maxx,y f (x, y) con g(x, y) = c.Assumiamo g¢2(x, y) ¹ 0. Sostituendo ad y il vincolo, possiamo semplificare il problema riducendolo ad una variabile, x. Sia h implicitamente definita da g(x, h(x)) = c. Allora il problema diventa
maxx f (x, h(x)).Definiamo F (x) = f (x, h(x)). Allora
F ¢(x) = f 1¢(x, h(x)) + f 2¢(x, h(x))h¢(x).Sia x* punto stazionario per F (i.e. F ¢(x*) = 0). Una condizione sufficiente affinché x* sia punto di massimo locale per F è F ²(x*) < 0. Abbiamo
F ²(x*) = f 11²(x*, h(x*)) + 2 f 12²(x*, h(x*))h¢(x*) + f 22²(x*, h(x*))(h¢(x*))2 + f 2¢(x*, h(x*))h²(x*).
Ora, da g(x, h(x)) = c per ogni x, si ottiene
g1¢(x, h(x)) + g2¢(x, h(x))h¢(x) = 0,quindi
Attraverso questa espressione possiamo trovare h²(x*), e sostituirla nell'espressione che dà F ²(x*). Dopo alcune manipolazioni, troviamo che
h¢(x) =
-g1¢(x, h(x)) g2¢(x, h(x)) .
dove
F ²(x*) =
-D(x*, y*, l*) (g1¢(x*, y*))2
e l* è il valore del moltiplicatore di Lagrange per la soluzione (p.e. - f 2¢(x*, y*)/g2¢(x*, y*)).
D(x*, y*, l*) =
0 g1¢(x*, y*) g2¢(x*, y*) g1¢(x*, y*) f 11²(x*, y*) - l*g11²(x*, y*) f 12²(x*, y*) - l*g12²(x*, y*) g2¢(x*, y*) f 21²(x*, y*) - l*g21²(x*, y*) f 22²(x*, y*) - l*g22²(x*, y*)
La matrice di cui D(x*, y*, l*) è il determinante è detta Hessiano orlato della Lagrangiana.
Alla fine, otteniamo i seguenti risultati.
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