1.2 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Si consideri un sistema di due equazioni lineari in due variabili x e y:
ax + by  = u
cx + dy  = v.
Ci sono tre modi per determinare x e y.
  1. Si isoli una delle variabili in una delle equazioni e si sostituisca il risultato all'interno dell'altra equazione. Per esempio, dalla seconda equazione risulta
    y = (v - cx)/d.
    Sostituendo questa espressione in y nella prima equazione ne deriva
    ax + b(v - cx)/d = u,
    che può essere scritto come
    (a - bc/d)x + bv/d = u,
    quindi
    x =
    u - bv/d

    a - bc/d
    o meglio
    x =
    ud - bv

    ad - bc
    .
    Per trovare y usiamo il fatto che y = (v - cx)/d, in modo da arrivare a
    y =
    va - cu

    ad - bc
    .
  2. Usiamo la regola di Cramer. Riscriviamo le due equazioni in forma matriciale
     a    b 
     c    d    
     x 
     y    
     =
      u 
     v    
    (*)
    Per la regola di Cramer, le soluzioni sono date da
    x =
     u   b 
     v   d    

    ad - bc
    e
    y =
     a   u 
     c   v    

    ad - bc
    (dove ad - bc č il determinante della matrice ottenuta rappresentando in forma matriciale le equazioni, e la matrice al numeratore di ogni espressione si ottiene inserendo al posto della colonna nella matrice al membro di sinistra della (*) che corrisponde alla variabile per la quale si sta cercando la soluzione il vettore-colonna al membro di destra dalla (*)), oppure
    x =
    ud - bv

    ad - bc
    e
    y =
    va - cu

    ad - bc
    .
  3. Scriviamo le due equazioni in forma matriciale
     a    b 
     c    d    
     x 
     y    
     =
      u 
     v    
    (come quando si usa la regola di Cramer) e risolviamo invertendo la matrice al membro di sinistra. L'inversa di questa matrice č
    1

    ad - bc
     d    -b 
     -c    a    
    cosė abbiamo
     x 
     y    
     =
    1

    ad - bc
      d    -b 
      -c    a    
      u 
     v    
    quindi
    x =
    ud - bv

    ad - bc
    e
    y =
    va - cu

    ad - bc
    .

Quale dei tre metodi sia il "migliore" dipende da molti fattori, inclusa la vostra abilità di ricordare la regola di Cramer e/o l'inversione di una matrice. Se si deve risolvere soltanto per una delle variabili, la regola di Cramer è particolarmente conveniente (se riuscite a ricordarla!).

Per un sistema con più di due variabili, i tre metodi sono ugualmente validi. Il primo, tuttavia, risulta abbastanza laborioso, e a meno che non siate esperti a invertire matrici, la regola di Cramer probabilmente sarà la vostra miglior scelta.

Matrice inversa

L'inversa di una matrice 2 ´ 2
 a   b 
 c   d 
è
1

ad - bc
 d   -b 
 -c   a 
.
(Si noti che ad - bc è il determinante della matrice.)

Per trovare l'inversa di una matrice 3 ´ 3

 a   b   c 
 d   e    f  
 g   h   i 
per prima cosa calcolate il determinante, dato da
D = a(ei - h f ) - b(di - g f ) + c(dh - eg).
Quindi l'inversa è data da
1

D
 D11   -D12   D13 
 -D21   D22   -D23 
 D31   -D32   D33 
dove Dij è il determinante della matrice 2 ´ 2 che si ottiene cancellando la i-esima colonna e la j-esima riga della matrice 3 ´ 3 originale. Cioè, D11 = ei - h f , D12 = bi - ch, D13 = b f  - ec, D21 = ei -  f g, D22 = ai - cg, D23 = a f  - dc, D31 = dh - eg, D32 = ah - bg, e D33 = ae - db.


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