1/10/2019 Introduzione al corso. Prodotto cartesiano. Operazioni interne in un insieme. Esempi: operazioni numeriche, composizione di applicazioni. Gruppi e gruppi abeliani.

2/10/2019 Proprietà ed esempi di gruppi. Gruppo delle biiezioni di un insieme in sè. Relazioni d'equivalenza. Congruenza modulo n. Classi d'equivalenza come classi dei resti.

4/10/2019 Classi d'equivalenza. Struttura di campo, prime proprietà. Il quoziente Z_n, operazioni indotte.

8/10(2019 Z_p è campo se e solo se p è primo. Esempi di calcolo dell'inverso. Spazi vettoriali: primi esempi. R^2, K^n, polinomi, M(mXn, K).

9/10/2019 Assiomi e prime proprietà di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali, esempi.

11/10/2019 Intersezione e unione di sottospazi. Sottospazio generato. Combinazioni lineari. Vettori linearmente indipendenti.

14/1072019 Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Famiglie linearmente indipendenti. Basi, esempi.

22/10/2019 Lemma dello scambio. Teorema del completamento (o prolungamento) a una base. Esempi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrarre una base da un insieme finito di generatori.

23/10/2019 Somma di sottospazi, relazione di Grassmann, somma diretta.

25/10/2019 Matrici: spazio delle righe e delle colonne, rango per righe e per colonne. Sistemi lineari: generalità, sistemi omogenei, esempi, sistemi equivalenti. Compatibilità. Trasformazioni elementari sulle matrici (4 tipi). Lasciano invariato lo spazio delle righe.

29/10/2019 Matrici a gradini, algoritmo di eliminazione di Gauss. Esempi di riduzione a gradini di una matrice. Risoluzione di sistemi lineari.

30/10/2019 Sottospazi affini di uno spazio vettoriale, giacitura; spazio vettoriale quoziente. Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di rango r in n incognite. Teorema di Rouché-Capelli. Esempi.

4/11/2019 Esercizi su sistemi lineari. Definizione e prime proprietà delle applicazioni lineari, esempi. Prodotto righe per colonne di matrici.

6/11/2019 L'applicazione lineare L(A). Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Isomorfismi.

8/11/2019 Teorema della dimensione. Conseguenze: dimensione dello spazio quoziente, isomorfismi, rango per righe coincide con rango per colonne. Teorema di determinazione di un'applicazione lineare.

12/11/2019 Conseguenze del teorema di determinazione di un'applicazione lineare. Isomorfismi fra spazi vettoriali della stessa dimensione. Isomorfismo k_B di V con K^n fissata una base di V. Esercizi.

13/11/2019 Spazio vettoriale duale, base duale. C come C-spazio vettoriale e come R-spazio vettoriale isomorfo a R^2. Endomorfismi di C, rotazioni. Matrice di un'applicazione lineare rispetto a basi fissate. Esercizi.

14/11/2019 Forma canonioca della matrice di un'applicazione lineare. Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di ogni matrice che la rappresenta. Isomorfismo fra Hom(V,W) e spazio vettoriale di matrici, fissate due base.

18/11/2019 Matrice associata alla composta di applicazioni lineari. Ogni applicazione lineare di K^n in K^m è del tipo L(A). Hom(V,V) e M(nxn, K) isomorfe come K-algebre. Matrici invertibili. Gruppo lineare generale GL(n,K) e gruppo GL(V). Una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo.

19/11/2019 Matrice di un cambiamento di base. Matrici di una stessa applicazioni lineare rispetto a base diverse. Similitudine fra matrici.

20/11/2019 Proprietà dell'inversa di una matrice, algoritmo per il calcolo dell'inversa. Esempi e applicazioni.

26/11/2019 Gruppo simmetrico: decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti, inversioni, segno di una permutazione. Gruppo alternante. Esempi.

27/11/2019 Gruppo simmetrico S_n come unione disgiunta di A_n e tauA_n. Funzioni multilineari alternanti. Funzione determinante, sue proprietà. Formula di Leibniz. Esistenza e unicità di un determinante che vale 1 su una base fissata.

29/11/2019 Determinante di una matrice, sue proprietà. Teorema di Binet.

3/12/2019 Matrice aggiunta, formula per la matrice inversa. Minore complementare, complemento algebrico. Teorema di Laplace. Soluzione di un sistema lineare omogeneo di n-1 equazioni in n incognite.

4/12/2019 Teorema di Cramer. Rango di una matrice come massimo ordine di un minore non degenere. Determinante come volume. Autovettori e autovalori di una matrice e di un endomorfismo.

6/12/2019 Definizione e proprietà del polinomio caratteristico. Esempi: rotazioni e riflessioni.

10/12/2019 Molteplicità algebrica di un autovalore, confronto con quella geometria. Condizioni equivalenti alla diagonalizzabilità.

11/12/2019 Esempi relativi alla diagonalizzabilità su C e su R. Teorema fondamentale dell'algebra. Condizione necessaria e sufficiente per la triangolarizzabilità.

13/12/2019 Autospazi generalizzati, loro dimensione. Se f:V->V è triangolarizzabile, V è somma diretta degli autospazi generalizzati, ed esiste una base di V rispetto a cui la matrice di f è a blocchi di Jordan (forma canonica di Jordan).

17/12/2019 Forma canonioca di Jordan: esempi ed esercizi.

18/12/2019 Definizione di prodotto scalare reale e complesso; matrice associata; esempi. Definizione e esempi di norma. Enunciato della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

20/12/2019 Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di angolo, ortogonalità. Formule di polarizzazione. Dimostrazione di teoremi di geometria euclidea elementare, usando le nozioni di prodotto scalare e ortogonalità.

7/1/2020 Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, esistenza di basi ortonormali. Somma ortogonale di sottospazi. Endomorfismi ortogonali ed unitari.

8/1/2020 Autovalori e autovettori di endomorfismi ortogonali e unitari, matrici ortogonali e unitarie, diagonalizzabilità degli endomorfismi unitari e delle matrici unitarie mediante basi ortogonali, caratterizzazione delle matrici ortogonali 2x2.

10/1/2020 Gruppo ortogonale e gruppo unitario. Sottospazi invarianti per un endomorfismo. Radici di un polinomio a coefficienti reali. Forma normale per endomorfismi ortogonali: il caso di uno spazio euclideo di dimensione 3 e interpretazione geometrica; il caso generale.

14/1/2020 Endomorfismi autoaggiunti, i loro autovalori sono reali, autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. Teorema spettrale. Conseguenze per la diagonalizzabilità di matrici simmetriche reali e unitarie complesse.

15/1/2020 Prodotto vettoriale (o esterno o wedge) di due vettori in R^3, sue proprietà. Forma quadratica q(x) associata a una matrice simmetrica reale. Quadriche di equazione q(x)=k; assi principali.

17/1/2020 Segnatura di una forma bilineare simmetrica o quadratica, teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Forme quadratiche definite positive, definite negative, semidefinite positive e negative, indefinite; relazione con il segno degli autovalori. Criterio dei segni di Cartesio (senza dimostrazione).

Ultime modifiche: venerdì, 17 gennaio 2020, 15:17