\documentclass{article}
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\newcommand{\prob}{\mathbb{P}}
\begin{document}



\begin{center}{\large Variabili Aleatorie Discrete - 2}\end{center}

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\noindent{\bf Esercizio 4.} Si consideri un canale di trasmissione con le seguenti caratteristiche:

\begin{enumerate}
\item si possono trasmettere solo due tipologie di messaggi: "0" e "1";

\item a causa di limiti di natura tecnica ogni messaggio viene corrotto con probabilit\`a 0.2, ossia denotando con $M$ il messaggio inviato e con $T$ il messaggio effettivamente trasmesso si ha
\end{enumerate}
$$\prob(T =1|M =0)=\prob(T =0|M =1)=0.2$$

\noindent Per aumentare l'accuratezza del canale di trasmissione si sceglie di adottare il seguente
protocollo di comunicazione:

\begin{enumerate}
\item per trasmettere il messaggio $M = 0$ viene inviato $M_{inviato} = 00000$ (5 volte consecutive
"0") e, similmente, per trasmettere $M = 1$ si invia $M_{inviato} = 11111$;

\item il ricevente decodifica il contenuto del messaggio usando un voto a maggioranza, ossia denotando con $T$ il messaggio effettivamente trasmesso e con $R$ il messaggio decodificato si ha
\end{enumerate}
$$T = 00010 \quad \Rightarrow \quad R = 0$$
$$T = 10101 \quad \Rightarrow \quad R = 1$$
$$T = 00011 \quad \Rightarrow \quad R = 0$$

\noindent Qual \`e la probabilit\`a che $M \ne R$ usando questo protocollo di comunicazione?





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\noindent {\bf Soluzione:}\\

$\prob(M \ne R) = \prob(\ \text{"sbaglio 3, 4 o 5 volte"})$\\

$\prob(\ \text{"sbagliare"}) = 0,2$

$\prob(\ \text{"non sbagliare"}) = 1 - 0,2 = 0,8$\\

$X = $ "numero di volte in cui sbaglio"\\

$\Longrightarrow \quad \prob(M \ne R) = \prob(X \ge 3) = \prob( X=3 ) + \prob( X=4 ) + \prob( X=5 )$

$$\prob( X=3 ) = (0,2)^3 (0,8)^2 \binom{5}{3} = \frac{32}{625} = 0,0512$$
$$\prob( X=4 ) = (0,2)^4 (0,8)^1 \binom{5}{4} = \frac{4}{625} = 0,0064$$
$$\prob( X=5 ) = (0,2)^5 (0,8)^0 \binom{5}{5} = \frac{1}{3125} = 0,00032$$\\
\indent $\Longrightarrow \quad \prob(M \ne R) = 0,0512 + 0,0064 + 0,00032 = 0,05792$












\end{document}