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## Simulazione in R ##
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# le distribuzioni piu' comuni sono contenute nella distribuzione base di R

# esempio: distribuzione normale
# dnorm: densita'
# pnorm: funzione di ripartizione
# qnorm: funzione quantile (inversa generalizzata)
# rnorm: simulazione

# Beta: rbeta
# Binomiale: rbinom
# Cauchy: rcauchy
# Chi-quadrato: rchisq
# Esponenziale: rexp
# F: rf
# Gamma: rgamma
# Geometrica: rgeom
# Ipergeometrica: rhyper
# Lognormale: rlnorm
# Logistica: rlogis
# Normale: rnorm
# Poisson: rpois
# Student: rt
# Uniforme: runif
# Weibull: rweibull

# molte altre distribuzioni sono contenute in pacchetti aggiuntivi
# e.g.: distribuzione di pareto nel pacchetto 'actuar'

# runif fornisce il generatore casuale in (0,1)
# il seme viene controllato tramite il comando set.seed

# 1) imposta il seme a 1 e genera 5 uniformi U(0,1)



# 2) genera 5 uniformi U(6,10)



# 3) controllare graficamente l'uniformita del generatore casuale
# usare 10000 simulazioni e i comandi plot e hist / density






# 4) testare l'indipendenza delle uniformi simulate al punto precedente con il test Box-Pierce (o Ljung-Box)
# H0: i dati vengono da variabili indipendenti


# 5) set.seed si puo' usare per impostare il generatore casuale oppure usare RNGkind
# NON CAMBIARE GENERATORE CASUALE SE NON SI HANNO RAGIONI SPECIFICHE PER FARLO!!!!

RNGkind(kind = NULL, normal.kind = NULL)

# kind permette di scegliere il generatore casuale
# in R sono implementati i seguenti:
# "Wichmann-Hill": periodo ~ 7*10^12
# "Marsaglia-Multicarry": periodo ~ 2^60
# "Super-Duper": periodo ~ 4.6*10^18
# "Mersenne-Twister" (default): periodo ~ 2^19937-1 ********
# "Knuth-TAOCP-2002": periodo ~ 2^129.
# "Knuth-TAOCP"
# "L'Ecuyer-CMRG"
# "user-supplied"

# 6) NON USARE METODI COSTRUITI "ALLA MANO" SE METODI DIRETTI SONO GIA' PRESENTI IN R
# => CONTROPRODUCENTE
# => INEFFICIENTE
# => PERICOLOSO

# esempio: esponenziale usando rexp oppure con il metodo dell'inversa => poca differenza

nsim <- 10 ^ 6 # un milione di simulazioni
set.seed(1)








# 7) altro esempio: chi-quadrato con 2n gradi di liberta' (n intero) puo' essere ottenuta come 2(X1 + X2 + ... + Xn) dove Xi sono esponenziali di parametro 1 indipendenti oppure come Y1^2 + ... + Yn^2 dove le Yi sono normali standard
# usare "apply" e "colSums
set.seed(0)
nsim <- 10 ^ 6








# si velocizza se usiamo "colSums"?







# se si aumentano i gradi di liberta':






# 8) simulare 500 lanci di moneta equa, T = 0, C = 1 
# con "rbinom", "runif" e "sample"




# verificare distribuzione casuale usando "table" e replicate (valutazioni ripetute di una data espressione)





# con "runif"





# con "sample"
# "sample" permette di simulare (campionare) da una distribuzione finita, con o senza rimpiazzo


# qual'e' il piu' efficiente (veloce)?
# (con 5000000 simulazioni)






# 9) uso di sample: simulare 50 estrazioni da una distribuzione discreta -2, 1, 5 con prob 1/4, 1/3, 5/12






# 10) scrivere una funzione per simulare estrazioni di sfere colorate da un' urna con e senza rimpiazzo
# la funzione deve prendere in input i nomi dei colori, il numero di sfere per ogni colore, il numero di estrazioni e se avvengono con o senza rimpiazzo











# 11) simulare estrazione del lotto su 10+1 ruote






# 12) simulare la prima mano a poker con 4 giocatori