7.5 Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine

Due equazioni in due variabili

Consideriamo il sistema di equazioni differenziali lineari (a coefficienti costanti)
x¢(t = ax(t) + by(t)
y¢(t = cx(t) + dy(t).
Possiamo risolvere questo sistema usando le tecniche della precedente sezione come segue. Per prima cosa isoliamo y(t) nella prima equazione, per ottenere
y(t) = x¢(t)/b - ax(t)/b.
Ora deriviamo questa equazione e avremo
y¢(t) = x²(t)/b - ax¢(t)/b.
Perché sarebbe utile questo passaggio? Perché ora possiamo sostituire a y(t) e a y¢(t) nella seconda delle due equazioni del nostro sistema e avremo
x²(t)/b - ax¢(t)/b = cx(t) + d[x¢(t)/b - ax(t)/b],
che possiamo scrivere come
x²(t- (a + d)x¢(t) + [da - bc]x(t) = 0,
che è un'equazione che sappiamo risolvere!

Avendo risolto questa equazione differenziale lineare del secondo ordine in x(t), possiamo tornare indietro all'espressione per y(t) in termini di x¢(t) e x(t) per ottenere una soluzione per y(t).

(Avremmo potuto alternativamente cominciare isolando x(t) nella seconda equazione e creando un'equazione del secondo ordine in y(t).)

Esempio
Consideriamo il sistema di equazioni

x¢(t = 2x(t) + y(t)
y¢(t = -4x(t- 3y(t).

Isolando y(t) nella prima equazione abbiamo y(t) = x¢(t- 2x(t), così y¢(t) = -x²(t- 2x¢(t). Sostituendo queste espressioni nella seconda equazione otteniamo

x²(t- 2x¢(t) = -4x(t- 3x¢(t) + 6x(t),

ovvero

x²(t) + x¢(t- 2x(t) = 0.

Abbiamo visto che la soluzione generale di questa equazione è

x(t) = Aet + Be-2t.

Usando l'espressione y(t) = x¢(t- 2x(t) avremo

y(t) = Aet - 2Be-2t - 2Aet - 2Be2t,

o

y(t) = -Aet - 4Be-2t.

Sistemi lineari generali

Possiamo scrivere il sistema
x¢(t = ax(t) + by(t)
y¢(t = cx(t) + dy(t),
studiato sopra, come
 x¢(t
 y¢(t
 =
 a   b 
 c   d 
 x(t
 y(t
.

Più generalmente, possiamo scrivere un sistema di n equazioni lineari omogenee nelle n variabili xi(t) per i = 1, ..., n come

x¢(t) = Ax(t),
dove A è una matrice n ´ n.

Ora, se n = 1, nel cui caso A è semplicemente un numero, sappiamo che per la condizione iniziale x(0) = C l'equazione ha un'unica soluzione

x(t) = CeAt.

Ecco un sorprendente risultato:

per ogni valore di n, l'unica soluzione del sistema omogeneo di equazioni differenziali lineari x¢(t) = Ax(t) soggetto alla condizione iniziale x(0) = C è
x(t) = CeAt.

Vi starete già chiedendo: che cosa vuol dire eAt quando A è una matrice? Ricordo che se a è un numero, abbiamo

ea = 1 + a/1! + a2/2! + ...,
o, più precisamente,
ea = åk=0¥(ak/k!).
Ora, quando A è una matrice possiamo definire
eA = åk=0¥(Ak/k!),
dove A0 è la matrice identità (e 0! = 1). (Dovete sapere come fare il prodotto tra matrici, così saprete come manipolare il lato destro di questa equazione.) Ora potete trovare la soluzione di alcuni sistemi omogenei di equazioni differenziali lineari ...assumendo che siate in grado di calcolare la somma infinita nella definizione di eAt. Qui sta la difficoltà. Ci sono tecniche per trovare eAt, ma includono metodi più avanzati di quelli utilizzati in questo corso.

Io vi do solo un esempio, che dimostra come le funzioni trigonometriche possono emergere nella soluzione di un sistema di due equazioni lineari, che, come detto sopra, è equivalente ad una equazione del secondo ordine.

Esempio
Consideriamo il sistema
 x¢1(t
 x¢2(t
 =
 0   -b 
 b   0 
 x1(t
 x2(t
.
Dobbiamo trovare Ak per ogni valore di k, dove
A =
 0   -b 
 b   0 
.
Dovreste essere in grado di convincervi (calcolando A2, A3, e A4) che se k è pari avremo
Ak =
 0   (-1)(k+1)/2bk 
 (-1)(k-1)/2bk   0 
,
mentre se k è dispari avremo
Ak =
 (-1)k/2bk   0 
 0   (-1)k/2bk 
.
Dati questi risultati, otteniamo
eA =
 1 - b2/2! + b4/4! - b6/6! + ...   -b + b3/3! - b5/5! + ... 
 b - b3/3! + b5/5! - ...   1 - b2/2! + b4/4! + b6/6! + ... 
.
Ora, dovreste ricordare che
sin b = b - b3/3! + b5/5! - ...
e
cos b = 1 - b2/2! + b4/4! - b6/6! + ...
Così
eA =
 cos b   -sin b 
 sin b   cos b 
.
Concludiamo che la soluzione del sistema di equazioni date le condizioni iniziali x1(0) = C1 e x2(0) = C2 è
x1(t = C1cos bt - C2sin bt
x2(t = C1sin bt + C2cos bt.
Vi è chiesto, in un esercizio, di verificare questa soluzione mediante la tecnica discussa all'inizio di questa sezione per convertire il sistema a due equazioni in una singola equazione differenziale lineare del secondo ordine.

Vi starete chiedendo se l'uso delle funzioni trigonometriche in questo esempio sia accidentale. Non lo è! Esponenziali, funzioni trigonometriche, e numeri complessi (che compaiono come radici della equazione caratteristica nella tecnica illustrata nella sezione precedente), sono strettamente correlati. Specificatamente, per alcuni valori di x abbiamo

e-ix = cos x - isin x,
(dove i è la radice quadrata di -1). Ma questa è un'altra storia.

(Un'eccellente e avanzata esposizione del materiale in questa sezione è contenuto in Differential equations, dynamic systems and linear algebra di Morris W. Hirsch e Stephen Smale.)

Esercizi


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