978DF - TEORIA DEI GRUPPI 2025
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Schema della sezione
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Programma
Prima parte: Gruppi finiti
- Intro ai gruppi e primi esempi: gruppi ciclici, permutazioni
- Azione di gruppo
- Rappresentazioni, caratteri, Lemma di Schur
Seconda parte: Algebre e gruppi di Lie
- SO(2), SU(2) e SO(3)
- Definizione gruppo e algebra di Lie
- Algebre di Lie complesse e loro classificazione
- Rappresentazioni
- Gruppo di Lorentz, gruppo di Poincaré
- Sottogruppi finiti di SO(3) e SU(2)
Canale Teams del corso con le registrazioni: qui.Libri di testo:
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- S. Sternberg, "Group Theory and Physics"
- W. Fulton and J. Harris, "Representation Theory - A First Course"
- R. N. Cahn, "Semi-Simple Lie Algebras and Their Representations"
- H. Georgi, "Lie Algebras in Particle Physics"
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Note del corso disponibili a questo link.
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- SO(2) group.
- SU(2) group - introduction of the concepts of Lie Group and Lie Algebra.
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- SO(3) e sua relazione con SU(2).
- Definizione Algebra e Gruppo di Lie e loro relazione.
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- Gruppi e algebre di Lie di matrici.
- Mappa esponenziale.
- Rappresentazioni (rap coniugata, rap triviale, rap aggiunta).
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- Rappresentazione aggiunta.
- Prodotto tensore di rappresentazioni.
- Algebre di Lie semisemplici.
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- Killing form.
- Rappresentazioni di sl(2,C).
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- Cartan subalgebra.
- Roots and root space decomposition.
- Killing form and Cartan subalgebra.
- sl(2,C) associated with a root.
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- Summary dei concetti base sull'algebra di Cartan. Ulteriori risultati. Esempi.
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- sl(3,C) algebra, Cartan subalgebra and roots.
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- Simple roots.
- Cartan matrix
- sl(3,C) example.
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- Weyl group. Example sl(3,C).
- Dynkin diagrams.
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- Dal Dynkin diagram all'algebra: A2 e G2.
- Rappresentazioni finito dimensionali. Es: fondamentale di A2.
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- Pesi fondamentali.
- Highest weight representations.
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- Esempio di highest weigh rapresentation con algebra A2, rap fundamentale, anti-fondamentale e aggiunta.
- Rappresentazione coniugata e highest weight.
- Prodotto tensore di rappresentazioni.
- Sottoalgebre e rappresentazioni.
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- Maximal subalgebras and extended Dynkin diagrams.
- Representations of a sub-albegra of a Lie subalgebra.
- Example: A2+A1+<h> in A4. 5dim rep and 10dim rep decomposition.
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- Algebre di Lie reali e rappresentazioni coniugate.
- Universal cover.
- Centro del gruppo di Lie e diversi gruppi con la stessa algebra di Lie.
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- Casimir operators and the quadratic Casimir.
- Dynkin index of a representation.
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- Algebra di Lie D2=A1+A1: basi di generatori e forme reali.
- Rappresentazioni. Rappresentazione (1/2,1/2)
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- Rappresentazione (1/2,1/2) di sl(2,C) + sl(2,C) e gruppi SO(3) e SO(1,3).
- Rappresentazioni spinoriali.
- Algebra di Clifford.
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- Gamma matrices and Lorentz transformations.
- Finite groups and action on a space M.
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- Finite subgroups of SO(3).
- Finite subgroups of SU(2) (McKay correspondence).