Nozioni di topologia in R^n

Argomenti svolti

Prodotto scalare, norma e distanza in R^n, loro proprietà caratterizzanti e loro relazioni; palle e intorni in R^n; palle nelle norme 1, 2 e infinito; proprietà degli intorni in R^n (dim.); punto interno, esterno e di frontiera; parte interna, esterna e frontiera; caratterizzazione della frontiera tramite intorni; punto aderente e chiusura; punto di accumulazione e derivato; insiemi aperti e insiemi chiusi; unione e intersezione di insiemi aperti/chiusi (dim.); relazione tra parte interna, chiusura e complementarità (dim.); caratterizzazione dei chiusi tramite la loro chiusura (dim.); caratterizzazione di un insieme chiuso tramite frontiera e tramite derivato (dim.);  insiemi limitati; diametro di un insieme; teorema di Bolzano - Weierstrass; copertura di un insieme; definizione di insieme compatto tramite copertura; teorema di Heine - Borel; insiemi separati; definizione di insieme connesso tramite insiemi separati; retta e segmento congiungenti due elementi in R^n; connessione per segmenti (poligonali) e relazione con la connessione definita tramite insiemi separati; insieme convesso e sua relazione con la connessione.

Per questi argomenti si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 1 - Capitolo 3 - Sezioni 1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 e alle slide fornite.