Schema della sezione

  • Introduzione

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    Prima Lezione Martedì 24 Febbraio 2026, ore 9-11, aula C

    Libri suggeriti:

    vK= NG VAN KAMPEN, Stochastic Processes in Physics and Chemistry.

    Ga= C.W. GARDINER, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Siences. 

  • Lezione 1

    Introduzione al corso

    Processi di Markov ed equazione di Chapman-Kolmogorov, vK IV.1, 2

    Equazioni Master, Matrici stocastiche irriducibili, soluzione a tempi lunghi (intro.) . vK V.1, 2, 3

  • Lezione 2

    Master equation:

    soluzione a tempi lunghi (cont.)  vK V.3

    bilancio dettagliato vK V.6

    espansione in autofunzioni vK V.7

  • Lezione 3

    espansione in autofunzioni (cont.) vK V.7

    Reversibilità microscopica nel caso quantistico: appunti del docente.

    Una discussione esaustiva sull'operatore di inversione temporale in meccanica quantistica si trova in 

    Sakurai, Napolitano, Modern Quantum Mechanics, ch. 4

    Equazione aggiunta, vK V.9

  • Lezione4

    Processo diffusivo su reticolo

    Equazione di Fokker-Planck e soluzione stazionaria, vK VIII.1

    Espansione di Kramers-Moyal e derivazione formale VIII.2

    Equazione di FP per il moto Browniano di una particella libera e relazione di Einstein, VIII.3

  • Lezione 5

    Equazione di Liouville, Equazione di Fokker-Planck, Equazione di Smoluchowski, Equazione di Langevin, limite sovrasmorzato, moto Browniano e relazione di Einstein

    Slides del docente

    vedi anche vK VIII.3, 4, 7

    Equazione di Langevin per la particella libera e correlazioni a due tempi

    vK IX.1

  • Lezione6

    Equazione di Langevin con forze non-lineari e con rumore moltiplicativo, vK IX.4

    Schemi di integrazione delle equazioni differenziali stocastiche, schemi di Ito e Stratonovich

    vK IX.5 e Ga 4.3

    Equazione di Langevin con rumore colorato, vK IX.7

  • Lezione7

    Sistemi di equazioni di Langevin a molte variabili e relative equazioni di Fokker-Planck Ga 4.3, vedi anche vk VIII.6

    Derivazione microscopica dell'equazione di Langevin, caso classico, slides docente in Lezione 8

  • Lezione8

    Derivazione microscopica dell'equazione di Langevin, caso quantistico

    slides del docente

  • Lezione9

    Spin-boson model: appunti del docente

    Moto Browniano Generalizzato: slides del docente: Equazioni stocastiche in Lezione 5

  • Lezione10

    Moto Browniano Generalizzato (cont.)

    Costruzione di una teoria statistica dei campi ed equazioni di Ginzburg-Landau dipendenti dal tempo, slides del docente. 

    Un libro di riferimento per la teoria statistica dei campi è quello di M. Kardar, Statistical Physics of Fields

    Per chi volesse approfondire la conoscenza delle derivate funzionali, c'è un ottima esposizione nell'appendice 3A del libro Principles of condensed matter physics, P. M. CHAIKIN, T. C. LUBENSKY, Cambridge Univ. press.

    Il formalismo di Ginzburg-Landau è discusso nel capitolo 8.6 in maniera più formale di quanto abbiamo fatto a lezione.

    A dispetto del titolo è un ottimo libro di Meccanica Statistica e di Materia Condensata Soffice.

  • Lezione11

    Ancora sulla teoria statistica dei campi

    Termodinamica dell'equazioni differenziali stocastiche, appunti del docente

    Formalismo di Onsager-Machlup e teoremi di fluttuazione: appunti del docente.

    Una discussione sulle probabilità di traiettoria per processi governati dall'equazione di Langevin si trova anche in 

    Stochastic Thermodynamics, L. Peliti S. Pigolotti, sec. 4.11

  • Lezione12

    Discussione sugli esercizi

    Formalismo di Onsager - Machlup: relazioni di fluttuazione, caso sottosmorzato

    • Set esercizi 1 Compito
      Aperto: mercoledì, 8 aprile 2026, 01:00
      Termine consegna mercoledì, 8 aprile 2026, 14:00

  • Lezione13

    Singolo oscillatore in contatto con due bagni, appunti del docente: Notes on stochastic thermodynamics for SDEs in Lezione 11

    Introduzione alla statistica del tempo di primo passaggio

  • Lezione14

    Statistica del tempo di primo passaggio: problema generale e caso 1D con due condizioni al bordo assorbenti, Ga 5.2.7, vK VII.3

    van Kampen alterna la discussione fra processi discreti e processi continui descritti dall'equazione di FP.

    Noi a lezione consideriamo solo questi ultimi.

    Tempo di primo passaggio, caso 1D con una barriera assorbente ed una riflettente

    Fuga da una barriera di potenziale e formula di Arrenhius

    Ga 5.2.7 b-c

    vK anche discute gli argomenti di cui sopra, con approcci diversi XII.3 - XII.5, XIII.1-2

  • Lezione15

    Tempo di primo passaggio di una particella Browniana libera, divergenza del tempo di primo passaggio

    Tempo di primo passaggio per una particella Browniana in presenza di resetting, valore ottimale del parametro r 

    https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.106.160601

    https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/44/43/435001

  • Lezione16

    Teoria della risonanza stocastica

    https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.70.223, introduzione e sezione III

    Risonanza stocastica nei mutamenti climatici

    https://www.jstor.org/stable/2101326

  • Lezione17

    Modello di Kuramoto stocastico

    appunti del docente

  • Lezione18

    Termodinamica del modello di Kuramoto Stocastico, network di produttori ed utenti di energia, ottimizzazione

    Appunti del docente

  • Lezione19

    Ancora sul problema dell'ottimizzazione nel modello di Kuramoto

    Motori molecolari e ratchets, ratchet come particella Browniana in 2 potenziali, derivazione della corrente di particella nel limite di rate di transizione piccoli 

    Articolo di C.R. Doering sul Nuovo Cimento, vol 17, p.685 (1995) nella parte generale viene discussa la fisica dei ratchet. 

    Il risultato derivato nel dettaglio a lezione è riportato in eq. 15

    https://link.springer.com/article/10.1007/BF02451826

  • Lezione20

    Flashing Ratchet, esempio esplicito di potenziale a dente di sega, derivazione della corrente di particella

    Modello di Buettiker-Landauer: particella Browniana con temperatura dipendente dalla posizione, corrente di particella

    Appunti del docente 

     
    •  

  • Lezione21

    Motori autonomi

    Due  particelle a temperatura diversa

    Due rotori a temperatura diversa (intro.)

  • Lezione22

    Discussione sugli esercizi.

    Quantum annealers per lo studio di fenomeni critici, seminario

    • exercise set 2 Compito
      Aperto: lunedì, 11 maggio 2026, 00:00
      Termine consegna mercoledì, 13 maggio 2026, 13:00

  • Lezione23

    Ancora sul modello a 2 rotori

  • Lezione24

    Problema del controllo ottimale in sistemi stocastici: potenziale armonico con centro mobile: (x -lambda(t) )²/2 (da portare all'esame)

    Problema del controllo ottimale in sistemi stocastici: potenziale armonico con costante variabile: lambda(t) x^2/2 (discusso qualitativamente, non per l'esame)

    Tim Schmiedl and Udo Seifer, PRL 98, 108301 (2007)

    https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.98.108301