3.3 Funzioni concave e convesse di più variabili
Insiemi convessi
Per estendere la nozione di concavità e convessità alle funzioni di più variabili dobbiamo prima definire la nozione di insieme convesso.
- Definizione
-
Un insieme S di n vettori è convesso se
(1-l)x + lx¢ Î S con x Î S, x¢ Î S, e
l Î [0,1].
|
Chiamiamo (1 - l)x + lx¢ una combinazione convessa di x e x¢.
Per esempio, l'insieme a due dimensioni alla sinistra della seguente figura è convesso, dato che il segmento che unisce ogni coppia di punti dell'insieme giace interamente nell'insieme. L'insieme sulla destra non è convesso, perché il segmento che unisce i punti x e x¢ non giace interamente nell'insieme.
La seguente proprietà degli insiemi convessi (che dimostrerete in un esercizio) è a volte utile.
- Proposizione
-
L'intersezione di due insiemi convessi è convessa.
|
Notate che l'unione di insiemi convessi non è necessariamente convessa.
Funzioni concave e convesse
Sia f una funzione di più variabili, definita su un insieme convesso S. Diciamo che f è concava se il segmento che unisce ogni coppia di punti del grafico di f non giace mai sopra il grafico; f è convessa se il segmento che unisce ogni coppia di punti appartenenti al grafico non giace mai sotto il grafico. (Cioè, le definizioni sono
le stesse delle definizioni per le funzioni di una sola variabile.)
Più precisamente, possiamo enunciare la definizione seguente (che è ancora essenzialmente la stessa della corrispondente definizione per una funzione di una singola variabile). Notate che le definizioni si riferiscono solo alle funzioni definite su insiemi convessi.
- Definizione
-
Sia f una funzione di più variabili definita su un insieme convesso S. Allora f è
- concava nell'insieme S se per ogni x Î S, ogni x¢ Î S, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)x + lx¢) ³ (1-l) f (x) +
l f (x¢)
- convessa nell'insieme S se per ogni x Î S, ogni x¢ Î S, ed ogni l Î (0,1) abbiamo
f ((1-l)x + lx¢) £ (1-l) f (x) +
l f (x¢).
|
Ancora una volta, una funzione strettamente concava è tale da soddisfare la definizione di concavità con la disuguaglianza stretta (> piuttosto che ³) per ogni x ¹ x¢, mentre una funzione strettamente convessa è
tale da soddisfare la definizione di convessità con la disuguaglianza stretta (< piuttosto che £) per ogni x ¹ x¢.
- Esempio:
-
Sia f una funzione lineare, definita da f (x) = a1x1 + ... + anxn = a·x in un insieme convesso, dove ai è
costante per ogni i. Allora f è sia concava che convessa:
f ((1 - l)x + lx¢)
|
= |
a·[(1-l)x + lx¢] |
|
= |
(1-l)a·x + la·x¢ |
|
= |
(1-l) f (x) + l f (x¢) |
|
- Esempio:
-
Supponiamo che la funzione g di una sola variabile sia concava su [a,b] e la funzione f di due variabili sia definita da f (x,y) = g(x) su [a, b] ´ [c, d]. f è concava?
Innanzitutto notate che il dominio di f è un insieme convesso, così possiamo applicare la definizione di concavità.
Le funzioni g e f sono illustrate nella seguente figura. (Gli assi per g sono visti in prospettiva, come quelli per f , per rendere chiara la relazione tra le due figure. Se avessimo tracciato solamente g, avremmo posto gli assi ortogonali, così che l'asse dellex sarebbe orizzontale. Notate che la sezione del grafico di
f parallela all'asse delle x è il grafico della funzione g.)
Dal grafico di f (il tetto di un tunnel orizzontale), potete vedere che è concava. I passaggi seguenti rendono questo punto in modo preciso:
f ((1-l)(x, y) + l(x¢, y¢))
|
= |
f ((1-l)x + lx¢, (1-l)y + ly¢) |
|
= |
g((1-l)x + lx¢) |
|
³ |
(1-l)g(x) + lg(x¢) |
|
= |
(1-l) f (x, y) + l f (x¢, y¢) |
così f è concava.
|
- Esempio:
-
Siano f e g definite come nell'esempio precedente. Assumiamo ora che g sia strettamente concava. f è strettamente concava?
La concavità stretta di f implica che
f ((1-l)(x, y) + l(x¢, y¢)) > (1-l) f (x, y) +
l f (x¢, y¢)
per ogni x ¹ x¢. Ma per dimostrare che f è strettamente concava dobbiamo dimostrare che la disuguaglianza è stretta per qualsiasi (x, y) ¹ (x¢, y¢)---in particolare, nei casi in cui
x = x¢ and y ¹ y¢. In tali casi, abbiamo
f ((1-l)(x, y) + l(x¢, y¢))
|
= |
f (x, (1-l)y + ly¢) |
|
= |
g(x) |
|
= |
(1-l) f (x, y) + l f (x, y¢). |
Quindi f non è strettamente concava. Potete vedere la mancanza di concavità stretta nella figura (nell'esempio precedente): se prendete due coppie (x, y) con lo stesso valore di x, il segmento che le unisce giace sempre esattamente sulla superficie della funzione, mai sotto di essa.
|
Un'altra definizione di funzione concava e convessa
Una definizione alternativa di funzione concava, equivalente alle precedenti, è a volte utile. Essa afferma che una funzione è concava se l'insieme dei punti che stanno sotto il suo grafico---l'isieme in rosa nella seguente figura--- è convesso.
- Definizione
-
Una funzione f di più variabili, definita in un insieme convesso S, è
- concava se l'insieme di punti sotto il suo grafico è convesso:
{(x, y): x Î S e y £ f (x)} è convesso
- convessa se l'insieme dei punti sopra il suo grafico è convesso:
{(x, y): x Î S e y ³ f (x)} è convesso.
|
Come stabilire se una funzione è concava o convessa?
Una funzione derivabile due volte di una sola variabile è concava se e solo se la sua derivata seconda è sempre non positiva. (Infatti, è proprio come avevamo originalmente definito una funzione concava di una sola variabile.)
Plausibilmente, per determinare quando una funzione di più variabili e derivabile due volte sia concava o convessa, dobbiamo esaminare tutte la sue derivate parziali seconde. Chiameremo la matrice delle derivate parziali seconde l'Hessiano della funzione.
- Definizione
-
Sia f una funzione derivabile due volte di n variabili. L'Hessiano di f in x è
H(x) = |
 |
f 11²(x) |
f 12²(x) |
... |
f 1n²(x) |
 |
f 21²(x) |
f 22²(x) |
... |
f 2n²(x) |
... |
... |
... |
... |
f n1²(x) |
f n2²(x) |
... |
f nn²(x) |
|
|
. |
|
Possiamo determinare la concavità/convessità di una funzione definendo quando l'Hessiano sia semidefinito positivo o negativo, come segue.
- Proposizione
-
Sia f una funzione di più variabili con derivate parziali del primo e secondo ordine continue nell'insieme aperto convesso S e indichiamo l'Hessiano di f nel punto x con H(x). Allora
- f è concava se e solo se H(x) è semidefinito negativo per ogni x Î S
- se H(x) è definito negativo per ogni x Î S, allora f è strettamente concava
- f è convessa se e solo se H(x) è semidefinito positivo per ogni x Î S.
- se H(x) è definito positivo per ogni x Î S, allora f è strettamente convessa.
|
Notate che il risultato non afferma che se f è strettamente concava allora H(x) è definito negativo per ogni x Î S. Infatti, consideriamo la funzione f (x,y) =
-x4 - y4. Questa funzione è strettamente concava, ma H(0, 0) non è definito negativo.
- Esempio:
-
Consideriamo la funzione f (x, y) = 2x - y - x2 + 2xy - y2. Il suo Hessiano è
 |
-2 |
2 |
 |
2 |
-2 |
|
che è semidefinito negativo. (In questo caso speciale l'Hessiano non dipende dai valori di (x, y); in generale invece vi dipende). Così f è concava.
|
- Esempio:
-
Consideriamo la funzione f (x1, x2, x3) = x12 + 2x22 +
3x32 + 2x1x2 + 2x1x3. Le sue derivate parziali prime sono
f ¢1(x1, x2, x3) |
= 2x1 +
2x2 + 2x3 |
f ¢2(x1, x2, x3) |
= 4x2 + 2x1 |
f ¢3(x1, x2, x3) |
= 6x3 + 2x1. |
Quindi il suo Hessiano è
 |
f ¢¢11 |
f ¢¢12 |
f ¢¢13 |
 |
f ¢¢21 |
f ¢¢22 |
f ¢¢23 |
f ¢¢31 |
f ¢¢32 |
f ¢¢33 |
|
|
= |
 |
2 |
2 |
2 |
 |
2 |
4 |
0 |
2 |
0
|
6 |
|
. |
(Notate che in questo esempio, come nel precedente, l'Hessiano non dipende da (x1, x2, x3); in generale non è così). I minori principali di guida dell'Hessiano sono 2 > 0, 4 > 0, e 8 > 0. L'Hessiano è definito positivo e
f è strettamente convessa.
|
- Esempio:
-
Consideriamo la funzione di produzione Cobb-Douglas, definita da f (K, L) = AKaLb. L'Hessiano di questa funzione è
 |
a(a-1)AKa-2Lb |
abAKa-1Lb-1 |
 |
abAKa-1Lb-1 |
b(b-1)AKaLb-2 |
|
Affinché f sia concava deve essere a(a-1)AKa-2Lb £ 0,
b(b-1)AKaLb-2 £ 0, e
abA2K2a-2L2b-2(1 - (a + b)) ³ 0. Quindi f è concava se
A ³ 0, a ³ 0, b ³ 0, e a + b £ 1, ed è strettamente concava se A > 0, a > 0, b > 0, e a + b < 1.
|
Se abbiamo una funzione che è la somma di funzioni concave, o una funzione concava crescente di una funzione concava, è utile il seguente risultato.
- Proposizione
-
- Se le funzioni f e g sono concave e a ³ 0 e b ³ 0, allora la funzione a f + bg è concava.
- se le funzioni f e g sono convesse e a ³ 0 e b ³ 0, allora la funzione a f + bg è convessa.
- se la funzione f è concava e la funzione F è concava e crescente, allora la funzione U definita da U(x) = F ( f (x)) è concava.
- se la funzione f è convessa e la funzione F è convessa e crescente, allora la funzione U definita da U(x) = F ( f (x)) è convessa.
|
Esercizi
Copyright © 1997-2002 by Martin J. Osborne