Esercizi: meccanica dei fluidi

(A) Il titanic riposa a 4000 m di profondità sotto il livello del mare. Supponendo che l'acqua si comporti come un liquido incomprimibile di densità $\rho=10^3$ $\textrm{kg/m}^3$, quale pressione esercita sul titanic?

(B) Un palloncino sferico riempito di elio, di raggio $r=20 cm$ e di massa complessiva $m=10$ g, sfugge di mano a un bambino ed è lasciato libero nell'atmosfera. Supponi che l'aria possa essere descritta come un gas perfetto di massa molare $M_A=28$ g/mol e che la pressione vari con l'altitudine $y$ secondo la legge $P=P_0 \exp\left(-\frac{M_A g}{R T} y\right)$ con $T=300$ K e $P_0=10^5$ Pa. Trova, nell'ipotesi di atmosfera statica e isoterma, a quale altitudine il palloncino sarà in equilibrio statico. L'equilibrio è stabile, instabile o indifferente? Perchè? Nota: potrai trascurare la variazione di densità dell'atmosfera su una scala di lunghezze inferiore a $r$.

(C) Nella fascia di atmosfera più vicina alla superficie terrestre, detta troposfera, la temperatura decresce linearmente in funzione dell'altitudine $T(y)=T_0 - \alpha y$ dove $\alpha$ è una costante positiva chiamata "gradiente termico". Supponendo che il gas presente nell'atmosfera si comporti come un gas perfetto di massa molare $M_A=28$ g/mol, mostra che la variazione della pressione $P$ in funzione dell'altitudine $y$ si può scrivere $P(y) = P_0 \left(1 - \frac{\alpha}{T_0} y\right)^\beta$ dove $P_0$ è la pressione a livello della superficie terrestre e $\beta$ una grandezza adimensionale. Qual è l'espressione di $\beta$ e quanto vale? Qual è la pressione a un'altitudine di 10 km se $\alpha=6.5 \times 10^{-3}$ K/m, $T_0 = 300$ K e $P_0 = 10^5$ Pa?

(A) L'acqua in un estintore costretta a uscire è forzata ad uscire dalla pressione $P_1$ di una gas contenuto nella parte alta dell'estintore stesso. Il livello di uscita dell'acqua è di 50 cm superiore alla superficie dell'acqua all'interno nell'estintore. Al livello di uscita, l'acqua è alla pressione atmosferica $P_0$. Determina la differenza di pressione $P_1-P_0$ affinchè la velocità di uscita dell'acqua sia 30 m/s. Di quanto deve essere superiore a $P_0$? [SJ 15.53]

(B) Un barile di altezza $H$ e area $A_1$ è colmo di acqua. La parte superiore è aperta ed è esposta alla pressione atmosferica $P_\textrm{atm}$. Sul fondo del barile c'è un'apertura di area $A_2$, molto più piccola di $A_1$. (a) Mostra che la velocità di uscita dell'acqua è circa $\sqrt{2gh}$ quando l'altezza dell'acqua è $h$. (b) Mostra che se $A_2$, la rapidità di variazione dell'altezza $h$ è data da $\frac{dh}{dt} = - \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2gh}$. (c) Integra l'equazione per separazione delle variabili, assumendo che all'istante t=0, h=H. (d) Determina il tempo necessario a svuotare il barile se $H=2$ m, $A_1=0.81$ m$^2$ e $A_2=10^{-4}A_1$.