Meccanica dei fluidi

Fluidostatica

(A) Il titanic riposa a 4000 m di profondità sotto il livello del mare. Supponendo che l'acqua si comporti come un liquido incomprimibile di densità \rho=10^3 \textrm{kg/m}^3, quale pressione esercita sul titanic?

(B) Un palloncino sferico riempito di elio, di raggio r=20 cm e di massa complessiva m=10 g, sfugge di mano a un bambino ed è lasciato libero nell'atmosfera. Supponi che l'aria possa essere descritta come un gas perfetto di massa molare M_A=28 g/mol e che la pressione vari con l'altitudine y secondo la legge 
P=P_0 \exp\left(-\frac{M_A g}{R T} y\right)
con T=300 K e P_0=10^5 Pa. Trova, nell'ipotesi di atmosfera statica e isoterma, a quale altitudine il palloncino sarà in equilibrio statico. L'equilibrio è stabile, instabile o indifferente? Perchè? Nota: potrai trascurare la variazione di densità dell'atmosfera su una scala di lunghezze inferiore a r.

(C) Nella fascia di atmosfera più vicina alla superficie terrestre, detta troposfera, la temperatura decresce linearmente in funzione dell'altitudine 
T(y)=T_0 - \alpha y
dove \alpha è una costante positiva chiamata "gradiente termico". Supponendo che il gas presente nell'atmosfera si comporti come un gas perfetto di massa molare M_A=28 g/mol, mostra che la variazione della pressione P in funzione dell'altitudine y si può scrivere 
P(y) = P_0 \left(1 - \frac{\alpha}{T_0} y\right)^\beta
dove P_0 è la pressione a livello della superficie terrestre e \beta una grandezza adimensionale. Qual è l'espressione di \beta e quanto vale? Qual è la pressione a un'altitudine di 10 km se \alpha=6.5 \times 10^{-3} K/m, T_0 = 300 K e P_0 = 10^5 Pa?

Fluidodinamica

(A) L'acqua in un estintore costretta a uscire è forzata ad uscire dalla pressione P_1 di una gas contenuto nella parte alta dell'estintore stesso. Il livello di uscita dell'acqua è di 50 cm superiore alla superficie dell'acqua all'interno nell'estintore. Al livello di uscita, l'acqua è alla pressione atmosferica P_0. Determina la differenza di pressione P_1-P_0 affinchè la velocità di uscita dell'acqua sia 30 m/s. Di quanto deve essere superiore a P_0? [SJ 15.53]


(B) Un barile di altezza H e area A_1 è colmo di acqua. La parte superiore è aperta ed è esposta alla pressione atmosferica P_\textrm{atm}. Sul fondo del barile c'è un'apertura di area A_2, molto più piccola di A_1. (a) Mostra che la velocità di uscita dell'acqua è circa \sqrt{2gh} quando l'altezza dell'acqua è h. (b) Mostra che se A_2 , la rapidità di variazione dell'altezza h è data da 
\frac{dh}{dt} = - \frac{A_2}{A_1} \sqrt{2gh} . (c) Integra l'equazione per separazione delle variabili, assumendo che all'istante t=0, h=H. (d) Determina il tempo necessario a svuotare il barile se H=2 m, A_1=0.81 m^2 e A_2=10^{-4}A_1.


Last modified: Monday, 7 February 2022, 4:05 PM