Argomenti svolti.

12/12/2016   Endomorfismi autoaggiunti per spazi euclidei o unitari. Teorema spettrale nel caso complesso. 

Endomorfismo aggiunto ad un dato endomorfismo F di uno spazio euclideo od unitario V. Sua esistenza ed unicita`. Se F e` rappresentato rispetto ad una base ortonormale di V dalla matrice A, allora il suo endomorfismo aggiunto e` rappresentato dalla trasposta della matrice coniugata di A. Richiami sulle matrici ortogonali. Matrici unitarie. Determinante delle matrici unitarie. Vantaggi di diagonalizzare un endomorfismo autoaggiunto utilizzando esclusivamente matrici ortogonali, risp. unitarie. Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di uno spazio unitario. Tutti gli autovalori di un endomorfismo autoaggiunto di uno spazio unitario sono reali. Se u,v sono autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo autoaggiunto di uno spazio unitario, allora u e v sono ortogonali tra loro. Teorema spettrale (sui complessi) in forma matriciale. Per ogni matrice hermitiana A, nxn, esiste una matrice nxn unitaria P pale che P^tAP sia diagonale. 

13/12/2016   Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di uno spazio euclideo.

Tutte le radici del polinomio caratteristico di una matrice simmetrica sono reali. Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti di uno spazio euclideo. La matrice di cambiamento di base tra due basi ortonormali di uno spazio euclideo e` ortogonale. Teorema spettrale per matrici reali simmetriche. Caratterizzazione delle matrici simmetriche reali che determinano un prodotto scalare.

14/12/2016   Diagonalizzazione di matrici reali simmetriche.

Ogni matrice reale simmetrica e` congruente ad una matrice diagonale. Teorema di Sylvester. Segnatura. Regola di Cartesio (solo enunciato). Determinazione di rango e segnatura di una matrice reale simmetrica mediante il polinomio caratteristico.