Esercizi: primo principio

(A) Dimostra che per un gas perfetto la capacità termica a pressione costante $C_P$ e quella a volume costante $C_v$ sono legate dalla relazione di Mayer $C_P = C_V + nR$ dove $n$ è il numero di moli di gas. Suggerimento: esprimi $C_P$ in funzione della derivata dell'entalpia rispetto a $T$ a $P$ costante.

(B) Per ciascuna delle trasformazioni quasi-statiche seguenti, calcola il lavoro scambiato $W$, il calore scambiato $Q$ e la variazione di energia interna $\Delta U$ di $n$ moli di gas perfetto

1. isoterma a temperatura $T$ (da $(V_i, P_i)$ a $(V_f, P_f)$
2. isobara a pressione $P$ (da $(V_i, T_i)$ a $(V_f, T_f)$
3. isocora a volume $V$ (da $(P_i, T_i)$ a $(P_f, T_f)$
4. adiabatica (da $(V_i, T_i)$ a $(V_f, T_f)$

Quale delle espressioni trovate sarebbe valida nel caso di un sistema qualunque (non solo per un cas perfetto)?

(C) Una mole di ghiaccio a temperatura $-20^\circ$ è riscaldata a pressione atmosferica costante fino a trasformarsi completamente in vapore a temperatura $200^\circ$. Determina il calore (in Joule) necessario alla trasformazione. Dati:

• capacità termica molare del ghiaccio $c_s=9$ cal/K/mol
• capacità termica molare dell'acqua liquida $c_l=18$ cal/K/mol
• capacità termica molare del vapore d'acqua $c_v=6$ cal/K/mol
• calore latente molare di fusione $L_f=1440$ cal/mol
• calore latente molare di evaporazione $L_f=9700$ cal/mol

Traccia un grafico della temperatura del sistema in funzione del calore fornito nel corso della trasformazione.

(D) Lo stato iniziale A di una mole di gas perfetto è $P_A=2.105$ Pa, $V_A=15\times 10^{-3}$ m$^3$. Il gas effettua una trasformazione ciclica composta dalle seguenti trasformazioni quasi-statiche

• A $\rightarrow$ B: espansione isobara che raddoppia il volume iniziale
• B $\rightarrow$ C: compressione isoterma che riporta il gas al volume iniziale
• C $\rightarrow$ A: raffreddamento isocoro che riporta il gas allo stato iniziale

Rappresenta il ciclo nel diagramma $(P,V)$

A quale temperatura avviene la trasformazione isoterma? Deduci la pressione massima raggiunta dal gas.

Calcola il lavoro $W$ e il calore $Q$ scambiati dal gas dopo un ciclo.

(E) Consideriamo due moli di gas perfetto che passano dallo stato iniziale ($P_i$, $V_i$, $T_i$) allo stato finale ($P_f$, $V_f$, $T_f$). Si possono effettuare tre trasformazioni quasi-statiche distinte:

1. trasformazione isoterma
2. trasformazione corrispondente a una retta nel diagramma $(P,V)$
3. trasformazione isocora a $V_i$ seguita da un isobara a $P_f$

Calcola $W$ e $Q$ per ciascuna delle trasformazioni. Dati: $T_i=T_f=300$ K, $R=25/3$ J/K/mol.

(F) Quale volume d'acqua è bene utilizzare per cuocere 500 g di pasta? Un criterio è quello di mantenere la temperatura di cottura nell'intervallo $95^\circ - 100^\circ$. Sapendo ciò, quale volume d'acqua bisogna far bollire affinchè l'introduzione della pasta (inizialmente a $20^\circ$) non riduca la temperatura al di sotto del valore minimo dell'intervallo suggerito? Il valore trovato vi sembra ragionevole? Dati: capacità termica della pasta $c_{p}= 3.5 \times 10^3$ J/K/kg, capacità termica dell'acqua $c_a = 4.18 \times 10^3$ J/K/kg.

La pentola è posta su un piano di cottura alogeno di potenza elettrica 2000 W. Sapendo che la placca porta l'acqua da $20^\circ$ a $100^\circ$ in 5 minuti, determina la sua efficacia. Usa quindi questa informazione per migliorare il modello formulato nella prima parte dell'esercizio, stimando il calore fornito dal piano di cottura durante l'introduzione della pasta e ricalcolando il volume d'acqua ottimale.