Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni sul corso

    • Link al canale Teams. 

      Testi consigliati:

      • M. Schwartz, “Quantum Field Theory and the Standard Model”
      • M.E. Peskin and D.V. Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”


      Altre referenze utili:

      • P. Ramond, “Field Theory: A Modern Primer”
      • M. Srednicki, “Quantum Field Theory”
      • T. Banks, "Modern Quantum Field Theory"
      • M. Serone, “Notes on Quantum Field Theory” disponibili a questo link
      • D. Anselmi, "Renormalization" disponibile a questo link


      Programma:
      * Integrale sui cammini
      * Matrice S
      * Rinormalizzazione 

  • Modalità d'esame

    • L'esame è orale. 

      All'interno dei periodi di esame, la data è flessibile, potete scrivermi a ldipietro@units.it per concordare una data. Contattatemi almeno una settimana prima della data proposta. Contestualmente, sempre almeno una settimana prima dell'orale, dovrete farmi avere -inviandomeli in formato pdf- la vostra soluzione di tutti gli esercizi per casa che vi assegnerò durante il corso. Su Esse3 aprirò un appello con una data indicativa su cui poi registrerò tutti gli esami della sessione.

      La stuttura dell'esame sarà questa: inizieremo con delle domande sugli esercizi per casa, poi vi chiederò di parlarmi di un argomento a piacere, e poi farò una domanda io (può essere sia di teoria, o un esercizio da svolgere). Alla fine valuterò solo lo svolgimento dell'esame orale, ovvero non darò un voto agli esercizi per casa.

      Se avete dubbi non esitate a contattarmi al mio indirizzo email ldipietro@units.it o a chiedermi di persona.

  • Note

    • Disponibili a questo link.

  • Esercizi

  • Lezione 1

    • Introduzione al corso: che cos'è la teoria quantistica dei campi
    • Integrale sui cammini in meccanica quantistica: dalla formulazione canonica, alla formula per l'ampiezza di transizione tramite integrale sui cammini (referenza: Polchinski "String Theory", Vol. 1, App. A), in forma Hamiltoniana

  • Lezione 2

    • Dalla formula per l'ampiezza con l'azione in formalismo Hamiltoniano, alla formula con l'ampiezza in formalismo Lagrangiano
    • Formula per la funzione di correlazione T-ordinata di operatori di Heisemberg dall'integrale sui cammini
    • Generalizzazione: dalla particella sulla retta alla particella su R^D
    • Generalizzazione a campo scalare

  • Lezione 3

    • Formula per funzioni di correlazione dall'integrale sui cammini per teoria di campo scalare
    • Caso speciale: teorie di campo libere 
    • Integrali gaussiani: analogo delle funzioni di correlazione per integrali gaussiani ordinari, derivazione del teorema di Wick
    • Analogo infinito-dimensionale della teoria di campo libero scalare: funzioni di correlazione espresse tramite l'inverso dell'operatore nell'azione quadratica
    • Derivazione del propagatore del campo scalare tramite trasformata di Fourier

  • Lezione 4

    • Teoria perturbativa: derivazione dell'espansione perturbativa dall'espansione dell'esponenziale dell'azione di interazione, esempio di lambda phi^4;
    • Diagrammi di Feynman per le funzioni di correlazione, esempi della due punti e della quattro punti in lambda phi^4, fattore di simmetria, cancellazione delle vacuum bubble;

  • Lezione 5

    • Regole di Feynman nello spazio delle posizioni, esempio di lambda phi^4;
    • Trasformata di Fourier delle funzioni di correlazione, Dirac delta di conservazione dei momenti, funzione di correlazione "stripped";
    • Esempio della funzione a quattro punti in lambda phi^4 in spazio delle posizioni, momento indeterminato a ordine lambda^2, concetto di loop;
    • Regole di Feynman nello spazio dei momenti, esempio di lambda phi^4;

  • Lezione 6

    • Funzioni di correlazione di operatori composti, sia in spazio delle posizioni e dei momenti, esempio di un operatore con derivata;
    • Teoria di uno scalare complesso: esempio di teoria con simmetria globale continua;
    • Conseguenza di una simmetria continua in teoria classica dei campi: teorema di Noether, esistenza di una corrente conservata;

  • Lezione 7

    • Conseguenza di una simmetria continua in teoria quantistica dei campi: identità di Ward-Takahashi;
    • Derivazione dalla identità di WT dell'equazione operatoriale sul commutatore della carica con un operatore composto;
    • Verifica dell'identità di WT nell'esempio di un correlatore della corrente nella teoria di uno scalare complesso;
    • Funzionali generatori delle funzioni di correlazione: il funzionale Z e il funzionale W = -log Z che genera le funzioni di correlazione connesse;

  • Lezione 8

    • Funzioni di corrrelazione 1PI, due punti 1PI e collegamento con la due punti connessa tramite somma della serie geometrica, esempi di funzioni 1PI a 3 e 4 punti;
    • Funzionale generatore delle funzioni di correlazione 1PI: relazione tramite trasformata di Legendre con funzionale generatore delle funzioni di correlazione connesse, azione effettiva 1PI come analogo quantistico dell'azione;
    • Generalità su campi in rappresentazioni nontriviali del gruppo di Lorentz;
    • Campi spinoriali, specializzazione a 4d, richiamo su SL(2,C) come doppio rivestimento di SO(1,3), spinori left e right;

  • Lezione 9

    • Azione per spinori chirali left e right, termine di massa;
    • Riorganizzazione di uno spinore left e uno spinore right in uno spinore di Dirac, matrici gamma e algebra di Clifford, azione per campo di Dirac;
    • Problema della quantizzazione con path integral: apparente incompatibilità con il teorema di spin e statistica, necessità di introdurre variabili anticommutanti;
    • Variabili di Grassman reali, funzioni di variabili di Grassman, derivata e integrale, integrale gaussiano e teorema di Wick, generalizzazione a variabili di Grassman complesse;
    • Applicazione all'integrale sui cammini per il campo di Dirac, equazione differenziale per il propagatore;
    • Propagatore del campo di Dirac, in spazio delle posizioni e dei momenti;

  • Lezione 10

    • Esempio di teoria interagente: teoria di Yukawa;
    • Regole di Feynman della teoria di Yukawa;
    • Esempio della funzione a quattro punti del fermione, segno meno sotto scambio delle zampe esterne;
    • Esempi di loop chiusi del fermione,  funzione a quattro punti e funzione a due punti a un loop del campo scalare, segno meno e traccia su indici spinoriali;
    • Calcolo esplicito della traccia nel caso della funzione a due punti, identità per tracce di matrici gamma;
    • Campo vettoriale, azione di Maxwell;
    • Problema: l'operatore nell'azione quadratica non è invertibile, individuazione della causa nell'invarianza di gauge dell'azione;

  • Lezione 11

    • Trasformazioni di gauge come ridondanza, necessità di restringere l'integrale sui cammini a classi di equivalenza sotto l'identificazione di gauge, considerando solo funzioni di correlazione di operatori gauge invariantii;
    • Metodo di Faddeev-Popov per eliminare la parte ridondante dell'integrale: funzionale di gauge-fixing e Dirac delta funzionale,
    • Scelta conveniente di R-xi gauge fixing, propagatore del campo di Maxwell con R-xi gauge fixing, caso particolare di Feynman e Landau gauge, significato del parametro xi e sua cancellazione da osservabili gauge invarianti;
    • Accoppiamento del campo di Maxwell a materia: accoppiamento minimale a una corrente conservata di una teoria con simmetria U(1), invarianza di gauge dell'azione totale;

  • Lezione 12

    • Esempio della QED e della QED scalare: definizione e proprietà della derivata covariante, scrittura dell'azione in termini di derivata covariante,  osservazione che l'azione risultante si può interpretare come il "gauging" della simmetria U(1), ridondanza sui campi di materia;
    • Regole di Feynman per la QED e la QED scalare;
    • Dalle funzioni di correlazione allo spettro: rappresentazione spettrale di Källen-Lehman;
    • Derivazione di KL partendo dalla funzione a due punti di Wightman con inserzione di un set completo di autostati di P, organizzazione in termini di iperboloidi a fissato valore del Casimir m^2, utilizzo dell'operatore unitario che implementa i boost di Lorentz per mappare tra loro stati all'interno di un iperboloide;
    • Misura spettrale;