2.5 Funzioni omogenee
Funzioni multivariate che sono "omogenee" di un certo grado sono spesso usate nella teoria economica. Una funzione è omogenea di grado k se quando si moltiplica per un certo numero t > 0 ogni suo membro, il valore della funzione viene moltiplicato per tk. Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1 allora quando tutti i suoi membri sono
moltiplicati per un certo numero t > 0, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero t.
Qui diamo una definizione precisa.
- Definizione
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Una funzione f (x1, ..., xn) è omogenea di grado k se
f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ..., xn) per ogni
(x1, ..., xn) ed ogni t > 0.
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- Esempio:
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Per la funzione f (x1, x2) = Ax1ax2b abbiamo
f (tx1, tx2) = A(tx1)a(tx2)b =
Ata+bx1ax2b = ta+b f (x1,
x2),
così f è omogenea di grado a + b.
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- Esempio:
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Sia f (x1, x2) = x1 + x22. Allora
f (tx1, tx2) = tx1 + t2x22.
Non sembra possibile scrivere questa espressione nella forma tk(x1 + x22) per qualche valore di k. Ma come provare che non vi è un tale valore di k? Supponiamo che ci sia. Cioè, supponiamo che
per alcuni k sia
tx1 + t2x22 = tk(x1 + x22) per ogni
(x1, x2) ed ogni t > 0.
Allora in particolare, prendendo t = 2, abbiamo
2x1 + 4x2 = 2k(x1 + x22) per ogni (x1, x2).
Prendendo (x1, x2) = (1, 0) e (x1, x2) = (0, 1) si ottiene
2 = 2k e 4 = 2k,
che non è possibile. Così f non è omogenea per alcun grado.
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Nella teoria economica, spesso assumiamo che la funzione di produzione di un'impresa sia omogenea di grado 1 (se tutti gli input vengono moltiplicati per t allora l'output viene moltiplicato per t). Una funzione di produzione con queste proprietà si dice che ha "rendimenti di scala costanti".
Supponiamo che la domanda di beni per un consumatore come funzione dei prezzi e del suo reddito, derivi dalla sua scelta, tra tutti i panieri che egli si può permettere, di quello che più si avvicina alle sue preferenze. Allora possiamo dimostrare che questa funzione di domanda è omogenea di grado zero (se tutti i prezzi e il reddito del consumatore vengono moltiplicati per t la sua domanda di beni resta la stessa).
- Proposizione
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Sia f una funzione derivabile di n variabili, omogenea di grado k. Allora ogni sua derivata parziale f ¢i (per i = 1, ..., n) è omogenea di grado k - 1.
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Dimostrazione: L'omogeneità di f significa che
f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ..., xn) per ogni
(x1, ..., xn) e per ogni t > 0.
Ora derivate entrambi i membri di questa equazione rispetto a xi, per ottenere
t f ¢i(tx1, ..., txn) =
tk f ¢i(x1, ..., xn),
e poi dividete entrambi i membri per t. Avremo quindi
f ¢i(tx1, ..., txn) =
tk-1 f ¢i(x1, ..., xn),
che dimostra che f ¢i è omogenea di grado k - 1.
Questo risultato può venir usato per dimostrare un bel risultato a proposito della pendenza delle curve di livello di una funzione omogenea. Come abbiamo visto, la pendenza della curva di livello della funzione F relativa al punto (x0, y0) è, in tal punto,
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F 1¢(x0, y0) |
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F 2¢(x0, y0) |
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. |
Ora supponiamo che F sia omogenea di grado k e consideriamo la curva di livello relativa al punto (cx0, cy0) per un certo numero c > 0. In (cx0, cy0) la pendenza di questa curva è
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F 1¢(cx0, cy0) |
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F 2¢(cx0, cy0) |
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. |
Con il precedente risultato, F ¢1 e F ¢2 sono omogenee di grado k-1, così la pendenza è pari a
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ck-1F 1¢(x0, y0) |
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ck-1F 2¢(x0, y0) |
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=
- |
F 1¢(x0, y0) |
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F 2¢(x0, y0) |
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. |
Cioè, la pendenza della curva di livello relativa al punto (cx0, cy0) nel punto (cx0, cy0) è esattamente la stessa di quella della curva di livello relativa al punto
(x0, y0) nel punto (x0, y0), come è illustrato nella seguente figura.
In questa figura, le linee rosse rappresentano due curve di livello, e le due linee verdi, le tangenti alle curve in (x0, y0) e in (cx0, xy0), sono parallele.
Una funzione omogenea di un certo grado presenta una proprietà a volte usata nella teoria economica, che fu scoperta per primo da Leonardo Eulero (1707-1783).
- Proposizione (Teorema di Eulero)
- La funzione derivabile f (x1, ..., xn) è omogenea di grado k se e solo se
åi=1nxi f i¢(x1, ..., xn) =
k f (x1, ..., xn) per ogni (x1, ..., xn).
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E' facile dimostrare una direzione di questo enunciato. Supponiamo che f sia omogenea di grado k, così che
f (tx1, ..., txn) = tk f (x1, ..., xn) per ogni
(x1, ..., xn) ed ogni t > 0.
Derivando entrambi i lati dell'identità rispetto a t, otteniamo
x1 f ¢1(tx1, ..., txn) +
x2 f ¢2(tx1, ..., txn) + ... +
xn f ¢n(tx1, ..., txn) =
ktk-1 f (x1, ..., xn).
Ora poniamo t = 1, per ottenere la conclusione del teorema di Eulero.
- Esempio:
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Sia f (x1, ..., xn) una funzione di produzione di un'impresa; supponiamo che sia omogenea di grado 1 (i.e. ha "rendimenti di scala costanti"). Il Teorema di Eulero dimostra che se ogni input i è pagato con una somma pari al suo "prodotto marginale"
f ¢i(x1, ..., xn),allora l'ammontare totale pagato, cioè
åi=1nxi f i¢(x1, ..., xn)
è uguale all'ammontare totale prodotto, cioè f (x1, ..., xn).
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Esercizi
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