Diario delle lezioni

2 ottobre 2017, 11-13

Introduzione al corso e definizione delle modalità d'esame. Curve continue e curve differenziabili in R^n. Esempio di curva continua con immagine il quadrato (curva di Peano). Vettore tangente, curve regolari. Esempi: parametrizzazioni della retta, circonferenza, elica, cubica gobba.

4 ottobre 2017, 9-11

Retta tangente. Riparametrizzazioni di una curva regolare. Funzione lunghezza d'arco. Poligonali inscritte. Curve rettificabili. Ogni curva regolare di classe C^1 è rettificabile.

9 ottobre 2017, 11-13

Fine della dimostrazione della rettificabilità. Funzione lunghezza d'arco, sua funzione inversa. Riparametrizzazione con parametro lunghezza d'arco (parametro naturale). Esempi: retta, elica circolare, cubica gobba. Derivato di un vettore di norma costante. Versore normale e curvatura di una curva parametrizzata con parametro naturale. Punti di flesso, o singolarità del primo ordine.

11 ottobre 2017, 9-11

Le rette come le curve a curvatura costante nulla. Triedro di Frenet. Formule di Frenet. Definizione di torsione.

16 ottobre 2017, 11-13

Una curva biregolare è piana se e solo se ha torsione identicamente nulla. Come si modifica l'apparato di Frenet cambiando orientazione. Forma canonica locale. Significato geometrico del verso del versore normale e del segno della torsione.

18 ottobre 2017, 9-11

Curve osculatrici e iperosculatrici. Esistenza e unicità del circolo osculatore in un punto non di flesso di una curva regolare. Calcolo dell'apparato di Frenet di una curva regolare alpha(t), t parametro qualunque. Caratterizzazione dei flessi come punti in cui i derivati primo e secondo di alpha sono linearmente indipendenti.

25 ottobre 2017, 9-11

Differenziale di una mappa differenziabile di R^m in R^n. Trasformata in un'isometria F di una curva regolare parametrizzata con parametro naturale e del suo triedro di Frenet attraverso il differenziale di F. Curvatura e torsione della curva trasformata. Esistenza di una curva regolare avente come curvatura e torsione due funzioni assegnate.

30 ottobre 2017, 11-13

Unicità a meno d'isometrie di una curva avente curvatura e torsione fissate. Curvatura di una curva piana. Superfici differenziabili parametrizzate. Immersioni ed embedding. Superfici regolari, atlanti.

6 novembre 2017, 11-13

Piano tangente in un punto di una superficie regolare. Curve regolari in una superficie. Esempi: il piano, la sfera, parametrizzazioni di Monge e coordinate polari.

8 novembre 2017, 9-11

Proiezione stereografica della sfera. Esempi di quadriche regolari e no. Sviluppabile delle tangenti di una curva. Superfici di rotazione, il toro.

13 novembre 2017, 11-13

Una superficie grafico di una funzione differenziabile di due variabili  è regolare (parametrizzazione di Monge). Richiamo sul teorema della funzione inversa. L'insieme definito da f(x,y,z)=a, dove f è differenziabile e a è un suo valore regolare, è una superficie regolare. Ogni superficie regolare ammette localmente una parametrizzazione di Monge.

15 novembre 2017, 9-11

I cambiamenti di coordinate locali su una superficie regolare sono differenziabili. Funzioni differenziabilisu una superficie. Campi vettoriali differenziabili. Campo vettoriale normale mai nullo  su una carta locale. Il gradiente è un campo normale mai nullo su ogni superficie regolare di livello di una funzione differenziabile.

20 novembre 2017, 11-13

Orientazioni di una superficie, mappa di Gauss. Condizione necessaria e sufficiente perchè una superficie sia orientabile, in termone della matrice jacobiana dei cambiamenti di coordinate di un atlante. Il nastro di Moebius.

22 novembre 2017, 9-11

I Provetta.

27 novembre 2017, 11-13

Il nastro di Moebius non è orientabile. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Prima forma fondamentale. Correzione della provetta.

29 novembre 2017, 9-11

Mappe differenziabili fra superifici, loro differenziali. La mappa di Gauss è differenziabile, il suo differenziale è un endomorfismo del piano tangente. Esempi: piano, sfera, cilindro, autospazi.

4 dicembre 2017, 11-13

L'operatore forma è autoaggiunto. Curvature principali, gaussiana e media. Ombelichi. Punti ellittici,iperbolici, parabolici e planari. Direzioni principali. II forma fondamentale e suoi coefficienti e,f,g. Esempio di una superficie con punti tutti iperbolici.

6 dicembre 2017, 9-11

Curvatura normale. Teorema di Meusnier. Formula di Eulero. Direzioni asintotiche. Posizione di una superficie rispetto al piano tangente intorno a un punto fissato P, a seconda del tipo di punto.

11 dicembre 2017, 11-13

Sezioni normali. Matrice dell'operatore forma rispetto alla base delle derivate parziali phi_u, phi_v di una parametrizzazione locale phi. Espressione di curvatura gaussiana, curvatura media, e curvature principali in funzione di E,F,G,e,f,g. Significato delle condizioni F=f=o. Definizione di superficie minima. Riferimento mobile (phi_u, phi_v, N), simboli di Christoffel.

13 dicembre 2017, 9-11

Equazioni di Gauss, espressione della curvatura gaussiana in funzione solo di E,F,G. Equazioni di Codazzi-Mainardi. Teorema di Bonnet (senza dim.). Isometrie e isometrie locali fra superfici. Teorema Egregium.

18 dicembre 2017, 11-13

Geometria instrinseca e estrinseca delle superfici, la curvatura gaussiana appartiene alla geometria intrinseca. Il cilindro e il piano sono superfici localmente isometriche. L'elicoide e la catenoide sono superfici minime, e sono localmente isometriche. La trattrice e la pseudosfera.

19 dicembre 2017, 11-13

Linee di curvatura su una superficie. Curve asintotiche, equazione differenziale delle asintotiche, il piano osculatore coincide con il piano tangente alla superficie. Geodetiche come curve la cui accelerazione è normale alla superficie, esempi, equazioni di Eulero-Lagrange. Esistenza di una geodetica per un punto P fissato con un fissato vettore tangente in P.

20 dicembre 2017, 9-11

Esempi di geodetiche: sfera, cilindro, toro. Superfici geodeticamente complete. Cenni al teorema di Hilbert che non esistono in R^3 superfici geodeticamente complete con K<0 costante. Postulati di Euclide e geometrie non euclidee. Il disco di Poincaré come modello di geometria non euclidea iperbolica (cenni). Teorema di classificazione delle curve di cui tutti i punti sono ombelichi.

8 gennaio 2018, 11-13

Definizione ed esempi di superfici rigate: coni, cilindri, sviluppabili delle tangenti. Calcolo della curvatura gaussiana. Rigate sviluppabili. Esempi di rigate non sviluppabili: elicoide, quadriche doppiamente rigate. Una rigata è sviluppabile se e solo se il piano tangente è fisso lungo ogni generatrice. Le uniche rigate sviluppabili sono localmente cilindri, coni, e sviluppabili delle tangenti.

10 gennaio 2018, 9-11

Superfici minime: direzioni asintotiche. Variazione normale di una regione limitata e connessa della superficie S associata a una funzione h. Funzione area associata e sua derivata. Teorema di Meusnier che afferma che una superficie S è minima se e solo se ogni regione limitata di S è un punto critico per la funzione area. Mappe conformi.