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  • Fac-Simile Esame

  • Esame 27/01/20

  • Lezione 1

    Presentazione del corso;

    Ripasso sulle serie: criteri di convergenza, serie di potenze.

  • Lezione 2

    Ripasso sulle serie: Serie di potenze, funzioni analitiche di variabile reale, esempi notevoli; 

    Ripasso su numeri complessi: definizione e operazioni elementari.

  • Lezione 3

    Ripasso su numeri complessi: coordinate polari, radici n-esime, serie di potenze complesse, esponenziale e funzioni trigonometriche, logaritmo;

    Esercizi di riepilogo.

  • Lezione 4

    Funzioni di variabile complessa: limite, continuità, derivabilità in senso complesso, condizioni di Cauchy-Riemann.

  • Lezione 5

    Funzioni di variabile complessa: serie bilatere come esempio di funzioni olomorfe, condizione di Cauchy-Riemann con derivata di Wirtinger, parte reale/immaginaria come funzioni armoniche coniugate, nozioni di integrale sul piano: integrale di superficie, integrale su un cammino per funzione scalare e vettoriale.

  • Lezione 6

    Esercizi di riepilogo su: continuità per funzioni di variabile complessa, integrale su cammino, serie bilatere;

    Ortogonalità delle curve di livello della parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa, commenti su visualizzazione di funzioni olomorfe.

  • Lezione 7

    Teorema di Green in 2d; Teorema di Cauchy.

  • Lezione 8

    Formula integrale di Cauchy; Serie di Taylor-Laurent; Esempi.

  • Lezione 9

    Esercizi di riepilogo su: trovare armonica coniugata integrando differenziale esatto; integrale di funzione razionale di funzioni trigonometriche; calcolo di serie infinita usando la serie di Taylor-Laurent del prodotto di due funzioni olomorfe.

  • Lezione 10

    Zeri di funzioni olomorfe, Estensione analitica, l'esempio della funzione Gamma di Eulero; 

    Tipi di singolarità isolate: rimuovibili, poli.

  • Lezione 11

    Tipi di singolarità isolate: singolarità essenziali;

    Definizione di Residuo, teorema dei Residui, applicazione al calcolo di integrali sull'asse reale, esempi.

  • Lezione 12

    Altro metodo di calcolo di integrale reale con metodo dei residui;

    Singolarità all'infinito, residuo all'infinito, teorema esterno dei residui.

  • Lezione 13

    Esercizio su singolarità;

    Punti di diramazione e tagli: esempi notevoli, discontinuità, applicazione al calcolo di integrale reale.

  • Lezione 14

    Esempi di calcolo di integrali reali tramite funzioni con tagli;

    Lemma di Jordan, esempio di applicazione.

  • Lezione 15

    Esempio di applicazione del lemma di Jordan, parte principale di un integrale;

    Introduzione alla Trasformata di Fourier;

    Serie di Fourier: definizione, convergenza uniforme e puntuale, analogia con spazi vettoriali finito-dimensionali, esempi.

  • Lezione 16

    Applicazioni della serie di Fourier: oscillatore armonico forzato, equazione del calore;


    Esercizi di riepilogo: integrali reali tramite funzioni con taglio, formula di riflessione per la funzione Gamma.

  • Lezione 17

    Teorema fondamentale dell'algebra;

    Derivazione informale della trasformata di Fourier dalla serie;

    Trasformata di Fourier per funzioni in L^1; Proprietà: linearità, limitatezza, traslazioni, l'immagine di L^1 sono funzioni continue, prodotto di convoluzione, derivate, continuità, teorema di Riemann-Lebesgue.

  • Lezione 18

    Esempi di Trasformata di Fourier e delle sue proprietà;

    Spazio L^2.

  • Lezione 19

    Formula di riflessione della funzione Gamma (seconda parte); Applicazione: integrale della Gaussiana, volume della sfera di dimensione generica;

    Esercizi di riepilogo sulla trasformata di Fourier.

  • Lezione 20

    Trasformata di Fourier in L^2: identità di Parseval per funzioni sia in L^2 che L^1, definizione della trasformata tramite approssimazione con funzioni sia in L^2 che in L^1;

    Inversione della trasformata di Fourier su L^2.

  • Lezione 21 (3h)

    Interpretazione della trasformata e anti-trasformata di Fourier come analisi in frequenza, principio di indeterminazione, delta di Dirac.

  • Lezione 22

    Esercizi di riepilogo su: trasformata di Fourier in L^2, Identità di Parseval, delta di Dirac.

  • Lezione 23

    Funzioni test di Schwartz, distribuzioni temperate; 

    Operazioni sulle distribuzioni: derivata, moltiplicazione per polinomi, trasformata di Fourier, convergenza debole;

    Esempi.

  • Lezione 24 (3h)

    Applicazione della trasformata di Fourier: funzioni di Green per sistemi dipendenti dal tempo, condizione di causalità e implicazioni sulla trasformata di Fourier della funzione di Green;

    Cenni su trasformata di Laplace: definizione, proprietà, antitrasformata, esempi.

  • Lezione 25

    Esercizi su trasformata di Laplace;

    Applicazione della trasformata di Fourier: funzione di Green per il Laplaciano in dimensione generica.

  • Lezione 26 (extra)

    Esercizio su trasformata di Laplace;

    Ricapitolazione su trasformata di Fourier;

    Ripasso su spazi vettoriali finito dimensionali: basi, matrici associate a operatori lineari, autovalori e autovettori, diagonalizzazione, norma e prodotto scalare, basi ortonormali,  isomorfismo con il duale indotto dal prodotto scalare, aggiunto di un operatore, operatori e matrici hermitiani, operatori e matrici unitari, si può sempre diagonalizzare un operatore hermitiano in una base ortonormale.

  • Lezione 27

    Riassunto su spazi vettoriali finito dimensionali: diagonalizzabilità per operatori normali, diagonalizzabilità simultanea e commutazione, diagonalizzabilità e proiettori ortogonali, operazioni su matrici,

    Spazi infinito dimensionali: concetto di sistema indipendente e esempi, spazi normati, completezza e spazi di Banach, esempio di l^p e L^p, prodotto scalare, definizione di spazio di Hilbert.

  • Lezione 28 (3h)

    Sistema ortonormale, ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, disuguaglianza di Bessel, coefficiente di Fourier generalizzati e serie di Fourier generalizzata, concetto di sistema ortonormale completo;

    Esempi: un sistema ortonormale completo e uno non completo in l^2, un sistema ortonormale completo e uno non completo in L^2 su [-T,T], serie dei seni e dei coseni in L^2 su [0,T];

    Proprietà dei sistemi completi: identità di Parseval, un vettore ortogonale a tutti gli elementi del sistema è nullo, identità di Parseval generalizzata, le somme parziali sono un sottospazio denso; Esercizio su sistemi completi. 

  • Lezione 29

    Sistema completo non ortonormale, esempio;

    Spazi di Hilbert separabili, isomorfismo con l^2;

    Esercizi di riepilogo: diagonalizzazione simultanea di una matrice unitaria 2X2 e di una matrice di Pauli.

  • Lezione 30

    Operatori linear su spazi di Hilbert, dominio, continuità, limitatezza e norma di un operatore limitato, equivalenza tra continuità e limitatezza, esempi.

  • Lezione 31 (3h)

    Esercizio: applicazione di operatori continui a un problema sulla corda elastica;

    Funzionali continui, lemma di Riesz, isomorfismo tra uno spazio di Hilbert e il suo duale;

    Aggiunto di un operatore limitato tramite lemma di Riesz, aggiunto di un operatore non limitato definito su un denso, operatori autoaggiunti, operatori hermitiani, operatori unitari, proiettori, esempi.

    Autovalori e autovettori di un operatore.


  • Lezione 32

    Proprietà degli autovettori di un operatore hermitiano;


    Esempio della derivata seconda su L^2([-L,L]): sistema completo di autovettori nel dominio con condizioni di annullamento al bordo, e con condizioni di periodicità al bordo, applicazione a soluzione di equazioni.

  • Lezione 33

    Problema di Sturm-Liouville, proprietà delle autofunzioni e degli autovalori, esempi: equazione di d'Alembert tramite separazione delle variabili, Polinomi di Legendre.

  • Lezione 34 (3h)

    Spettro di un operatore. Esempio dell'operatore moltiplicazione per x su L^2.

    Operatori chiusi, estensione per chiusura, esempi.

    Nozioni di convergenza per vettori: forte e debole; nozioni di convergenza per operatori: in norma, forte e debole. Esempi.

  • Lezione 35

    Operatori compatti, teorema di Hilbert-Schmidt.

    Spettro dell'operatore derivata su L^(R), relazione con l'operatore moltiplicazione per x tramite trasformata di Fourier.\

    Ricapitolazione degli argomenti trattati su Spazi di Hilbert.