DIARIO DELLE LEZIONI

Data
Titolo Descrizione
02/10/18 Introduzione al corso. Operazioni interne in un insieme, gruppi.
Introduzione al corso. Prodotto cartesiano d'insiemi.Operazione interna in un insieme. Definizione di gruppo e gruppo abeliano. Esempi: gruppi numerici, gruppo delle biiezioni di un insieme. Richiami su applicazioni iniettive, suriettive, biiettive.
03/10/18 Proprietà generali dei gruppi. Relazioni d'equivalenza. Congruenza modulo n. Il gruppo I(X) delle biiezioni di X: quando è abeliano e quando non lo è. Unicità dell'elemento neutro e del reciproco. Relazioni e relazioni d'equivalenza. Classi d'equivalenza, insieme quoziente, partizioni di un insieme. La relazione di congruenza modulo n.

05/10/18 Campi Operazioni di somma e prodotto in Z_n. Definizione e prime proprietà di campo. esempi. Struttura di campo su Z_p, p primo.
09/10/18 Spazi vettoriali Z_n è campo se e solo se n è primo. Definizione e primi esempi di spazio vettoriale: K^n, M(mxn,K), spazio dei vettori liberi del piano, come quoziente dell'insieme dei vettori applicati rispetto alla relazione di equipollenza.
10/10/18 Sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali, esempi, intersezione e unione di sottospazi; sottospazio generato da un sottinsieme. Combinazioni lineari.
12/10/18 Indipendenza lineare. Famiglie di vettori linearmente indipendenti. Esempi. Unicità della combinazione lineare di vettori linearmente indipendenti. Basi.
16/10/18 Basi Sistemi di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Lemma dello scambio. Teorema di prolungamento a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale.

17/10/18 Relazione di Grassmann Dimensione di un sottospazio. Somma e somma diretta. Grassmann.
23/10/18 Matrici e sistemi lineari di equazioni Matrici: spazio delle righe e spazio delle colonne, rango per righe e per colonne. Generalità sui sistemi lineari di equazioni. Ax=b è compatibile se e solo se b appartiene allo spazio delle colonne di A. Caso dei sistemi omogenei e dei sistemi quadrati. Trasformazioni elementari di matrici.
24/10/18 Algoritmo di eliminazione di Gauss. Algoritmo di eliminazione di Gauss, esempi. Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
26/10/18 Risoluzione di sistemi lineari Sottospazi affini, giacitura. Il sistema lineare omogeneo Ax=b ha spazio delle soluzioni di dimensione n-r, dove r è il numero delle incognite e r il rango per righe della matrice dei coefficienti. Risoluzione esplicità. Teorema di Rouché-Capelli.
30/10/18 Prodotto di matrici Equazioni cartesiane e equazioni parametriche di sottospazi vettoriali e affini. Prodotto righe per colonne di matrici, proprietà ed esempi. Matrice identica. Definizione e primi esempi di applicazione lineare.
31/10/18 Nucleo di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione. L'applicazione lineare L(A). Immagine e controimmagine di un sottospazio in un'applicazione lilneare. Nucleo Ker f. "f è iniettiva se e solo se Ker f=(0)". Teorema della dimensione. Applocazioni lineari fra spazi della stessa dimensione finita. Epimorfismo canonico.
06/11/18 Rango per righe uguale a rango per colonne. Determinazione di un'applicazione lineare. Conseguenze del teorema della dimensione: dimensione di V/W, il rango per righe di una matrice coincide con il suo rango per colonne. Hom(V,W) e spazio vettoriale duale. L'inversa di un'applicazione lineare biiettiva è lineare. Teorema di determinazione di un'applicazione lineare.
07/11/18 Isomorfismi fra spazi vettoriali. Matrice di un'applicazione lineare. Isomorfismi, spazi vettoriali della stessa dimensione finita sono isomorfi. Isomorfismo fra C e R^2. Spazio vettoriale duale e base duale. Matrice di un'applicazione lineare.
09/11/18 Forma canonica di un'applicazione lineare. Isomorfismo fra spazi di applicazioni lineari e di matrici esempio di calcolo della matrice di un'applicazione lineare (L(A) rispetto a basi non canoniche, spazi di polinomi). Forma canonica di un'applicazione lineare. Isomorfismo fra Hom(V,W) e spazio di matrici. Per ogni scelta di basi, la matrice che rappresenta f ha rango uguale a rg(f). Matrice della composta di due applicazioni lineari.
13/11/18 Matrici invertibili Struttura di K-algebra sullo spazio degli endomorfismi di V e su quello delle matrici nxn. Fissata una base di V, isomorfismo di K-algebre. Matrici invertibili. Gruppo lineare generale GL(n.K). Una matrice è invertibile se e solo se ha rango massimo.
14/11/18 Matrice di passaggio fra due basi, matrici simili. Matrice di un cambiamento di base, matrici che rappresentano la stessa applicazione lineare rispetto a basi diverse. Matrici che differiscono per una matrice invertibile hanno lo stesso rango. Similitudine fra matrici.
16/11/18 Algoritmo per il calcolo della matrice inversa. Riflessioni nel piano, rappresentazioni matriciali rispetto a basi diverse. Se esiste B tale che AB=E_n, allora A è invertibile. Costruzione della matrice inversa: algoritmo ed esempi.
20/11/18 Esempi. Gruppo simmetrico S_n: definizione e prime proprietà. Esercizio su cambio di base e costruzione della matrice inversa. Gruppo simmetrico S_n: k-cicli, decomoposizione di una permutazione in cicli disgiunti, trasposizioni.
21/11/18 Gruppo simmetrico Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Segno di una permutazione. Ogni trasposizione è dispari. Il gruppo alternante A_n. Il segno di un prodotto di permutazioni è il prodotto dei segni (senza dimostrazione). Numero di elementi di A_n. Funzioni multilineari alternanti su uno spazio vettoriale.
23/11/18 Funzioni determinante Funzioni determinante su uno spazio vettoriale, proprietà, formula di Leibniz, esistenza e unicità di una funzione determinante che vale 1 su una base fissata.
27/11/18 Determinanti di matrici. Teorema di Binet. Determinante di una matrice dopo trasformazioni elementari. Dterminante di una matrice triangolare o trinagolare a blocchi. Teorema di Binet.
28/11/18 Gruppo SL(n,K). Sviluppo di Laplace di determinanti. Gruppo SL(n,K) come nucleo dell'omomorfismo determinante. Determinante di un endomorfismo. Matrice aggiunta e sue proprietà. Espressione dell'inversa di una matrice. Minore complementare e complemento algebrico di un elemento. Sviluppo di Laplace di determinanti.
30/11/18 Teorema di Cramer, determinante come volume. Regola di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare quadrato. Determinante come volume di un parallelepipedo. Autovalori e autovettori di un endomorfismo e di una matrice quadrata, autospazi.
04/12/18 Autovettori relativi ad autovalori distinti. Polinomio caratteristico. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Polinomio caratteristico, suoi coefficienti.
05/12/18 Diagonalizzabilità Molteplicità algebrica di un autovalore, è sempre maggiore di quella geometrica. Condizione necessaria e sufficiente perchè una matrice o un endomorfismo sia diagonalizzabile. Esempi.
07/12/18 Triangolarizzazione Esercizio sulla diagonalizzazione. Teorema fondamentale dell'algebra. Matrici di Jordan. Endomorfismi e matrici triangolarizzabili, condizione necessaria e sufficiente per la triangolarizzabilità.
11/12/18 Forma canonica di Jordan Potenze di un endomorfismo, autospazi generalizzati. Se f è un endomorfismo triangolarizzabile di V, V è somma diretta degli autospazi generalizzati. Proprietà di una base  rispetto a cui la matrice di f è un blocco di Jordan. Forma normale di Jordan (senza dimnostrazioni). Esempio.
12/12/18 Forma canonica di Jordan: esempi ed esercizi Forma canonica di Jordan: esempi ed esercizi
14/12/18 Proodotti scalari Definizione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale su R e su C. Prodotto scalare canonico. Matrice di un prodotto scalare rispetto a una base. Prodotto scalare associato a una matrice simmetrica reale o hermitiana complessa. Norma associata a un prodotto scalare.
18/12/18 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Esempi di prodotto scalare e di forme bilineari simmetriche non definite positive. Definizione di norma, esempi di norma. Norma associata a un prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Formula di polarizzazione. Angolo fra due vettori non nulli in uno spazio vettoriale euclideo.
19/12/18 Nozione di ortogonalità, teorema di Gram-Schmidt. Formulazione dei teoremi della geometria euclidea elementare usando vettori e ortogonalità. Ortogonalità fra vettori e fra sottospazi, complemento ortogonale di un sottospazio. Basi ortonormali. Teorema di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e sue conseguenze. Somma ortogonale di sottospazi.
21/12/18 Endomorfismi ortogonali e unitari Autovalori di un endomorfimo unitario. Matrici ortogonali e unitarie. Gruppo ortogonale. La matrice di un endomorfismo ortogonale (unitario) rispetto a una base ortonormale è ortogonale (unitaria). Forma normale per matrici unitarie.
08/01/19 Forma normale per endomorfismi ortogonali Forma normale per matrici unitarie. Matrici ortogonale 2x2: classificazione. Forma normale per endomorfismi ortogonali. Ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita ha un sottospazio invariante di dimensione 1 o 2. Principio d'induzione completa.
09/01/19 Endomorfismi ortogonali di R^3, endomorfismi autoaggiunti Forma normale per endomorfismi ortogonali di uno spazio di dimensione 3. Esercizio. Endomorfismi autoaggiunti.
11/01/19 Teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti. Endomorfismi autoaggiunti, loro matrici rispetto a basi ortonormali, i loro autovalori sono reali. Teorema spettrale. Esempio di costruzione di una matrice ortogonale che diagonalizza. Forme quadratiche.
15/01/19 Assi principali. Teorema di Sylvester. Riduzione di una forma quadratica ad assi principali, esercizio. Matrici congruenti. Teorema di Sylvester (legge d’inerzia).
16/01/19 Segnatura di una forma bilineare simmetrica Segno degli autovalori di una matrice simmetrica reale e segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Regola dei segni di Cartesio. esempi. Prodotto vettoriale di due vettori in R^3.
18/01/19 Esercizi e complementi Esercizi su foma normale ortogonale, autovalori di matrice nilpotente, composizione di endomorfismi autoaggiunti, spazio biduale.

Last modified: Friday, 25 January 2019, 9:19 AM