Esercizi: energia e quantità di moto

(A) (a) Il lavoro $W$ compiuto dalla risultante $\sum \vec{F}$ delle forze agenti su un corpo può essere negativo? Perchè? (b) Il valore assoluto $|W|$ del lavoro compiuto da $\sum \vec{F}$ può essere maggiore dell'energia cinetica iniziale del corpo? Perchè?

(B) Per ciascuna delle affermazioni seguenti dire se è vera o falsa, spiegando perchè:

• (a) solo le forze conservative compiono lavoro
• (b) se su corpo agiscono solo forze conservative, la sua energia cinetica non cambia
• (c) l'energia meccanica di un corpo deve essere maggiore o uguale a zero

(C) La figura mostra l'energia potenziale $E_p$ di un corpo in funzione della sua posizione $x$. (a) In ogni punto indicato in figura, dire se la forza $F_x$ è positiva, negativa, o nulla. (b) In quale di questi punti la forza ha il modulo maggiore? (c) Trova gli eventuali punti di equilibrio indicando se sono stabili o instabili.

(A) Trova l'energia potenziale $E_p$ associata ad un corpo su cui agisce una forza costante $\vec{F}= F_0\vec{e}_x$, dove $\vec{e}_x$ è il versore orientato come l'asse x, in modo tale che $E_p$ sia nulla nel punto $x=0$ m. Ridefinisci quindi l'energia potenziale in modo che sia nulla nel punto $x=10$ m. Perchè questa modifica non altera il comportamento dei corpi soggetti alla forza $\vec{F}$?

(B) Una molla segue la legge di Hooke con una costante elastica $k=10^4$ N/m. Di quanto deve essere allungata perchè la sua energia potenziale sia 50 J?

(C) Una massa $m$ si trova a una distanza $\vec{r}$ da un'altra massa $M$ posta all'origine del sistema di coordinate. (a) Quale è il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale $\vec{F}_g$ sulla massa $m$ se la massa $m$ si sposta dalla posizione $\vec{r_1}=r_1\e_x$ a $\vec{r_2}=r_2\vec{e}_x$ lungo l'asse $x$, e la massa $M$ resta immobile? (b) Sappiamo che il lavoro compiuto da $\vec{F}_g$ su $m$ non dipende dal percorso. Sfrutta il risultato ottenuto al punto (a) per trovare l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale $E_p$ in funzione della distanza $r$ dall'origine, in modo tale che $E_p$ si annulli quando $r\rightarrow \infty$.

(A) Una palla di 0.2 kg è lanciata con una velocità iniziale di modulo 24 m/s e con un angolo 53$^\circ$ rispetto all'orizzontale. L'accelerazione di gravità vale $g=9.81$ m/s. Trascura la resistenza dell'aria e sfrutta la conservazione dell'energia per determinare l'altezza massima raggiunta dalla palla.

(B) Un blocco di massa $m=10$ kg è lasciato libero da un'altezza $h=3$ m ( punto A indicato in figura). L'accelerazione di gravità vale $g=9.81$ m/s. La pista è priva di attrito all'eccezione del tratto compreso tra i punti B e C, lungo 6 m. Il blocco scende lungo la guida colpisce una molla di costante elastica $k=2250$ N/m e ne determina una compressione massima di 0.3 m rispetto alla sua lunghezza a riposo. Determina il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e la superficie della pista nel tratto compreso tra B e C. [SJ 7.71]

(C) Un pendolo, composto da una piccola sfera di massa $m$ appesa a un filo di massa trascurabile e di lunghezza $L$, oscilla lungo un piano verticale. L'accelerazione di gravità è $g=9.81$ m/s^2. Il filo urta contro un piolo, posizionato a una distanza $d$ sotto il punto a cui è sospeso il pendolo, e si avvoolge attorno ad esso. (a) Mostra che se $\theta=90^\circ$, l'altezza massima raggiunta dalla sfera è uguale a quella iniziale. (b) Mostra che se il pendolo è rilasciato da fermo dalla posizione orizzontale ($\theta=90^\circ$) e vogliamo che oscilli compiendo un giro completo attorno al piolo, il valore minimo di $d$ deve essere $3L/5$.

(A) Un blocco di massa $m_1=1.6$ kg, inizialmente in moto con una velocità di $4$ m/s verso destra su un piano orizzontale privo di attrito, urta con una molla di massa trascurabile agganciata a un secondo blocco di massa $m_2=2.1$ kg, in moto verso sinistra ad una velocità di 2.5 m/s. La costante elastica della molla è 600 N/m. (a) Determina le velocità dei due blocchi dopo l'urto. (b) Di che tipo di urto si tratta? Perchè? (c) Determina la velocità del blocco 2 durante la collisione nell'istante in cui il blocco 1 si muove verso destra con velocità 3.0 m/s. [SJ E8.8]

(B) Un'automobile di 1500 kg che viaggia verso est a una velocità di 25 m/s urta a un incrocio con un furgone di 2500 kg che viaggia verso nord a 20 m/s. Calcola la direzione e il modulo della velocità dei rottami dopo l'urto, assumendo che questo sia perfettamente anelastico (cioè che i veicoli restino incastrati) [SJ E8.10]