Schema della sezione

  • Argomenti svolti

    Definizioni di limite con intorni e con norme; validità dei principali teoremi già noti per funzioni R --> R; connessione tra limiti di funzioni con codominio R e limiti di funzioni con codominio R^m; esempi di calcolo di limite e di dimostrazione di non esistenza di limite, in particolare utilizzando restrizioni; definizioni di continuità; validità dei principali teoremi già noti per funzioni R --> R; legame tra continuità di funzioni con codominio R^m e con codominio R; caratterizzazione della continuità tramite successioni; topologia indotta e definizione di intorni, aperti e chiusi; caratterizzazione di aperti nella topologia indotta tramite intorni (dim.); caratterizzazione della continuità tramite controimmagini di aperti (dim.) e di chiusi con esempi; funzioni continue e compattezza (dim.); Teorema di Weierstrass (dim.); definizione di funzione additiva, omogenea e lineare; continuità delle funzioni lineari (dim.); proiezioni e loro continuità (dim.); definizione di funzione lineare affine; esempi di verifica della continuità; relazione tra limite e limiti di un numero finito di restrizioni (dim.); definizione di uniforme continuità e sua relazione con la continuità; esempi di funzioni uniformemente continue e non uniformemente continue; teorema di Cantor-Heine (dim.); caratterizzazione degli insiemi connessi tramite aperti-chiusi; funzioni continue e connessione (dim.); teorema degli zeri (dim.); applicazione del teorema degli zeri alla rappresentazione del dominio di funzioni in due variabili; vari esercizi in particolare sulla dimostrazione della continuità di funzioni.

    Si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 1 - capitolo 5 - sezione 2 e alle slide fornite.

    Una dimostrazione della caratterizzazione delle funzioni continue tramite le controimmagini degli insiemi aperti (o chiusi) si può anche trovare al link indicato in seguito, ma non contempla la topologia indotta, come nel testo di Analisi Matematica 1. Può essere tuttavia utile per comprendere la modalità di svolgimento della dimostrazione.