5.1.2 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange (due variabili, un vincolo)

Consideriamo il problema
maxx,y  f (xy) con g(xy) = c.
Supponiamo di risolvere il problema per vari valori di c. La soluzione sia (x*(c), y*(c)) con un moltiplicatore di Lagrange pari a l*(c). Assumiamo che le funzioni x*, y*, e l* siano derivabili e che g1¢(x*(c), y*(c)) ¹ 0 o g2¢(x*(c), y*(c)) ¹ 0, così che le condizioni del primo ordine siano soddisfatte.

Sia  f *(c) =  f (x*(c), y*(c)). Derivate  f *(c) rispetto a c:

 f *¢(c =  f ¢x(x*(c), y*(c))x*¢(c) +  f ¢y(x*(c), y*(c))y*¢(c)
= l*(c)[g¢x(x*(c), y*(c))x*¢(c) + g¢y(x*(c), y*(c))y*¢(c)]
(utilizzando le condizioni del primo ordine).Ma g(x*(c), y*(c)) = c per ogni c, dunque le derivate di ogni lato di questa uguaglianza sono le stesse. Cioè,
g¢x(x*(c), y*(c))x*¢(c) + g¢y(x*(c), y*(c))y*¢(c) = 1 per ogni c.
Da qui
 f *¢(c) = l*(c).

Cioè,

il valore del moltiplicatore di Lagrange nella soluzione del problema è pari al tasso di variazione del massimo valore della funzione oggetto al variare del vincolo.
Per esempio, in un problema di massimizzazione dell'utilità il valore ottimo del moltiplicatore di Lagrange misura l'utilità marginale del reddito: il tasso di crescita dell'utilità massimizzata al crescere del reddito.

Esempio
Consideriamo il problema

maxxx2 con x = c.
La soluzione è ovvia: x = c (l'unico punto che soddisfa il vincolo!). Il valore massimizzato della funzione è così c2, dunque la derivata di questo massimo valore rispetto a c è 2c.

Verifichiamo ora che il valore del moltiplicatore di Lagrange nella soluzione sia uguale a 2c. La Lagrangiana è

L(x) = x2 - l(x - c),
le condizioni del primo ordine sono
2x - l = 0.
Il vincolo è x = c, così la coppia (xl) che soddisfa la condizione del primo ordine e il vincolo è (c, 2c). Allora vediamo che in effetti l è pari alla derivata del valore massimizzato della funzione rispetto a c.

Esempio
Un'impresa impiega due input per produrre un singolo output. La sua funzione di produzione è

 f (x, y) = xayb,

Il prezzo dell'output è p e i prezzi degli input sono wx e wy. L'impresa è vincolata da un processo produttivo che la obbliga ad usare esattamente lo stesso numero di unità per entrambi gli input.

Il problema dell'impresa è dunque

maxx,y [pxayb - wxx - wyy] con y - x = 0.

(L'impresa è anche vincolata dalle condizioni x ³ 0 e y ³ 0, ma ignoriamo questi vincoli per il momento.)

La Lagrangiana è

L(x,y) = pxayb - wxx - wyy - l(y - x)

le condizioni del primo ordine sono

apxa-1yb - wx + l =  0
bpxayb-1 - wy - l =  0

e il vincolo è y = x. Queste equazioni hanno una sola soluzione:

x = y = ((wx + wy)/(p(a + b)))1/(a+b-1)

e

l = (bwx - awy)/(a + b).

Non esistono valori di (xy) per i quali g1¢(xy) = g2¢(xy) = 0, così se il problema ammette soluzione essa è la soluzione della condizione del primo ordine.

Perciò, dato che l misura il tasso di crescita del valore massimo della funzione obiettivo al crescere del vincolo, segue che se l > 0 allora l'impresa preferirebbe che il vincolo aumentasse: il suo profitto sarebbe maggiore se il vincolo fosse y - x = e, per un certo e > 0.

Supponiamo che bwx > awy, così l > 0. L'impresa vorrebbe utilizzare una maggiore quantità dell'input y rispetto a x. Un ispettore governativo fa capire che in cambio di una bustarella, sarebbe disposto a sorvolare su una piccola variazione del vincolo: permetterebbe all'impresa di usare una piccola quantità in più di y rispetto a x. Supponiamo che il vincolo sia elevato a y - x = e. La massima tangente che l'impresa è disposta a offrire è pari all'aumento del suo profitto massimizzato, che è approssimativamente el = e(bwx - awy)/(a + b). Questa quindi è la massima tangente che l'impresa è disposta a pagare. (Se wx = wy = 1, a = 1/4, e b = 1/2, per esempio, la massima tangente è e/3.)

Esercizi


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