2.2 La regola di derivazione delle funzioni composte

Una variabile

Dai corsi precedenti dovreste conoscere la regola di derivazione delle funzioni composte per funzioni di una sola variabile:
se F (x) =  f (g(x)), allora F ¢(x) =  f ¢(g(x))g¢(x).

Questa regola è utile se avete bisogno di calcolare la derivata di qualche "funzione di funzione", come i prossimi esempi illustrano.
Esempio:
F (x) = ex1/2: if  f (z) = ez e g(x) = x1/2 allora F (x) =  f (g(x)), così F ¢(x) =  f ¢(g(x))g¢(x) = eg(x)(1/2)x-1/2 = (1/2)ex1/2x-1/2.
Esempio:
F (x) = log x2: se  f (z) = log z and g(x) = x2 allora F (x) =  f (g(x)), così F ¢(x) =  f ¢(g(x))g¢(x) = (1/x2)2x = 1/2x.

Ancora più importante per la teoria economica è che la regola di derivazione delle funzioni composte ci permette di trovare le derivate di espressioni che includono arbitrarie funzioni di funzioni. Tuttavia, non vi sono molte situazioni in economia nelle quali possiamo usare la regola di derivazione delle funzioni composte per una singola variabile; abbiamo bisogno di estenderla a più variabili. Qui è spiegato come procedere.

Due variabili

Consideriamo dapprima il caso di due variabili. Si supponga che
F (x) =  f (g(x), h(x)).
Che cos'è F ¢(x)? La regola di derivazione delle funzioni composte afferma che essa è
F ¢(x) =  f ¢1(g(x), h(x))g¢(x) +  f ¢2(g(x), h(x))h¢(x),
dove  f i¢ è la derivata parziale di  f  rispetto al suo i-esimo argomento. (Questa espressione a volte viene chiamata derivata totale di F (x) rispetto ad x.)

Un'estensione

Possiamo estendere questa regola. Se
F (x, y) =  f (g(x, y), h(x, y)),
allora
F ¢x(x, y) =  f ¢1(g(x, y), h(x, y))gx¢(x, y) +  f ¢2(g(x, y), h(x, y))hx¢(x, y),
e simmetricamente per F ¢y(x, y).

Più generalmente, se gj è una funzione di m variabili per j = 1, ..., n e

F (x1, ..., xm) =  f (g1(x1, ..., xm), ..., gn(x1, ..., xm)),
allora
F ¢j(x1, ..., xm) = åi=1n f i¢(g1(x1, ..., xm), ..., gn(x1, ..., xm))gij¢(x1, ..., xm),
dove gij¢ è la derivata parziale di gi rispetto al suo j-esimo argomento.

Si consideri un'impresa che massimizza il profitto e che produce un singolo output attraverso l'utilizzo di un singolo input. Chiamiamo  f  la sua funzione di produzione (derivabile), w il prezzo dell'input e p il prezzo dell'output. Supponiamo che il livello di input che massimizza il profitto quando i prezzi sono w e p sia z(wp). Allora il profitto massimo è

p(wp) = p f (z(wp)) - wz(wp).
Come cambia questo profitto se cresce p?

Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte abbiamo

p¢p(wp) =  f (z(wp)) + p f ¢(z(wp))z¢p(wp- wz¢p(wp)
oppure
p¢p(wp) =  f (z(wp)) + z¢p(wp)[p f ¢(z(wp)) - w].
Ma noi sappiamo che p f ¢(z(wp)) - w = 0 è la "condizione del primo ordine" per massimizzare il profitto. Così risulta
p¢p(wp) =  f (z(wp)).
A parole, il tasso di crescita del profitto massimo dell'impresa quando il prezzo dell'output aumenta è esattamente uguale al suo output ottimale.

La formula di Leibniz

A volte abbiamo bisogno di derivare un integrale definito. Possiamo farlo attraverso la regola di derivazione delle funzioni composte. Prendiamo
F (t) = òb(t)a(t) f (t, x)dx.

Cos'è F ¢(t)? Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, essa è la somma di tre componenti :

Dalla definizione di integrale, la derivata parziale dell'integrale rispetto al suo limite superiore è  f (tb(t)) e la derivata parziale dell'integrale rispetto al suo limite inferiore è - f (ta(t)). Riguardo all'ultimo termine, potreste correttamente supporre che sia
òb(t)a(t) f t¢(txdx,
l'integrale della derivata parziale della funzione. Così
F ¢(t) =  f (t, b(t))b¢(t-  f (t, a(t))a¢(t) + òb(t)a(t) f 1¢(t, x) dx,
che è nota come Formula di Leibniz.

Come per le altre espressioni ottenute con la regola di derivazione delle funzioni composte, possiamo interpretare ogni sua parte. Se t cambia allora il limite dell'integrale cambia, ed il valore della funzione  f  cambia in ogni x. Il cambiamento nell'integrale può essere scomposto in tre parti :

Esempio:
Il profitto di un'impresa è p(x) in ogni tempo  x da 0 a T. Al tempo t il valore del profitto, scontato del futuro, è

V(t) = òTtp(x)e-r(x-t)dx,
dove r è il tasso di sconto. Trovare V¢(t).

Usiamo la Formula di Leibniz. Definiamo a(t) = t, b(t) = T, e  f (t, x) = p(x)e-r(x-t). Allora a¢(t) = 1, b¢(t) = 0, e  f 1¢(t, x) = p(x)re-r(x-t). Così

V¢(t) = -p(t)e-r(t-t) + òTtp(x)re-r(x-t)dx = -p(t) + rV(t).
Il primo termine riflette il fatto che il futuro si accorcia quando cresce t e il secondo termine riflette il fatto che, se t aumenta, il profitto in un qualche dato momento futuro è ottenuto più presto, e quindi vale di più.

Esercizi


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