Diario delle lezioni

03/10/2022 PRESENTAZIONE

Programma del corso. Pagina moodle. Introduzione storica e motivazioni. Definizione di curva algebrica affine piana.

06/10/2022 RISULTANTE

Enunciato del lemma di Study e prime conseguenze. Richiami di algebra: domini a fattorizzazione unica. Definizione del risultante e del discriminante. Proprietà fondamentale del risultante. Esempi. 

10/10/2022 LEMMA DI STUDY

Dimostrazione della proprietà del risultante: due polinomi hanno un fattore comune se e solo se il loro risultante si annulla. Dimostrazione del Lemma di Study. Definizione di curva irriducibile e riducibile. 

13/10/2022 CONSEGUENZE DEL LEMMA DI STUDY

Discussione degli esercizi del primo foglio. Caratterizzazione delle curve irriducibili. 

17/10/2022 DECOMPOSIZIONE IN COMPONENTI IRRIDUCIBILI

Decomposizione in componenti irriducibili delle curve algebriche affini. Polinomio minimo e grado di una curva affine, e rispettive interpretazioni algebriche e geometriche. Curve irriducibili e curve connesse. Criterio di irriducibilità per polinomi di secondo grado. Richiami sugli spazi proiettivi, coordinate omogenee, topologia e carte affini.  

20/10/2022 SPAZI PROIETTIVI

Proprietà topologiche degli spazi proiettivi: compattezza e proprietà di Hausdorff. Basi proiettive. Trasformazioni proiettive. Proprietà di continuità delle trasformazioni proiettive. Teorema fondamentale sulle trasformazioni proiettive. Iperpiani proiettivi. 

24/10/2022 CURVE PROIETTIVE

Definizione di curva proiettiva piana e di chiusura proiettiva di una curva affine. Esempi. Alcune proprietà topologiche delle curve proiettive. Decomposizione in componenti irriducibili delle curve proiettive.

27/10/2022 GRADO DELLE CURVE PROIETTIVE ED ENUNCIATO DEL TEOREMA DI BEZOUT

Ideale generato dai polinomi omogenei che si annullano sulla curva e identificazione con l'ideale del cono sopra la curva. Definizione del grado di una curva proiettiva. Invarianza del grado per trasformazioni proiettive. Equivalenza per trasformazioni proiettive, il caso delle rette e delle coniche. Enunciato del teorema di Bézout e discussione del caso in cui una delle curve è una retta.

31/10/2022 RISULTANTE TRA POLINOMI OMOGENEI

Classificazione delle quadriche proiettive. Versione del teorema fondamentale dell'algebra per polinomi omogenei in due indeterminate. Ordine/molteplicità degli zeri (nella retta proiettiva) di un polinomio omogeneo in due indeterminate. Omogeneità del risultante tra polinomi omogenei.

07/11/2022 TEOREMA DI BEZOUT

Lemma: due curve algebriche piane senza componenti comuni si intersecano in un numero finito di punti. Definizione della molteplicità di intersezione tra due curve. Dimostrazione del teorema di Bézout. Esempio.

10/11/2022 ESERCITAZIONE

Svolgimento esercizi dei fogli 2 e 3.

14/11/2022 SINGOLARITA'

Esempi di punti singolari: Ovale di Cassini, Cissoide (e problema di Delo). Definizione di punto singolare e di punto non singolare di una curva algebrica affine piana. Osservazioni sulla definizione e relazione con il Teorema del Dini. Esempi di curve notevoli.

17/11/2022 L'ORDINE DI UNA CURVA IN UN PUNTO

Proposizione: una curva algebrica affine ha un numero finito di punti singolari. Definizione di ordine di una curva affine in un punto. Esempi e prime proprietà dell'ordine. Singolarità per curve proiettive. Caratterizzazione dei punti non singolari per mezzo del gradiente di un'equazione minima. Retta tangente ad una curva proiettiva in un punto liscio (non singolare). Teorema di Eulero per polinomi omogenei.

21/11/2022 CURVE RAZIONALI

Dimostrazione del criterio affinché un punto in una curva proiettiva non sia singolare per mezzo del gradiente di un'equazione della curva. Equazione della retta tangente alla curva proiettiva in un punto liscio. Proposizione: una curva proiettiva ha un numero finito di punti singolari. Proposizione: una curva proiettiva non-singolare è irriducibile. Definizione dell'ordine di una curva proiettiva in un punto. Criterio di razionalità per una curva proiettiva di grado n con un punto di ordine n-1. 

24/11/2022 CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE IRRIDUCIBILI

Corrispondenza tra i punti, e le tangenti, (non-)singolari di una curva proiettiva e quelli della sua trasformata rispetto ad una trasformazione proiettiva. Classificazione delle coniche irriducibili. Topologia di una conica irriducibile. Curve razionali affini.

28/11/2022 RETTE TANGENTI 

Definizione delle rette tangenti ad una curva in un punto. Esempi. Relazione tra la molteplicità di intersezione di due curve in un punto e gli ordini delle curve nel punto. Intersezioni trasversali. Definizione di divisore in uno spazio proiettivo e di sistema lineare di divisori di un dato grado. Dimensione dello spazio dei divisori di grado fissato. 

01/12/2022 APPLICAZIONI DEI SISTEMI LINEARI DI DIVISORI

Teorema: date due curve di grado n che si intersecano in nxn punti distinti, se nxm di questi punti sono contenuti in una curva di grado m<=n, allora i restanti punti appartengono ad una curva di grado n-m. Corollario: teorema di Pappo-Pascal ed applicazioni alle macchine per il disegno delle coniche. Teorema: una curva irriducibile di grado n ha al più (n-1)(n-2)/2 punti singolari. Definizione di punto di flesso. 

05/12/2022 PUNTI DI FLESSO

Svolgimento degli esercizi dei fogli 3 e 4. Definizione di flesso e prime proprietà. 

12/12/2022 MATRICE HESSIANA E DETERMINANTE HESSIANO

Definizione della matrice hessiana e del determinante hessiano associati ad un polinomio. Proposizione: un punto non singolare di una curva proiettiva piana è un flesso se e solo se annulla il determinante hessiano di un'equazione minima della curva. Conseguenze: ogni curva non singolare ha almeno un punto di flesso; ogni curva di grado >2 ha un numero finito di flessi.

15/12/2022 FORMA DI LEGENDRE

Forma di Legendre per le cubiche non singolari. Classificazione delle cubiche singolari irriducibili. Punti di flesso di una cubica non singolare.

19/12/2022 BIRAPPORTO E MODULO DI QUATTRO PUNTI SULLA RETTA PROIETTIVA

Fine della dimostrazione del teorema sui punti di flesso di una cubica non singolare. Definizione del birapporto di quattro punti sulla retta proiettiva. Proprietà del birapporto. Modulo di quattro punti sulla retta proiettiva. Proprietà del modulo. 

22/12/2022 CLASSIFICAZIONE DELLE CUBICHE NON SINGOLARI

Teorema di Salmon. Definizione del modulo di una cubica non-singolare. Teorema di classificazione. Esempi.

09/01/2023 GRUPPO DEI PUNTI DI UNA CURVA ELLITTICA

Definizione della somma di due punti su una cubica proiettiva non singolare con un punto fissato. Teorema: l'insieme dei punti di una cubica proiettiva non-singolare con un punto fissato è un gruppo abeliano. Gruppo dei divisori su una curva e sottogruppo dei divisori di grado zero. Applicazioni alla crittografia e problema del logaritmo discreto. 

12/01/2023 ESERCITAZIONE

Discussione degli esercizi dei fogli 5 e 6.