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\begin{document}



ESERCIZIO 4 (Catene di Markov-1)\\

\begin{abstract}


4. Si considerino le condizioni meteo per un certo numero di giorni come un
processo stocastico con solo due possibili stati: 0/Sole e 1/Pioggia.
Assumiamo per semplicità che il processo in questione sia una catena di Markov $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$
con matrice di transizione:
	$$ \prod:
	\begin{bmatrix}
		0.7 & 0.3  \\
		0.2  & 0 .8 \\
	\end{bmatrix}
	$$
	
\end{abstract}



\begin{abstract}

1. Si calcoli la probabilità che un giorno di pioggia sia seguito da un giorno di sole.
 $$\mathbb{P}(X_2=0|X_1=1)=0.2$$		\\


2. Si calcoli la probabilità condizionata $\mathbb{P}(X_{62}=1|X_{61}=0)$.
   $$\mathbb{P}(X_2=1|X_1=0)=0.2$$	\\
   

3. Si calcoli la probabilità che un giorno di pioggia sia seguito da due giorni di sole. 
  $$ \mathbb{P}(X_2=0,X_1=0|X_0=1)=(per \; Bayes)=\mathbb{P}(X_2=0|X_1=0, X_0=1) \cdot \mathbb{P}(X_1=0|X_0=1)=$$ 	
siccome il passo successivo dipende solo da quello precedente 
$$ = \mathbb{P}(X_2=0|X_1=0) \cdot \mathbb{P}(X_1=0|X_0=1)=0.7 \cdot 		0.2=0.14 $$ \\


4. Si calcoli $\mathbb{P}(X_{62}=1|X_{60}=0)$.		
$$\mathbb{P}(X_{62}=1|X_{60}=0)= \mathbb{P}(X_{2}=1|X_{0}=0)=$$
$$=\mathbb{P}(X_{2}=1|X_{1}=0) \cdot \mathbb{P}(X_{1}=0|X_{0}=0)+ \mathbb{P}(X_{2}=1|X_{1}=1) \cdot \mathbb{P}(X_{1}=1|X_{0}=0)=$$
$$ =0.3 \cdot 0.7+0.8 \cdot 0.3=0.45$$ \\


5. Se venerdì c’è il sole, qual è la probabilità che la domenica seguente sia un giorno di  
sole?	 
$$\mathbb{P}(X_{2}=0|X_{0}=0)= $$
$$=\mathbb{P}(X_{2}=0|X_{1}=0) \cdot \mathbb{P}(X_{1}=0|X_{0}=0)+ \mathbb{P}(X_{2}=0|X_{1}=1) \cdot \mathbb{P}(X_{1}=1|X_{0}=0)=$$
$$ =0.7 \cdot 0.7+0.2 \cdot 0.3=0.55$$ \\

\end{abstract}


\end{document}
