5.3 Il teorema dell'inviluppo

Nella teoria economica siamo spesso interessati al modo in cui il valore massimo di una funzione dipende da alcuni parametri.

Il caso senza vincoli

Consideriamo il problema di massimizzazione non vincolata
maxx  f (xr),
dove r è un vettore di parametri e x un vettore. Assumiamo che per un certo vettore r il problema abbia un'unica soluzione; chiamiamo la soluzione x*(r). Indichiamo il massimo valore di  f , per un dato valore di r, con  f *(r):
 f *(r) =  f (x*(r), r).
Sia  f * la funzione valore.

Nella seguente figura, le curve nere sono grafici delle sezioni in r della funzione  f (xr), per vari valori di x. Ogni sezione mostra come cambia la funzione quando cambia r, per un dato valore di x. Per trovare la soluzione del problema per un dato valore arbitrario di r, troviamo la più alta funzione per quel valore di r. Per esempio, per r = r¢, la più alta funzione è  f (x*(r¢),r).

I massimi valori della funzione, al variare di r, tracciano l'inviluppo della funzione  f (xr).

Che cos'è  f *j¢(r)? Innanzitutto, dato che x*(r) è una soluzione del problema quando il parametro è r, essa soddisfa le condizioni del primo ordine:

( f /xi)(x*(r)) = 0 per i = 1, ..., n.
Ora, abbiamo
 f *j¢(r) = åi=1n ( f /xi)(x*(r), r) · (xi*/rj)(r) + ( f /rj)(x*(r), r).
Il primo termine corrisponde alla variazione in  f * causata dalla variazione nella soluzione del problema che avviene quando r cambia; il secondo termine corrisponde all'effetto diretto della variazione di r nel valore di  f .

Date le condizioni del primo ordine, abbiamo

 f *j¢(r) = ( f /rj)(x*(r),r) per j = 1, ..., m.

Questo risultato è il teorema dell'inviluppo per un problema di ottimizzazione non vincolata. Afferma che la variazione del massimo valore che raggiunge la funzione quando muta un parametro è semplicemente la variazione causata dall'impatto diretto del parametro sulla funzione; l'effetto indiretto, che deriva dalla variazione nel valore ottimo di x causata da un cambiamento nel parametro, è zero.

Esempio
Consideriamo un'impresa con funzione di produzione h(x), dove x è l'ammontare di un singolo input. Indichiamo il prezzo dell'output con p, il prezzo dell'input w e il profitto dell'impresa quando utilizza x unità dell'input con p(xpw) = ph(x- wx. Sia x*(pw) la soluzione del problema di massimizzazione del profitto dell'impresa,

maxx ph(x- wx.

Chiamiamo la funzione valore con p*(pw). Cioè, sia

p*(pw) = ph(x*(pw)) - wx*(pw) per ogni p e w.

Per qualsiasi valore di (pw), il numero p*(pw) rappresenta il profitto massimo dell'impresa quando il prezzo dell'output è p e il prezzo dell'input è w. La funzione p* è conosciuta come la funzione di profitto dell'impresa. Come cambia il profitto massimo quando varia il prezzo dell'output?

Dal teorema dell'inviluppo abbiamo

p*p¢(pw) = pp¢(x*(pw), pw) = h(x*(pw)).

Così, in particolare p*p¢(pw) > 0: se il prezzo dell'output cresce, allora il profitto massimo dell'impresa cresce.

Ancora dal teorema dell'inviluppo

p*w¢(pw) = pw¢(x*(pw), pw) = -x*(pw).

(Questo risultato è conosciuto come Lemma di Hotelling.) In particolare, abbiamo p*w¢(pw) < 0: se il prezzo dell'input cresce, allora il profitto massimo dell'impresa decresce.

Segue da questo risultato che se abbiamo una funzione di profitto di una data impresa p* allora possiamo derivare la sua funzione di domanda degli input: x*(pw) = -p*w¢(pw) per ogni (pw).

Il caso con vincoli

Consideriamo ora il problema
maxx  f (xr) con gj(xr) = 0 per j = 1, ..., m,
dove r è un vettore di parametri e x un vettore. Come prima, chiamiamo il massimo valore di  f , per qualsiasi dato valore di r, con  f *(r), e chiamiamo  f * la funzione valore. Sia x*(r) il valore massimizzato di x, come funzione di r, dunque
 f *(r) =  f (x*(r), r).

La Lagrangiana è

L(xr) =  f (xr- åj=1mljgj(xr).
Dato che x*(r) è soluzione del problema, soddisfa le condizioni del primo ordine
( f /xi)(x*(r), r- åj=1mlj(gj/xi)(x*(r), r) = 0 per i = 1, ..., m.
Ora, abbiamo
 f *h¢(r = åi=1n ( f /xi)(x*(r),r) · (x*i/rh)(r) + ( f /rh)(x*(r), r)
=  åi=1n[åj=1mlj (gj/xi)(x*(r), r)] · (x*i/rh)(r) + ( f /rh)(x*(r), r),
usando la condizione del primo ordine. Ora invertiamo le somme per concludere che
 f *h¢(r = åj=1mlj[åi=1n (gj/xi)(x*(r),r) · (x*i/rh)(r)] + ( f /rh)(x*(r),r).
Abbiamo gj(x*(r), r) = 0 per ogni r, dunque derivando rispetto a rh otteniamo
åi=1n(gj/xi)(x*(r), r) · (xi*/rh)(r) + (gj/rh)(x*(r), r) = 0.
Allora
 f *h¢(r) =  -åj=1m lj(gj/rh)(x*(r), r) + ( f /rh)(x*(r), r)
=  (L/rh)(x*(r), r).
Questo è il teorema dell'inviluppo per problemi di ottimizzazione vincolata.

Esempio
Consideriamo un problema di massimizzazione dell'utilità:
maxx u(x) con p·x = w.
dove x è un vettore (un paniere di beni), p il vettore dei prezzi e w il benessere del consumatore (un numero reale). Chiamiamo la soluzione del problema con x*(pw) e la funzione valore con

v(pw) = u(x*(pw)).

Questa funzione è detta funzione di utilità indiretta.

Dal teorema dell'inviluppo

(v/pi)(pw) = -l*(pw)xi*(pw)

(visto che u non dipende in modo indipendente da p o w) e

(v/w)(pw) = l*(pw).

Così

(v/pi)(pw)

(v/w)(pw)
 = -xi*(pw).

Cioè, se conoscete la funzione di utilità indiretta potete derivare la funzione di domanda. Questo risultato è conosciuto con il nome di Identità di Roy.

Esercizi


Copyright © 1997-2002 by Martin J. Osborne