# # # # # # # # n = 7, sigma = 2

 rdata<-c()

# prendiamo una popolazione di riferimento Normale con parametri
mu<-10
sigma<-2
# generiamo 10000 campioni di grandezza n = 7 casuali indipendenti:
for (i in 1:10000){
rdata<-cbind(rdata,rnorm(7,mu,sigma))
}

dim(rdata)

# calcoliamo le varianze in ogni campione estratto dalla popolazione:
VaR<-apply(rdata,2,var)
# calcoliamo la statistica (n-1)/sigma^2*VaR, distribuita come un Chi-quadro con n-1 gdl:
VaR_Chisq_6<-(7-1)/sigma^2*VaR

# parte grafico
hist(VaR_Chisq_6,col="gray70",border="white",lwd=2,ylim=c(0,0.17),prob=TRUE,breaks=100)

x<-0:30
curve(dchisq(x,df=6),add=TRUE,col="blue",lwd=2) # si osservi come la distribuzione sia sovrapponibile ad un Chi-quadro con 6 gradi di libertà





 # # # # # # # # n = 7, sigma = 4

 rdata<-c()

# prendiamo una popolazione di riferimento Normale con parametri
mu<-10
sigma<-2
# generiamo 10000 campioni di grandezza n = 7 casuali indipendenti:
for (i in 1:10000){
rdata<-cbind(rdata,rnorm(7,mu,sigma))
}

dim(rdata)

# calcoliamo le varianze in ogni campione estratto dalla popolazione:
VaR<-apply(rdata,2,var)
# calcoliamo la statistica (n-1)/sigma^2*VaR, distribuita come un Chi-quadro con n-1 gdl:
VaR_Chisq_6<-(7-1)/sigma^2*VaR

# parte grafico
dev.new()
hist(VaR_Chisq_6,col="gray90",border="black",lwd=2,ylim=c(0,0.17),prob=TRUE,breaks=100)

x<-0:30
curve(dchisq(x,df=6),add=TRUE,col="blue",lwd=2) # si osservi come la distribuzione sia sovrapponibile ad un Chi-quadro con 6 gradi di libertà






 # # # # # # # # n = 20, sigma = 4
# vediamo ora lo stesso esempio ma con meno campioni, sui quali calcoleremo i limiti dell'intervallo di fiducia al 95%. 
# Con un grafico cercheremo di individuare quanti intervalli su un totale di 200 non contengono il valore atteso sigma^2= 16 (linea nera).
 
 rdata<-c()
mu<-10
sigma<-4

# generiamo 200 campioni di grandezza n = 20 casuali indipendenti:
for (i in 1:200){
rdata<-cbind(rdata,rnorm(20,mu,sigma))
}

dim(rdata)

VaR<-apply(rdata,2,var)
VaR_Chisq_19<-(20-1)/sigma^2*VaR
dev.new()
hist(VaR_Chisq_19,col="gray90",border="black",lwd=2,ylim=c(0,0.17),prob=TRUE,breaks=20)

x<-0:30
curve(dchisq(x,df=19),add=TRUE,col="blue",lwd=2) # si osservi come la distribuzione sia sovrapponibile ad un Chi-quadro con 19 gradi di libertà

# ora in ciascuno dei 200 campioni di grandezza n = 20 calcoliamo l'intervallo di fiducia per la varianza campionaria
# troviamo i valori che nella distribuzione Chi-quadro appropriata (n-1 = 19) delimitano le due code con p = 0.025 ciascuna:
# Vedere tabella allegata, dove si trovano anche le code di sinistra.

chi_UP<-qchisq(p=0.025,df=19,lower.tail=FALSE) # coda di destra p= 0.025
chi_LOW<-qchisq(p=0.975,df=19,lower.tail=FALSE) # coda di destra p=0.975

# iniziamo ora a costruire i limiti dell'intervallo per ciascuno dei 200 campioni indipendenti estratti:
ci95UP<-c()
ci95Down<-c()
for(i in 1:length(VaR)){

ci95UP<-cbind(ci95UP, 1/chi_LOW*(20-1)*VaR[i] )

ci95Down<-cbind(ci95Down, 1/chi_UP*(20-1)*VaR[i] )


}
ci95<-rbind(ci95Down,ci95UP)

# Disegnamo gli intervalli dei 200 campioni e contiamo quanti non contengono il valore atteso sigma^2= 16 (linea nera). 
# Dividendo questo numero (linee blue) per 200 troveremo circa 0.05 (per un intervallo al 95%). 

plot(1:length(VaR),ylim=c(0,40),type="n")
abline(h=sigma^2)

for(i in 1:length(VaR)){
if(ci95[1,i]>sigma^2|ci95[2,i]<sigma^2){color="blue"} else color="gray"
segments(i,ci95[1,i],i,ci95[2,i],lwd=2,col=color)

}