4.2 Teoria dell'ottimizzazione: definizioni di base

I problemi di ottimizzazione che studiamo prendono la forma
maxx  f (x) sotto il vincolo x Î S
dove  f  è una funzione, x un vettore di variabili (x1, ..., xn) e S un insieme di n vettori. Chiamiamo  f  la funzione obiettivo, x la variabile di scelta e S l'insieme vincolo o insieme opportunità.

Per essere veramente chiari sul significato di massimo, diamo una precisa definizione.

Definizione
Il valore x* della variabile x risolve il problema

maxx  f (x) sotto il vincolo x Î S
se

 f (x£  f (x*) per ogni x Î S.
In questo caso diciamo che x* è un punto di massimo della funzione  f  soggetta al vincolo x Î S, e che  f (x*) è il massimo (o massimo valore) della funzione  f  soggetta al vincolo x Î S.

Come esempio, sia x* che x** sono punti di massimo per  f  in relazione al vincolo x Î S per la funzione di una sola variabile nella seguente figura.

E il punto x¢? Questo punto decisamente non è un punto di massimo, perché  f (x*) >  f (x¢), per esempio. Ma è un massimo tra i punti vicini ad esso. Chiameremo un tale punto un punto di massimo locale. Nella seguente definizione, la distanza tra due punti x e x¢ è la radice quadrata di åi=1n(x1 - xi¢)2 (a volte chiamata distanza euclidea tra x e x¢).

Definizione
La variabile x* è un punto di massimo locale per la funzione  f  sotto il vincolo x Î S se esiste un numero e > 0 tale che

 f (x£  f (x*) per ogni x Î S per cui la distanza tra x e x* sia al massimo e.

Per la funzione  f  nella figura sopra abbiamo  f (x£  f (x¢) per ogni x tra x1 e x2, dove x1 - x¢ = x2 - x¢, così il punto x¢ soddisfa questa definizione, ed è così un punto di massimo locale per  f .

A volte specifichiamo che un punto di massimo è un punto di massimo globale per mettere in risalto che non è soltanto un punto di massimo locale. Ogni punto di massimo globale è, in particolare, un punto di massimo locale.

Nella teoria economica siamo abbastanza spesso interessati ai punti di massimo globali, non solamente ai punti di massimo locali. Per esempio, la teoria tradizionale dice che un consumatore sceglie il paniere che preferisce tra tuti quelli che sono disponibili; non è soddisfatto da un paniere che sia soltanto migliore degli altri che sono vicini. Analogamente, un'impresa sceglie il vettore di input-output che massimizza il suo profitto tra tutti quelli che sono realizzabili; non è soddisfatta dalla scelta di un vettore di input-output che permetta un profitto più alto solamente rispetto ai vettori simili.

Trasformare la funzione obiettivo

Sia g una funzione strettamente crescente di una sola variabile. (Cioè, se z¢ > z, allora g(z¢) > g(z)). Allora l'insieme delle soluzioni del problema
maxx  f (x) sotto il vincolo x Î S
è identico all'insieme delle soluzioni del problema
maxx gf (x)) sotto il vincolo x Î S.
Perché? Se x* è una soluzione per il primo problema, allora dalla definizione
 f (x£  f (x*) per ogni x Î S.
Ma se  f (x£  f (x*), allora gf (x)) £ gf (x*)), così
gf (x£ gf (x*)) per ogni x Î S.
Perciò x* è soluzione per il secondo problema.

Questo fatto è a volte utile: per esempio, se la funzione obiettivo è  f (x1x2) = x1ax2b, può essere più semplice lavorare col logaritmo di questa funzione, cioè aln x1 + bln x2. Perciò log z è una funzione crescente, l'insieme delle soluzioni del problema in cui x1ax2b è la funzione obiettivo è lo stesso dell'insieme di soluzioni del problema in cui la funzione obiettivo è aln x1 + bln x2.

Problemi di minimizzazione

Che dire a proposito dei problemi di minimizzazione? Qualsiasi discussione sui problemi di massimizzazione riguarda anche i problemi di minimizzazione perché qualsiasi problema di minimizzazione può essere convertito in un problema di massimizzazione prendendo l'opposto della funzione obiettivo. Cioè, il problema
minx  f (x) sotto il vincolo x Î S
è equivalente---in particolare, ha lo stesso insieme di soluzioni---al problema
maxx - f (x) sotto il vincolo x Î S.
Così possiamo risolvere qualsiasi problema di minimizzazione prendendo l'opposto della funzione obiettivo e applicando i risultati noti ai problemi di massimizzazione.

In questo tutorial abbiamo enfatizzato i problemi di massimizzazione, ma spesso è utile fornire separatamente i risultati per i problemi di massimizzazione e per i problemi di minimizzazione.

Esercizi


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