interpretazione diversa.

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Una equazione differenziale ordinaria del primo ordine prende la forma
G(t, x¢(t), x(t)) = 0 per ogni t,
che può essere alternativamente espressa come
x¢(t) = F (tx(t)) per ogni t.

Una tale equazione può risultare difficile, o anche impossibile, da risolvere esplicitamente. Un modo per cogliere uno spunto sul carattere qualitativo della soluzione, senza calcolarla esplicitamente, è quello grafico.

Per illustrarlo, consideriamo l'equazione

x¢(t) = x(t)t.
Per ogni coppia (tx) possiamo trovare il valore di x¢(t), e tracciare questa pendenza in un campo delle direzioni nel quale gli assi sono t (orizzontale) e x (verticale). Per esempio, in (0, 0) abbiamo x¢(t) = 0; in (2, 2) abbiamo x¢(t) = 4. La seguente figura evidenzia le pendenze (indicate dai segmenti tratteggiati) in più punti. (In questa figura la griglia ha punti ogni 1/2 unità.)

Se seguiamo le linee corte che cominciano in qualsiasi punto ci facciamo un'idea della natura della soluzione dell'equazione. La curva che ne risulta, determinata in ogni punto di partenza, è detta curva integrale.

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine separabili

Un' equazione differenziale che si può scrivere così
x¢(t) =  f (t)g(x) per ogni t
è detta separabile.

Esempio
L'equazione

x¢(t) = [ex(t)+t/x(t)]Ö(1 + t2)

è separabile perché possiamo scriverla come

x¢(t) = [ex(t)/x(t)]·[etÖ(1 + t2)].

Esempio
L'equazione

x¢(t) = F (t) + G(x(t))

non è separabile (assumendo che né F  né G siano pari a 0): non può essere scritta nella forma x¢(t) =  f (t)g(x).

Possiamo risolvere un'equazione separabile con una integrazione diretta. Innanzitutto scriviamo l'equazione in questo modo

dx/g(x) =  f (t)dt.
Poi integriamo entrambi i lati, ottenendo
òx(1/g(x))dx = òt f (t)dt,
dove òzh(y)dy è l'integrale indefinito di h(y) valutato in z. Assumendo che siate in grado di calcolare l'integrale, avete una soluzione, sebbene essa possa essere definita solo implicitamente---potreste non essere in grado di isolare x nell'equazione risultante.

Notate anche che se g(a) = 0 per certi a allora x(t) = a per ogni t è una soluzione.

Esempio
Consideriamo l'equazione

x¢(t) = t3/((x(t))6 + 1).

Separando le variabili otteniamo

(x6 + 1)dx = t3dt.

Integrando entrambi i lati si giunge a

x7/7 + x = t4/4 + C.

Così la funzione soluzione x(t) soddisfa

(x(t))7/7 + x(t) = t4/4 + C.
(Questo è un caso in cui non si può isolare x(t).)

Esempio
Consideriamo l'equazione

x¢(t) = -2x2t.

In questo caso otteniamo

x(t) = 1/(t2 + C)

o x(t) = 0 per ogni t se x(0) = 0.

Supponiamo di avere come condizione iniziale x(0) = -1/2. Allora abbiamo

-1/2 = 1/C

così C = -2. Quindi per questa condizione iniziale abbiamo

x(t) = 1/(t2 - 2).

Esempio
Consideriamo l'equazione differenziale

x¢(t) = x(tt,

per la quale abbiamo disegnato precedentemente il campo delle direzioni. In questo caso si ottiene

x(t) = Ce(t2)/2 per ogni t.
Esercizi


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