Syllabus dell'insegnamento
Acquisire conoscenze teoriche e capacità di saper risolvere problemi e svolgere esercizi nell'ambito della geometria differenziale in R^3.
Calcolo in una e più variabili. Algebra lineare, geometria affine ed euclidea. Algebra elementare. Gli esami di Analisi 1 e 2, Algebra 1, Geometria 1 e 2 sono propedeutici.
Curve regolari in R^n. Superfici regolari in R^3. Teorema Egregium di Gauss.
Lezione frontale, esercitazioni in aula e per casa. Saranno distribuiti fogli di esercizi da risolvere a casa, che saranno poi corretti e discussi in aula.
Curve regolari in R^n:
Curve parametrizzate. Vettore tangente. Curve regolari. Retta tangente.
Lunghezza d’arco. Parametro lunghezza d’arco. Curve rettificabili.
Richiami sul prodotto scalare e vettoriale. Triedro di Frenet. Piano
osculatore. Curvatura e torsione. Caratterizzazione delle curve piane
tramite la torsione. Formule di Frenet. Forma canonica locale e
applicazioni. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve.
Caratterizzazione delle curve con curvatura e torsione costanti.
Superfici regolari in R^3:
Superfici regolari. Parametrizzazione di un piano. Parametrizzazioni
della sfera: di Monge, in coordinate polari, proiezione stereografica.
Definizione del piano tangente e sua caratterizzazione. Ogni superficie è
localmente un grafico. Superfici di rotazione. Il toro come superficie
di rotazione. Superfici regolari come insiemi di livello.
Mappe cambiamento di coordinate. Funzioni differenziabili su superfici a
valori reali. Campi di vettori tangenti e normali. Definizione di
superficie orientabile. Caratterizzazione delle superfici orientabili
tramite l’esistenza di un campo di versori normali. Esempio di
superficie non orientabile: il nastro di Mobius.
Prima forma fondamentale di una superficie. Coefficienti prima forma
fondamentale. Funzioni differenziabili fra superfici e loro
differenziale. Mappa di Gauss. Il differenziale della mappa di Gauss è
un endomorfismo simmetrico. Seconda forma fondamentale di una
superficie. Coefficienti seconda forma fondamentale. Curvature e
direzioni principali. Curvatura gaussiana e media. Classificazione dei
punti di una superficie. Curvatura normale. Formula di Eulero. Curvature
principali come massimo e minimo delle curvature normali. Direzioni
asintotiche. Calcolo del differenziale della mappa di Gauss in funzione
dei coefficienti della prima e della seconda forma fondamentale.
Proprietà locali dei punti ellittici e iperbolici.
Isometrie e isometrie locali. Simboli di Christoffel. I simboli di
Christoffel dipendono solo dai coefficienti della prima forma
fondamentale. Formula di Gauss. Teorema Egregium di Gauss. Equazioni di
Codazzi-Mainardi. Teorema di Bonnet (senza dim.)
Superfici rigate. Coni, cilindri e sviluppabili delle tangenti. Superfici sviluppabili e loro caratterizzazione.
Superfici minime. Esempio: la catenoide. Caratterizzazione variazionale (senza dim.)
Ci sono sei appelli: ognuno consiste di una prova scritta e, il giorno seguente, una prova orale; gli esami del modulo A e del modulo B si possono fare separatemente in due appelli diversi (con scritti di 3 ore), oppure in un unico appello (scritto di 4 ore). Potranno essere fissate prove intermedie.
Per appunti, esercizi e altro materiale didattico si veda il sito del corso su http://moodle2.units.it/
Durante il corso sarà organizzata un'attività di tutorato.
M.P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976
M. Abate – F. Tovena: Curve e superfici, Springer Italia, 2006
B. O'Neill, Elementary differential geometry, II ed., Academic Press, 1997