051SM - INTRODUZIONE ALLA FISICA TEORICA 2025
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Schema della sezione
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PROGRAMMA
- Equazioni differenziali e sistemi unidimensionali
- Meccanica Lagrangiana: spazio delle configurazioni, equazioni di Lagrange, costanti del moto e simmetrie, linearizzazione attorno a configurazioni di equilibrio, formulazione variazionale, moto centrale, trottola di Lagrange, sistemi continui.
- Meccanica Hamiltoniana: equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche, costanti del moto e simmetrie, sistemi integrabili.
- Esercizi
MATERIALE
- G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, Appunti di Meccanica Razionale
- H. Goldstein, Meccanica Classica (testo di riferimento)
- V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica (per materiale extra)
- A. Fasano e S. Marmi, Meccanica analitica (per materiale extra)
- Yung-kuo Lim, Problems and Solutions on Mechanics (Chapter II: Analytical Mechanics) (esercizi)
- D. Tong, Classical Dynamics, (review concisa ed esaustiva; link)
ESAME:
Scritto (in trentesimi) --- durata 3h:
- Domanda di teoria di Meccanica Razionale con semplici applicazioni.
- Esercizio di Meccanica Razionale (simile a quelli svolti in classe).
Orale ( voto compreso tra -4 e +4, da aggiungere al voto dello scritto; FACOLTATIVO ).
Può sostenere l'orale solo chi ha preso un voto allo scritto ≥ 18! L'orale va sostenuto nello stesso appello dello scritto! Lo studente può scegliere di non sostenere l'esame orale e di registrare il voto dello scritto come voto finale.
Su esse3 gli esami sono indicati nel seguente modo:
- Prova parziale "Scritto IFT": è l'esame scritto vero e proprio. Se desiderate sostenere tale scritto, siete pregati di registrarvi alla prova parziale nei tempi richiesti.
- Appello con verbalizzazione online "Esame IFT con orale": è il giorno dell'orale ed è l'appello in cui verbalizzerò il voto finale. Chi deciderà di mantenere il voto dello scritto, senza sostenere l'orale, dovrà iscriversi a questo appello e gli verrà registrato il voto dello scritto.
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- Introduzione del corso.
- Elementi di base: spazi vettoriali, notazione con gli indici, differenziale di una funzione, derivate di funzioni composte.
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- Equazione di Newton come equazione differenziale del secondo ordine.
- Esempi: equazioni lineari omogenee e non-omogenee, attrito.
[BGG: 1.1.1, 1.1.2]
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- Teorema di esistenza e unicità.
- Sistemi autonomi.
- Flusso del campo vettoriale.
- Costanti del moto. (!)
[BGG: 1.1.4, 1.1.5]
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- Derivata di Lie e costanti del moto.
- Punti di equilibrio.
- Stabilità di punti di equilibrio, teorema di Ljapunov.
- Biforcazioni a forchetta.
[BGG: 1.1.7, 1.1.8, 1.3.1, 1.appC]
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- Sistemi conservativi a un grado di libertà e piano delle fasi.
- Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione qualitativa. Caso generico.
- Traiettorie nel piano delle fasi: trattazione analitica.
[BGG: 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3]
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- Punto materiale in coordinate generiche.
- Punto materiale vincolato.
- Spazio delle configurazioni e coordinate libere.
[BGG: 3.1.1, 3.1.2]
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- Spazio delle configurazioni e spazio degli stati.
- Sistema di N punti materiali vincolati.
[BGG: 3.2.1]
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- Vincoli olonomi ideali.
- Energia cinetica in coordinate libere. Esempio: coordinate cilindriche.
- Forze generalizzate ed energia potenziale.
[BGG: 3.2.1, 3.2.3, 3.2.4]
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- Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi di N punti materiali soggetti a vincoli ideali.
- Pendolo sferico.
[BGG: 3.3.1]
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- Proprietà di invarianza delle equazioni di Lagrange.
[BGG: 3.3.1, 3.3.2]
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- Potenziali dipendenti da velocità.
- Moti relativi.
- Particella carica in campo elettromagnetico.
[BGG: 3.6.1]
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- Integrali primi/costanti del moto per un sistema Lagrangiano.
- Conservazione dell'energia nel formalismo Lagrangiano.
- Teorema di Noether.
[BGG: 3.7.1, 3.7.2, 3.7.3] -
- Coordinate cicliche, costanti del moto e Lagrangiana ridotta.
- Particella carica in campo magnetico costante.
[BGG: 3.7.2]
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- Configurazioni di equilibrio in sistemi Lagrangiani.
- Linearizzazione attorno a punti di equilibrio.
[BGG: 3.9.1, 3.9.2, 3.9.3, 3.9.4]
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- Modi normali di oscillazione e coordinate normali.
- Esempio: pendolo doppio.
[BGG: 3.9.4]
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- Rotazioni in 2 dimensioni e 3 dimensioni.
- Generatori e mappa esponenziale.
- Teorema di Noether e rotazioni.
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- Corpo rigido: spazio delle configurazioni, momento angolare ed energia cinetica.
- Operatore di Inerzia, momento d'inerzia.
- Corpo con asse fisso di rotazione.
[BGG 2.3.1, 2.3.2; Gold 4.4, 4.9]
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- Angoli di Eulero.
- Velocità angolare di un corpo rigido.
- Lagrangiana della Trottola.
[Gold 5.7]
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- Potenziale efficace.
- Moto di nutazione e precessione.
- Trottola con spin grande.
- Trottola dormiente e risvegliata.
[Gold 5.7]
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- Moti dell'asse della trottola.
- Trottola dormiente e risvegliata.
- Trottola con spin grande.
[Gold 5.7]
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- Moto di due corpi. Moto in campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare e riduzione a un problema a due gradi di libertà.
- Moto centrale: coordinate libere (utilizzando conservazione del momento angolare) e Lagrangiana efficace.
- Moto centrale: Diagramma delle fasi per equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
- Orbite nel piano.
- Calcolo dell'orbita dalle equazioni di Lagrange della Lagrangiana efficace.
[BGG 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a; Gold 3.1,3.2]
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- Esercizio 2 dello Scritto 15/02/21
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- Calcolo dell'orbita per quadrature (usando conservazione dell'energia).
- Orbite e coniche.
- Periodo per orbite ellittiche e leggi di Keplero.
[BGG 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4a, Appendice 2.A; Gold 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7]
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- Moto centrale: Calcolo dell'orbita usando il vettore di Laplace-Runge-Lenz (costante del moto).
- Legge oraria del moto.
- Introduzione all'approccio variazionale.
[Gold: 3.8, 3.9; BGG 2.6.1, 2.6.2]
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- Funzionali: definizione ed esempi.
- Differenziale o variazione di un funzionale. Esempi.
- Equazioni di Eulero-Lagrange.
[BGG: 4.1.1, 4.1.2,4.1.3]
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- Principio di minima azione di Hamilton.
- Equazioni di Hamilton e Hamiltoniana.
- Esempi di sistemi Hamiltoniani: oscillatore armonico.
[BGG 4.1.3, 4.1.4; 3.4.1, 3.4.3, 3.5]
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- Parentesi di Poisson.
- Proprietà delle parentesi di Posson, Identità di Jacobi.
- Parentesi di Poisson fondamentali.
- Parentesi di Poisson e costanti del moto. Conservazione dell'energia in meccanica Hamiltoniana.
[BGG: 3.5, 3.8.1, 3.8.2, 3.8.3]
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- Parentesi di Poisson e momento angolare.
- Trasformazioni canoniche: introduzione e definizione.
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- Trasformazioni canoniche nel formalismo compatto.
- Hamiltoniana coniugata.
- Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche: criterio di canonicità.
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- Trasformazioni simplettiche.
- Trasformazioni canoniche e Parentesi di Poisson.
- Esempio di trasformazione canonica e compatibilità con criteri di canonicità.
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- Definizione di Flusso Hamiltoniano.
- Flusso Hamiltoniano come trasformazione canonica.
- Teorema di Liouville.
- Trasformazioni puntuali estese.
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- Condizione di Lie: definizione e criterio di canonicità.
- Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche.
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- Famiglie ad un parametro di trasformazioni canoniche.
- Trasformazioni canoniche infinitesime e generatori.
- Teorema di Noether in meccanica Hamiltoniana.
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- Rotazioni e momento angolare.
- Traslazioni e quantità di moto.
- Esercizio di meccanica Hamiltoniana (Esame luglio 2025).
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- Equazione di Hamilton-Jacobi.
- Sistemi integrabili.
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- Sistema di molle e limite al continuo.
- Approccio lagrangiano ai sistemi continui: teorie di campo.
- Equazioni di Klein-Gordon e di Schroedinger come equazioni di Lagrange di sistemi continui.
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- Equazioni di Maxwell da un Lagragiana. Fromulazione relativistica.
- Simmetrie e correnti conservate: teorema di Noether in teoria di campo.
- Tensore energia-impulso.
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- Domande dell'Esercizio 1 degli ultimi anni.