- Esempio
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Consideriamo la funzione f (x, y) = x4 + 2y2, definita nel dominio (-¥, ¥). Abbiamo
f ¢x(x, y) |
= |
4x3 |
f ¢y(x, y) |
= |
4y, |
allora la funzione ha un solo punto stazionario, (x, y) = (0, 0). Abbiamo
f ¢¢xx(x, y) = 12x2, f ¢¢yy(x, y) = 4, e
f ¢¢xy(x, y) = 0,
l'Hessiano di f è
 |
12x |
0 |
 |
0 |
4 |
|
. |
In (x, y) = (0, 0) la matrice è semidefinita positiva, ma non definita positiva. Così non possiamo dire se (0, 0) è un punto di massimo o minimo locale, o nessuno dei due.
Per altri valori di (x, y) la matrice non è semidefinita positiva (per esempio, se x < 0 la matrice non è semidefinita positiva), dunque la funzione non è concava. Non possiamo perciò concludere se (0, 0) sia un punto di massimo o di minimo globale.
Insomma, possiamo concludere da questa analisi solo che se la funzione ha un punto di minimo, allora è (0, 0), e se ha un punto di massimo, questo è (0, 0). (In pratica, poiché x4 ³ 0 per ogni x e y2 ³
0 per ogni y, possiamo vedere che (0, 0) è il punto di minimo globale della funzione.)
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