Schema della sezione

  • Introduzione

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    Contenuti del corso:

    1. Introduzione ai gruppi e alle algebre di Lie.
    2. Teorie di gauge non-abeliane: invarianza di gaugee derivata covariante, connessione, azione classica.
    3. Quantizzazione di Faddeev-Popov per teorie di gauge non-abeliane e simmetria BRST.
    4. Rinormalizzazione di teorie di gauge non-abeliane.
    5. Funzione beta e gruppo di rinormalizzazione. Teorie QCD-like a basse energie.
    6. Operatori di linea e gruppo di gauge: Wilson loops e 't Hooft lines.
    7. Aspetti topologici: Spazio delle configurazioni di teorie non-abeliane, istantoni e termine theta nell’azione.
    8. Higher form symmetries in Maxwell e YM.
    9. Anomalie: concetto di anomalia, anomalia chirale, anomalia e integrale sui cammini.


    1. Introduction to Lie groups and Lie algebras.
    2. Non-abelian gauge theories: gauge invariance and covariant derivative, connection, classical action.
    3. Line operators and gauge group: Wilson loops and 't Hooft lines.
    4. Faddeev-Popov quantization of non-abelian gauge theories and BRST symmetry.
    5. Renormalization of non-abelian gauge theories.
    6. Beta function and renormalization group.QCD-like theories in the IR.
    7. Topological aspects: configuration space of non-abelian gauge theories, instantons and theta-term.
    8. Higher form symmetries in Maxwell and YM.
    9. Anomalies: concept of anomaly, chiral anomaly, anomaly and path integral.


    Testi:
    PS: Michael E. Peskin, Dan V. Schroeder   "An Introduction to Quantum Field Theory",   Westview Press.
    W: Steven Weinberg   "The Quantum Theory of Fields II",   Cambridge University Press.
    N: V. Parameswaran Nair   "Quantum Field Theory",  Springer.
    R: Pierre Ramond   "Field Theory a Modern Primer",   Westview Press.


  • Lezione 1 - 04/10/22

    • Definizione gruppo di Lie e algebra di Lie. Esempio SU(N).
    • Rappresentazioni.

  • Lezione 2 - 06/10/22

    • Rappresentazione aggiunta.
    • Casimir operator.
    • Introduzione alle teorie di gauge.

  • Lezione 3 -11/10/22

    • Derivata covariante e bosone di gauge.
    • Curvatura e termine cinetico.

  • Lezione 4 - 13/10/22

    • Regole di Feynman per i bosoni vettori.
    • Teoria di Yang-Mills: equazioni del moto e correnti conservate.
    • Quantizzazione canonica di teorie di Yang-Mills, carica conservata e invarianza di gauge.

  • Lezione 5 - 18/10/22

    • Gauge fixing e integrale sui cammini.
    • Metodo di Faddeev-Popov per quantizzare una teoria di gauge non-abeliana.
    • Propagatore dei bosoni di gauge.
    • Copie di Gribov.
    • Determinante di Faddeev-Popov e Lagrangiana dei ghost.

  • Lezione 6 - 20/10/22

    • Simmetria BRST: invarianza della Lagrangiana, proprietà di nilpotenza.
    • Regole di quantizzazione canoniche per i campi nella Lagrangiana BRST-invariante.
    • Stati fisici e coomologia dell'operatore di BRST.

  • Lezione 7 - 27/10/22

    • Stati fisici e operatore di BRST. Esempio con teoria abeliana.
    • Identià di Ward-Takahashi per trasformazioni di BRST. Invarianza di correllatori da scelta di gauge fixing.
    • Grado di divergenza per teoria non-abeliana con fermioni in rappresentazione R.

  • Lezione 8 - 08/11/22

    • Rinormalizzazione, controtermini e simmetria di BRST.
    • Funzione beta per QCD-like theories (da diagrammi di Feynman).

  • Lezione 9 - 10/11/22

    • Calcolo della funzione beta utilizzando il Background Field Method (I).

  • Lezione 10 - 15/11/22

    • Calcolo della funzione beta utilizzando il Background Field Method (II).

  • Lezione 11 - 22/11/22

    • Calcolo della funzione beta utilizzando il Background Field Method (III).

  • Lezione 12 - 24/11/22

    • RG flow e teoria di YM.
    • Fasi infrarosse delle teorie QCD-like.


  • Lezione 13 - 29/11/22

    • Spazi con gruppo fondamentale non triviale.
    • Effetto di Aharonov-Bohm.
    • Spazio delle configurazioni non triviale e integrale di cammino.

  • Lezione 14 - 01/12/22

    • Termine topologico nell'azione e integrale di cammino.
    • Pendolo e istantoni.
    • Spazio delle configurazioni per teorie di gauge non-abeliane.


  • Lezione 15 - 06/12/22

    • Gruppo fondamentale dello spazio delle configurazioni di teorie non-abeliane.
    • Termine theta e integrale di cammino.
    • Cammini non triviali e istantoni.
    • Equazioni del moto euclidee e soluzioni (anti)self-duali per teorie di Yang-Mills.

  • Lezione 16 - 07/12/22

    • Istantoni in teorie di gauge non-abeliane.
    • Istantone con winding number 1 per una teoria con gruppo di gauge SU(2).
    • Soluzione istantonica come loop nello spazio delle configurazioni.

  • Lezione 17 - 13/12/22

    • Algebra di Cartan. Rappresentazioni, pesi, roots.
    • Wilson lines e Wilson loops.

  • Lezione 18 - 14/12/22

    • 't Hooft line operators.
    • SU(N) vs SU(N)/Z_N.


  • Lezione 19 - 15/12/22

    • 0-form symmetries e generalizzazione alle p-form symmetries.
    • 1-form symmetries in Maxwell and YM theories.

  • Lezione 20 - 10/01/23

    • Anomalie e Ward Identities.
    • Anomalia in 2d (I)

  • Lezione 21 - 12/01/23

    • Anomalia in 2d (II).

  • Lezione 22 - 17/01/23

    • Funzionali generatori e anomalia. Anomalia e regolarizzazione. 
    • Anomalie in 4d e anomalie non abeliane.

  • Lezione 23 - 18/01/23

    • Anomalia e integrale sui cammini: anomalia e misura del P.I.;  regolarizzazione di Fujikawa; anomalia in dimensioni pari.

  • Lezione 24 - 19/01/23

    • Anomalia e indice dell'operatore di Dirac.
    • Anomalia di Witten per teorie SU(2).
    • 't Hooft anomaly matching. Confinamento e rottura della simmetria chirale in QCD.