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}


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\title[LGN e inferenza]{Legge dei grandi numeri e inferenza statistica}

\author{Francesco Pauli}

\date{A.A. 2016/2017}

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\maketitle
\end{frame}

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\section[LGN]{Legge dei grandi numeri}


\begin{frame}[t]{(Im)prevedibilit\`a della morte}

\begin{columns}[T]
\column{0.4\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{decessiIstat/deathcute}

\onslide*<2>{
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/kenny}
}
\onslide*<3-4>{
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}

}
\onslide*<5>{
\transdissolve[duration=1]
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth,height=0.14\textwidth]{decessiIstat/cemetery2}

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}

\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla}

}
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla2}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla2}\includegraphics[width=0.3\textwidth]{decessiIstat/folla2}


\end{center}
\column{0.4\textwidth}
\onslide<2->{
Dal punto di vista del singolo individuo, il fatto di morire in un dato anno \`e imprevedibile. 
}%
\onslide<3->{%

\spazio

Consideriamo invece una collettivit\`a di persone.
}
\onslide<4-5>{
\spazio

La legge dei grandi numeri ci dice che, se la collettivit\`a \`e abbastanza grande, la percentuale di decessi \`e prevedibile.
}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Mortalit\`a in un collettivo}
Consideriamo la percentuale di decessi di donne nella classe d'et\`a 40-44 in una {\bf piccola} provincia italiana in un anno
\begin{center}
\onslide*<1>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-7-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<2>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-8-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<3>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-9-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<4>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-10-1} 
\end{knitrout}
}
\end{center}
\onslide*<2-3>{
Da un anno all'altro la percentuale cambia, naturalmente, perch\'e il fenomeno \`e casuale.
}
\onslide*<4>{
In altre province di numerosit\`a analoga il quadro \`e simile.
}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Collettivit\`a \textbf{pi\`u grande}}
Consideriamo ora delle province {\bf pi\`u grandi}.
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Province piccole
\end{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-11-1} 
\end{knitrout}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Province grandi
\end{center}
\onslide*<1>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-12-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<2>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-13-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<3>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-14-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<4>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-15-1} 
\end{knitrout}
}
\end{columns}
\onslide*<2-3>{
Da un anno all'altro la percentuale cambia sempre ma le variazioni sono pi\`u contenute.
}
\onslide*<4>{
In altre province di numerosit\`a analoga il quadro \`e simile.
}


\end{frame}


\begin{frame}[t]{Collettivit\`a \textbf{ancora} pi\`u grandi}
Se passiamo alle regioni grandi, la variabilit\`a \`e ancora inferiore.
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Province grandi
\end{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-16-1} 
\end{knitrout}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Regioni grandi
\end{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-17-1} 
\end{knitrout}
\end{columns}

\end{frame}


 
\begin{frame}[t]{{Collettivit\`a \textbf{ancora ancora} pi\`u grandi}}
Infine, passiamo alle ripartizioni territoriali.
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Regioni grandi
\end{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-18-1} 
\end{knitrout}
\column{0.5\textwidth}
\begin{center}
Nord-Sud-Centro-Italia
\end{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-19-1} 
\end{knitrout}
\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}{Legge dei grandi numeri, significato pratico}

Pi\`u \`e grande il collettivo, pi\`u \`e stabile il fenomeno.

\begin{center}
Province piccole $\rightarrow$ Province grandi $\rightarrow$ Regioni grandi $\rightarrow$ Ripartizioni

\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-20-1} 
\end{knitrout}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}[t]{LGN, formulazione nell'esempio}
Supponiamo di osservare, per un anno, $n$ donne di 40-44 anni e sia
\begin{description}
\item[$p$] prob. morte in un dato anno per le donne di et\`a 40-44
\end{description}
e sia
\begin{description}
\item[$D_n$] $=$ \#\ di decessi tra le $n$ donne
\end{description}
\onslide<2->{
allora la LGN ci dice che  
\begin{itemize}
\item man mano che $n$ aumenta diventa sempre pi\`u probabile che $D_n/n$ si trovi ``vicino'' a $p$.
\onslide<3->{
\item in formula, qualunque sia $\varepsilon >0$, piccolo a piacere
\[ P\left(p-\varepsilon \leq \frac{D_n}{n} \leq p+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]
(dove il limite \`e nel senso dell'analisi).
}
\end{itemize}
}

\onslide<4->{si dice che \alert{$D_n/n$ converge in probabilit\`a a $p$}
\[ \frac{D_n}{n} \underset{p}{\rightarrow} p \]
}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{LGN, formulazione generale per eventi}
Siano $E_1,\ldots,E_n,\ldots$ eventi indipendenti e tali che
\begin{description}
\item[$p$] $=P(E_i)$ qualunque sia $i$ 
\end{description}
e sia
\begin{description}
\item[$S_n$] $=$ \#\ di eventi che si verificano
\end{description}
allora la LGN ci dice che  
\begin{itemize}
\item man mano che $n$ aumenta diventa sempre pi\`u probabile che $S_n/n$ si trovi ``vicino'' a $p$.
\item in formula, qualunque sia $\varepsilon >0$, piccolo a piacere
\[ P\left(p-\varepsilon \leq \frac{S_n}{n} \leq p+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]
(dove il limite \`e nel senso dell'analisi).
\end{itemize}
si dice che \alert{$S_n/n$ converge in probabilit\`a a $p$}
\[ \frac{S_n}{n} \underset{p}{\rightarrow} p \]
\end{frame}



\section[LGN e inferenza]{Legge dei grandi numeri e inferenza}

\begin{frame}{``Osservare'' una probabilit\`a}
Finora, ogni volta che si \`e data la probabilit\`a di un evento questa era
\begin{itemize}
\item ovvia da calcolare per la natura dell'evento (giochi d'azzardo)
\item fornita come un dato del problema (pioggia a TS, guadagnare su un titolo, passare statistica...)
\end{itemize}
Ora, con la LGN, capiamo come una probabilit\`a possa essere ``misurata'' empiricamente quando posso osservare numerosi eventi che hanno la medesima probabilit\`a di verificarsi.

\spazio

La LGN legittima il fatto di assumere che la proporzione di eventi che si verificano (osservata) sia rappresentativa (qui: probabilmente simile) della probabilit\`a (non osservata n\'e osservabile).
\[ P\left(p-\varepsilon \leq \frac{S_n}{n} \leq p+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]

\end{frame}

\begin{frame}{``Osservare'' le probabilit\`a di morte}
Non possiamo ``calcolare'' la probabilit\`a che una certa donna di 40-44 anni muoia in un determinato anno.

\spaziobianco

\`E per\`o ragionevole assumere che questa probabilit\`a sia la stessa per tutte (almeno in Italia nel 2015), sia $q^F_{40-44}$.

\spazio

Posso allora osservare tanti casi (unit\`a statistiche) e rilevare la proporzione di decessi $D_n/n$ e so che 
\[ P\left(q^F_{40-44}-\varepsilon \leq \frac{D_n}{n} \leq q^F_{40-44}+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]

\spaziobianco

Questa proporzione la posso poi assumere pari alla probabilit\`a di morte per quel sesso e classe di et\`a: 
\[ q^F_{40-44}\approx D_n/n \]


Le probabilit\`a cos\`i ottenute per le varie classi sono l'``ingrediente'' di base per calcolare i premi assicurativi vita.
\end{frame}


\section[Errore]{Qualcosa di pi\`u: quant'\`e l'errore}

\begin{frame}[t]{Vicino, ma quanto vicino?}
La LGN ci dice che la proporzione osservata $S_n/n$ \`e ``vicino'' a $p$ nel senso che, qualunque sia $\varepsilon >0$
\[ P\left(p-\varepsilon \leq \frac{S_n}{n} \leq p+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]
Ma quanto vicino?

\spazio

Quanto vicino \`e una domanda chiave perch\'e \`e legato a quanto sbagliamo: sapere che
\[ p \approx S_n/n \]
ci serve poco se non sappiamo precisare quel ``approssimativamente uguale''
\begin{itemize}
\item entro un errore di 0.1?
\item entro un errore di 0.01?
\end{itemize}
\end{frame}




\newcommand{\bS}{\ensuremath{\bar{S}}}

\begin{frame}{Errore di approssimazione}
Da un'urna con una porzione $p=0.5$ di palline bianche estraggo $n_1=10$ palline con reimbussolamento.

\spazio

Il risultato atteso \`e che $pn_1=5$ delle palline estratte siano bianche (media della binomiale), ovvero che la percentuale di bianche estratte sia $p=0.5$.

\spazio

Di fatto per\`o non \`e detto che questo sia esattamente il risultato, possiamo calcolarne la probabilit\`a, detta $\bS_1$ la proporzione di palline bianche estratte
\[ P(\bS_1=0.5) = 0.246\]
d'altro canto la proporzione potrebbe essere $0.4$ o $0.6$ con probabilit\`a rispettivamente
\[ P(\bS_1=0.4) = 0.205,\;\;\;\; P(\bS_1=0.6) = 0.205\]
In definitiva, abbiamo una probabilit\`a pari a $0.656$ che la proporzione che osservo cada a una distanza non superiore di $0.1$ da quella attesa.
\end{frame}

\begin{frame}[t]{LGN in pratica}
Se effettuo 10 estrazioni la proporzione che osservo cade a una distanza non superiore di $0.1$ da quella attesa con probabilit\`a $0.656$.

\onslide*<2-3>{
\spazio

{\bf E se le estrazioni sono 20?}

\spaziobianco

Allora la proporzione di bianche $\bS_2$ cade a una distanza non superiore di $0.1$ da quella attesa se il numero di bianche \`e tra 8 e 12, possiamo calcolarne la probabilit\`a e risulta 
\[ P(0.4\leq \bS_2 \leq 0.6) =
 0.737 \]
}

\onslide*<3->{
\spazio

{\bf E se le estrazioni sono 50?}

\spaziobianco

Allora la proporzione di bianche $\bS_3$ cade a una distanza non superiore di $0.1$ da quella attesa se il numero di bianche \`e tra 20 e 30, possiamo calcolarne la probabilit\`a e risulta 
\[ P(0.4\leq \bS_3 \leq 0.6) =
 0.881 \]
}

\onslide*<4->{
\spazio

Per quello che abbiamo detto, non stupisce che questa aumenti, il limite, dopotutto, \`e 1.

\spaziobianco

Detto in altre parole, per\`o questo vuol dire che posso trovare una numerosit\`a $n$ in corrispondenza alla quale la probabilit\`a \`e alta quanto si vuole.
}


\end{frame}

\begin{frame}{Errore, un altro punto di vista}
Vediamo il problema in questi nuovi termini.

\spazio

Supponiamo di volere che la proporzione di bianche estratte sia a una prefissata distanza da 0.5, diciamo 0.1 come sopra, con una fissata probabilit\`a, diciamo 0.99 (cio\`e vorrei essere ``quasi sicuro'' che, fatte le mie estrazioni, la proporzione cada l\`i dentro).

\spaziobianco

{\bf La LGN mi garantisce che qualunque sia la distanza e qualunque sia la probabilit\`a (minore di 1), trovo una numerosit\`a campionaria che soddisfa la condizione}

\spaziobianco

Cio\`e esiste certamente $n$ tale che
\[ P(0.4\leq \bS_n \leq 0.6)\geq 0.99 \]
Come ricavo $n$?
\end{frame}

\begin{frame}{Come ricavo $n$?}
Ricavare $n$ \`e semplice, facendo ricorso all'approssimazione normale per la binomiale: la proporzione osservata \`e approssimativamente distribuita secondo una normale
\[ \bS_n \thicksim \N{0.5}{\frac{0.25}{n}}  \]
allora
\begin{eqnarray*}
 P(0.4\leq \bS_n \leq 0.6) &\approx& \Phi\left(\frac{\sqrt{n}(0.6-0.5)}{0.5}\right)-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}(0.4-0.5)}{0.5}\right)\\
 &=& \Phi(\sqrt{n}/5)-\Phi(-\sqrt{n}/5) = 1-2\Phi(-\sqrt{n}/5) 
\end{eqnarray*}
Se vogliamo che questo sia pari a 0.99 basta impostare l'equazione
\[ 1-2\Phi(-\sqrt{n}/5) =  0.99  \]
da cui
\[ n=(-5\Phi^{-1}\left((1-0.99)/2\right))^2 =165.9   \]
\end{frame}

\begin{frame}{Come ricavo $n$ pi\`u in generale?}
Se la proporzione dell'urna \`e $p$ e vogliamo che la proporzione sia compresa tra $p-\delta$ e $p+\delta$ con probabilit\`a $c$ avremo che
\[ \bS_n\thicksim\N{p}{\frac{p(1-p)}{n}} \]
e impostiamo l'equazione
\begin{eqnarray*}
 c= P(p-\delta\leq \bS_n \leq p+\delta) &\approx& \Phi\left(\frac{\sqrt{n}\delta}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-\Phi\left(-\frac{\sqrt{n}\delta}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\\
 &=&  1-2\Phi\left(-\frac{\sqrt{n}\delta}{\sqrt{p(1-p)}}\right) 
\end{eqnarray*}
%impostiamo quindi l'equazione
%\[  1-2\Phi\left(-\frac{\sqrt{n}\delta}{\sqrt{p(1-p)}}\right)=c \]
da cui
\[ 
n=\left(-\frac{\sqrt{p(1-p)}\Phi^{-1}((1-c)/2)}{\delta}\right)^2
\]
\end{frame}

\subsection[N-Binom]{Normale come approssimazione della binomiale}

\begin{frame}{Normale come approssimazione della binomiale}
\label{binomtonorm}
Consideriamo una binomiale di dimensione $n$ e probabilit\`a $p$ 
\[ P(S=s) = \binom{n}{s} p^s(1-p)^{n-s}. \]
Questa converge in distribuzione a una normale di media $np$ e varianza $np(1-p)$. 

\begin{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}



















\animategraphics[width=0.35\textwidth,height=0.25\textwidth,controls,loop]{1}{figureMort/Mort-binnorm-}{1}{20}
\end{knitrout}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Normale come approssimazione della binomiale}
In pratica, cosa significa?

\spazio

Se $S\thicksim\mbox{Binom}(n,p)$, ed $n$ \`e sufficientemente grande, allora \textbf{approssimativamente}
\[ P(S\leq s) \approx \Phi\left(\frac{s-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \]
cio\`e posso usare la normale per calcolare le probabilit\`a riferite alla binomiale.

\spazio

\`E interessante scrivere lo stesso risultato anche per la proporzione, cio\`e per $\bS=S/n$
\[ P(\bS\leq x) = P(S\leq nx) \approx \Phi\left(\frac{x-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right) \]

\end{frame}




\begin{frame}{Vincere alla {\it roulette}, approssimazione normale}
\begin{itemize}
\item Abbiamo calcolato, usando la binomiale, la probabilit\`a di un saldo positivo su 1000 giocate di una quartina, cio\`e di vincere almeno 112 volte
\[ 
P(N>0) = \sum_{v=112}^{1000}\binom{1000}{v}\left(\frac{4}{37}\right)^v\left(1-\frac{4}{37}\right)^{1000-v}=0.3605118
\]
\item Usando l'approssimazione normale, il numero di vittorie \`e approssimativamente una normale con media $1000\frac{4}{37}=108.1081081$ e varianza $1000\frac{4}{37}\frac{33}{37}=96.4207451$.
\item La probabilit\`a che ci siano almeno 112 vittorie \`e allora
\[ 1-\Phi\left(\frac{111.5-108.1081081}{\sqrt{96.4207451}}\right) = 1-\Phi\left(0.3454274\right) = 0.3648865 \]
\end{itemize}


\end{frame}


\begin{frame}{Applicazione binomiale: {\it overbooking}}
Una compagnia aerea accetta prenotazioni per un aereo con 200 posti, sa che delle persone che prenotano un viaggio, il 10\%\ non si presenta.
\begin{enumerate}
\item[(1)] Si dica qual \`e la probabilit\`a che l'aereo viaggi pieno se ci sono state 200 prenotazioni.
\end{enumerate}
La compagnia accetta pi\`u di 200 prenotazioni (cosiddetto {\it overbooking}), sperando che non si presentino pi\`u di 200 persone. 
\begin{enumerate}
\item[(2)] Si dica qual \`e la probabilit\`a che qualche passeggero che ha prenotato resti a terra se sono state accettate 220 prenotazioni.
\item[(3)] Si dica qual \`e la probabilit\`a che qualche passeggero che ha prenotato resti a terra se sono state accettate 210 prenotazioni.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Applicazione binomiale: {\it overbooking}}
Il numero di passeggeri che si presenta, $X$, \`e 
\[ X\thicksim\mbox{Binom}(m,p) \underset{d}{\rightarrow} N\left(mp,mp(1-p)\right)  \]
dove $m$ \`e il numero di prenotazioni e $p$ la probabilit\`a di presentarsi.
\begin{enumerate}
\item[(1)] L'aereo viaggia pieno essendo stati prenotati 200 posti con probabilit\`a $0.9^{200}=\ensuremath{7.0550791\times 10^{-10}}$ (senza approssimazione)
\item[(2)] Se le prenotazioni sono state $m=220$ la probabilit\`a che si presentino 200 o meno \`e
\[ \Phi\left(\frac{200.5-m p}{\sqrt{200p(1-p)}}\right)
= 0.71289
\;\;\;\;[\mbox{Esatto: }0.7057]
\]
\item[(2)] Se le prenotazioni sono state $m=210$ 
\[ \Phi\left(\frac{200.5-m p}{\sqrt{200p(1-p)}}\right)
= 0.99592
\;\;\;\;[\mbox{Esatto: }0.998129]
\]
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Approssimazione normale alla binomiale, un esempio pratico}
Le differenze che si hanno da un anno all'altro in una provincia o da una provincia all'altra sono l'effetto di numerosi fattori casuali (clima, inquinamento, incidenti,...).

\spazio

Come potrebbero essere distribuiti i tassi osservati nelle diverse province?

\onslide*<2>{
\begin{columns}
\column{0.6\textwidth}
\begin{center}
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-24-1} 
\end{knitrout}
\end{center}
\column{0.4\textwidth}
La distribuzione normale (curva in rosso) rappresenta bene la variabilit\`a.

\spazio

Questo \`e un esempio pratico di quanto previsto dal Teorema del Limite Centrale.
\end{columns}
}
\end{frame}



\section[LGN e TLC]{Caso della media, TLC}

\begin{frame}{LGN, formulazione generale per variabili aleatorie}
Siano $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ v.a. indipendenti e tali che
\begin{itemize}
\item $E(X_i)=\mu$ qualunque sia $i$ 
\item $V(X_i)=\sigma^2(<+\infty)$ qualunque sia $i$ 
\end{itemize}
e sia
\[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \]
allora la LGN ci dice che  
\begin{itemize}
\item man mano che $n$ aumenta diventa sempre pi\`u probabile che $\bar{X}_n$ si trovi ``vicino'' a $\mu$.
\item in formula, posto $\varepsilon >0$, piccolo a piacere
\[ P\left(\mu-\varepsilon \leq \bar{X}_n \leq \mu+\varepsilon \right) \xrightarrow{n\to\infty} 1 \]
(dove il limite \`e nel senso dell'analisi).
\end{itemize}
si dice che \alert{$\bar{X}_n$ converge in probabilit\`a a $\mu$}
\[ \bar{X}_n \underset{p}{\rightarrow} \mu \]
\end{frame}

\begin{frame}{LGN, formulazione generale per variabili aleatorie}
La LGN, abbiamo visto, non si limita alla probabilit\`a

\spaziobianco

Siano $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ v.a. indipendenti e tali che $E(X_i)=\mu$ e  $V(X_i)=\sigma^2(<+\infty)$ qualunque sia $i$, allora
\[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i  \underset{p}{\rightarrow} \mu  \]

\spaziobianco

Questo significa che, come abbiamo usato la LGN per ``misurare'' una probabilit\`a, cos\`i possiamo fare per una media.
\end{frame}



\begin{frame}{Teorema del limite centrale}
\begin{scatola}{Teorema del limite centrale}
Se $X_1,\ldots,X_n,\ldots$ sono indipendenti e identicamente distribuiti con media $E(X_i)=\mu$ e varianza $V(X_i)=\sigma^2$ finita, allora
\[ \frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = 
\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}  \underset{d}{\rightarrow} N(0,1) \]
\end{scatola}

In pratica questo significa che
\[
\bar{X}_n \overset{\bullet}{\thicksim} N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
\]
dove $\overset{\bullet}{\thicksim}$ sta per ``\`e approssimativamente distribuito come''.

\end{frame}

\begin{frame}{Esempio}
Supponiamo che gli individui di una popolazione abbiano peso (espresso in $kg$)  distribuito identicamente con media $70$ e varianza $\sigma^2=50$.

\spaziobianco

Chiediamoci qual \`e la proabilit\`a che la media del peso di 25 individui sia compresa tra 68 e 72 $kg$.

\spaziobianco

In base al teorema del limite centrale il peso medio dei 50, $\bar{X}_{50}$, \`e approssimativamente distribuito come una
\[ N\left(70,\frac{50}{25}\right) \]
quindi la probabilit\`a cercata \`e ...

\end{frame}

\begin{frame}{Un'applicazione}
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
Supponiamo che io abbia un gregge di pecore, ... tante pecore.

\spazio

Vorrei sapere quanto vale il gregge e mi serve quindi sapere quanto pesano in media (sia $\mu$ il peso medio del gregge).
\column{0.5\textwidth}
\href{http://www.nbcnews.com/news/world/river-sheep-flows-through-madrid-n451116}{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/pecore}}
\end{columns}

\spaziobianco

Le pecore sono tante e non ho tempo per pesarle tutte, se ne peso una mi dice poco.

\spaziobianco

E se ne peso $n$?

\spaziobianco

Per il TLC, il peso medio di $n$ pecore \`e approssimativamente distribuito come una
\[ \N{\mu}{\sigma^2/n}\]
dove $\sigma^2$ \`e la varianza del gregge, sia pari a 100.
\end{frame}

\begin{frame}{Peso di una pecora}
Sulla base di quello che sappiamo della normale, sono sicuro al 95\%\ che la media del peso delle $n$ pecore cada nell'intervallo
\[ \left[\mu-2\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\mu+2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] \]
Se allora peso 100 pecore, al 95\%\ il peso medio cade in 
\[ \left[\mu-2,\mu+2\right] \]
cio\`e sono entro i 2$kg$ dal peso medio del gregge.
\end{frame}


\section[Digressione: mortalit\`a Italia 2015]{Digressione: mortalit\`a in Italia nel 2015}


\begin{frame}{Precisazione (per i curiosi)}
Perch\'e abbiamo considerato la mortalit\`a delle donne in una specifica classe di et\`a e non, ad esempio, la mortalit\`a generale?

\spazio

La LGN (e il TLC) prevedono che gli eventi che si considerano abbiano tutti la stessa probabilit\`a, la probabilit\`a di morte varia (evidentemente) con l'et\`a, se consideriamo la probabilit\`a di morte di un generico individuo nella popolazione questa \`e una media delle probabilit\`a di morte per et\`a pesata con la composizione della popolazione. Quest'ultima tende a variare (invecchiamento della popolazione) e questo produce delle variazioni nella mortalit\`a globale. 

Considerando invece la mortalit\`a in una specifica classe, questa si pu\`o considerare, nel periodo ridotto considerato, costante.
\end{frame}



\begin{frame}[t]{Mortalit\`a in Italia nel 2015: il fenomeno}

\begin{columns}[T]
\column{0.5\textwidth}
%\begin{center}
\onslide*<1>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-25-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<2>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-26-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<3>{
\href{https://www.avvenire.it/opinioni/pagine/attenti-ai-morti}{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{decessiIstat/avvenire}}
}

\onslide*<3-4>{
\href{http://www.repubblica.it/cronaca/2015/12/23/news/il_mistero_del_2015_quei_45mila_scomparsi_come_in_una_guerra_-130020393/}{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{decessiIstat/repubblica}}
}

\onslide*<4>{
\href{http://www.repubblica.it/cronaca/2015/12/23/news/il_mistero_del_2015_quei_45mila_scomparsi_come_in_una_guerra_-130020393/}{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{decessiIstat/repubblica2}}

%\href{http://www.ilsole24ore.com/art/notizie/2016-02-24/perche-2015-italia-sono-morte-54mila-persone-piu-9percento-173100.shtml?uuid=ACB9EFbC}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{decessiIstat/sole24ore}}

%\href{}{\includegraphics[width=0.95\textwidth]{decessiIstat/}}
}


%\end{center}
\column{0.5\textwidth}
In Italia, nel 2015, si osserva un tasso di mortalit\`a pi\`u alto del solito.

\onslide*<2->{
\spazio

In termini di decessi, si osservano 47000 morti pi\`u degli anni precedenti.
}
\onslide*<3->{
\spazio

Questa differenza \`e inattesa e suscita domande.
}
\onslide*<4->{
\spazio

Tra le ipotesi avanzate
\begin{itemize}
\item peggioramento delle cure dovuto alla crisi economica
\item effetto dell'inquinamento
\end{itemize}
}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Mortalit\`a in Italia nel 2015: la spiegazione}
Successivamente, quando sono stati disponibili i dati dettagliati (per classe di et\`a e residenza), il fenomeno \`e stato analizzato in dettaglio.

\begin{columns}[T]
\column{0.5\textwidth}
\onslide*<1>{

\href{http://www.scienzainrete.it/contenuto/articolo/cinzia-tromba/ecco-perche-ci-sono-stati-piu-morti-nel-2015/febbraio-2016}{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{decessiIstat/scenzainrete}}

\vspace{5mm}

\href{http://www.ccm-network.it/pagina.jsp?id=node/2031}{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{decessiIstat/ccm}}


}

%\begin{center}
\onslide*<2>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-27-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<3>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-28-1} 
\end{knitrout}
}

%\end{center}
\column{0.5\textwidth}

Ragionevoli concause
\begin{itemize}
\item invecchiamento della popolazione
\item epidemia influenzale 
\item ondate di calore estive
\end{itemize}
Cause escluse
\begin{itemize}
\item inquinamento
\item basse temperature
\item peggioramento delle cure
\end{itemize}

\end{columns}
\onslide*<2->{

Nel 2016 il fenomeno rientra, a conferma dell'eccezionalit\`a dello stesso
}
\end{frame}

\begin{frame}[t]{Esagerazioni (?) giornalistiche}
Nel periodo in cui \`e uscito il dato sui 45-50000 morti in pi\`u, ai giornali piaceva paragonarli al periodo della guerra: {\it decessi ai livelli degli anni '40}. 

\begin{columns}[T]
\column{0.5\textwidth}
\onslide*<2-3>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-29-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<3>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-30-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<4>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-31-1} 
\end{knitrout}
}
\onslide*<5>{
\begin{knitrout}
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figureMort/Mort-unnamed-chunk-32-1} 
\end{knitrout}
}
\column{0.5\textwidth}
\onslide*<2->{
Il numero di decessi non \`e effettivamente cos\`i alto dal 1945.
}
\onslide*<3->{

\spazio

La popolazione, per\`o \`e aumentata, 50000 decessi oggi sono una porzione inferiore della popolazione.
}
\onslide*<4->{

\spazio

In termini di tasso di mortalit\`a, la notizia non \`e cos\`i drammatica.
}
\onslide*<5->{

\spazio

In effetti, il tasso \`e a livelli mai visti da dopo la guerra, ma neanche vicino ai livelli di guerra.
}

\end{columns}

\end{frame}

\end{document}
