Diario delle lezioni

Presentazione del corso e informazioni generali. 

Funzioni continue non derivabili in nessun punto. Esempio di Weierstass e esempio di Mc Carthy. Altri esempi. Abbondanza delle funzioni continue non differenziabili in nessun punto.

Numerabilità dei punti con spigoli o cuspidi. Punti invisibili a destra e a sinistra per funzioni continue su un intervallo. Il teorema di Lebesgue sulla derivabilità delle funzioni monotone. Dimostrazione tratta dal Kolmogoroff-Fomin solo per le funzioni continue.

Il teorema di Fubini per le serie di funzioni monotone. Le funzioni a variazione limitata: generalità. Un funzione a variazione limitata è differenza di due funzioni monotone. le funzioni integrali di funzioni L^1 sono a variazione limitata. Derivata di una funzione integrale di una funzione L^1.

Dimostrazione del teorema secondo il quale la funzione integrale di una funzione L^1 è derivabile q.o. e ha derivata la funzione di partenza. Punti di Lebesgue. Assoluta continuità dell'integrale. Generalità sulle funzioni assolutamente continue. Caratterizzazione delle assolutamente continue come funzioni integrali di funzioni di L^1.

Confronto tra le versioni di Riemann e di Lebesgue del teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per parti delle funzioni AC. La funzione di Cantor. Misure con segno e misure complesse. Il teorema di decomposizione di Hahn.

Decomposizione di Hahn e di Lebesgue di una misura con segno e complessa. Misure assolutamente continue rispetto a misure positive. Teorema di Radon-Nikodym. Una osservazione relativa alle misure di Lebesgue-Stieltjes  su R.

Derivate simmetriche di misure rispetto alla misura di Lebesgue. Funzione massimale di Hardy e Littlewood. Lemma di Wiener. Teorema Massimale. Punti di Lebesgue. Collegamento con il teorema di Radon-Nikodym.

Introduzione alla teoria delle distribuzioni. Risultati preliminari. Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^1 (senza dim). Test di una funzione di L^1_loc contro una funzione continua a supporto compatto. Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p, per 1\leq p<\infty. Convoluzione e disuguaglianza di Young (senza dim.). Famiglie di mollificatori e approssimazione di funzioni tramite la mollificazione.

Partizione dell'unità. Definizione di distribuzione. Esempio delle distribuzioni associate a una funzione di L^1_loc e delle delta di Dirac. Successioni convergenti a zero nel senso delle funzioni test e definizione equivalente di distribuzione.Supporto di una distribuzione. Localizzazione di una distribuzione.

Derivata di una distribuzione. Esempio di della derivata della funzione di Heaviside. Teorema di struttura locale di una distribuzione.    Moltiplicazione di una distribuzione per una funzione C^\infty. Teorema di Bu Bois-Reymond. Distribuzione Valore Principale di 1/x.