Diario delle lezioni

11/03/2020 Presentazione del corso

Introduzione al corso, discussione delle modalita' di esame previste. Considerazioni storiche e generali sui sistemi dinamici. Esempi.

12/03/2020 Sistemi dinamici. Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie

Sistemi dinamici. Flusso, legge di evoluzione, orbite. Sistemi dinamici discreti. Richiami sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie: esistenza, unicita', estensione delle soluzioni, dipendenza dai dati iniziali e dai parametri

18/03/2020 Sistemi dinamici unidimensionali continui

Sistemi dinamici unidimensionali continui. Punti fissi, flusso, ritratto di fase. Esempi. Introduzione alle biforcazioni.

19/03/2020 Biforcazioni

Biforcazioni. Diagramma di biforcazione. Forme normali. Biforcazione tangente, biforcazione transcritica, biforcazione a forchetta.

25/03/2020 Biforcazioni imperfette. Cenni ai sistemi dinamici sul cerchio

Biforcazioni imperfette. Curve di biforcazione. Esempio dell'equazione logistica con prelievo. Sistemi dinamici unidimensionali sul cerchio

26/03/2020 Sistemi dinamici discreti

Esempi di mappe scalari: metodo di Eulero esplicito, metodo delle tangenti di Newton. Esempi di mappe multidimensionali: modelli epidemiologici, SI, SIR, SEIR.

1/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Definizioni di: mappe scalari, flusso, orbite, punti fissi. Rappresentazioni delle orbite nello spazio delle fasi, nello spazio delle fasi esteso, come serie temporali. Es: mappa del coseno. Stabilità e asintotica stabilità dei punti fissi. Bacino d'attrazione, attrattori globali. Esempio: mappe lineari.

2/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Stabilità di punti fissi iperbolici e non iperbolici. Casistica di Myra.

8/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Punti fissi con derivata prima diversa da 1: nessuna biforcazione dell'equilibrio. Punti fissi con derivata prima uguale a 1: biforcazione tangente, transcritica, a forchetta. Analisi della mappa logistica: modellistica e discussione dei casi con 0<a<3.

9/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Orbite e punti periodici. Mappa logistica: biforcazione flip. Teorema di esistenza della biforcazione flip: cenno alla dimostrazione e applicazione alla mappa logistica.

15/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Studio della mappa logistica con applets Java: punti fissi, biforcazione flip a cascata, regime caotico. Diagramma degli insiemi limite, finestre periodiche, 3-ciclo. Teorema di Sarkovskii e di Li-Yorke (enunciato).

16/04/2020 Sistemi dinamici discreti

Dimostrazione del Teorema di Li-Yorke: f-copertura, lemma della f-copertura esatta, lemma delle catene di f-coperture, lemma del punto fisso, lemma dei cicli di f-copertura, teorema di Li-Yorke, corollario per il periodo 3. Definizione di mappa caotica (Devaney).

22/04/2020 Sistemi dinamici lineari

Sistemi dinamici lineari. Autovalori reali distinti. Autovalori complessi distinti. Esempi

23/04/2020 Sistemi dinamici lineari planari

Sistemi dinamici lineari planari. Autovalori reali: sella, pozzo, sorgente. Autovalori complessi: centro, spirale a sella, spirale a pozzo.

29/04/2020 Il piano traccia-determinante. Oscillatori disaccoppiati.

Il piano traccia determinante e la classificazione dei sistemi dinamici planari lineari. Oscillatori armonici disaccoppiati. Mappa di Poincare'

30/04/2020 Esponenziale di una matrice. Stabilita' lineare

Esponenziale di una matrice, definizione e proprieta'. Applicazioni ai sistemi dinamici. Stabilita' lineare.

6/05/2020 Esponenziale di una matrice

Soluzione mediante l'esponenziale della matrice del sistema: caso degli autovalori reali. Scomposizione di Jordan-Chevalley: dimostrazione.

7/05/2020 Esponenziale di una matrice

Calcolo dell' esponenziale di una matrice reale con autovalori complessi. Forma di Jordan di una matrice nilpotente e applicazione al calcolo delle soluzioni di un sistema dinamico lineare.

13/05/2020 Sistemi dinamici non lineari

Sistemi dinamici non-lineari. Punti critici e isocline. Linearizzazione vicino ad un punto critico.

14/05/2020 Stabilità 

Stabilita' alla Liapunov e stabilita' asintotica. Funzioni di Liapunov. Teorema di Liapunov e Principio di LaSalle. Esempi.

20/05/2020 Insiemi limite. Sistemi gradiente

Insiemi limite. Insiemi attrattivi e attrattori. Sistemi dinamici di tipo gradiente.

21/05/2020 Sistemi Hamiltoniani. Coniugazione topologica

Sistemi dinamici Hamiltoniani. Parentesi di Poisson. Teorema di Liouville. Coniugazione ed equivalenza topologica.

27/05/2020 Teorema di Hartman-Grossman. Varieta' invarianti

Teorema di Hartman-Grossman. Cenni alla dimostrazione. Varieta' invarianti. Teorema della varieta' invariante locale (senza dimostrazione)

28/05/2020 Il piano delle fasi

Il piano delle fasi. Indice di Poincare'. Teorema di Poincare'-Bendixon. Applicazioni.