Schema della sezione

  • Argomenti svolti

    Definizione di derivata direzionale e di derivata parziale; definizione di gradiente; caratterizzazione alternativa della definizione di derivata in R; differenziale; necessità di continuità e delle derivate direzionali per la differenziabilità (dim.); formula del gradiente per funzioni differenziabili (dim.); gradiente come direzione di massima/minima cresciata (dim.); equazione del piano in R^3 e interpretazione dei suoi parametri come vettore ortogonale al piano; equazione parametrica della retta in R^3 e coefficienti direttori; rappresentazione di una retta come intersezione di due piani in R^3; equazione del piano tangente in punto del grafico di una funzione differenziabile; vari esempi di calcolo di derivate parziali e direzionali, del differenziale e del piano tangente; teorema del differenziale totale (dim. caso n=2); impiego del teorema del differenziale totale nel calcolo del differenziale e delle derivate direzionali con la regola del gradiente con esempi; differenziale di una combinazione lineare di funzioni differenziabili; derivate direzionali e parziali di ordine superiore; Teorema di Schwarz; generalizzazione del teorema di Schwarz a derivate di ordine superiore; definizione di differenziale secondo e di matrice hessiana; differenziale di ordine superiore a 2 (cenni); definizione di insieme C^k(E) (insieme delle funzioni definite su E con derivate parziali continue fino all'ordine k); conseguenze del teorema di Schwarz per le funzioni in C^k(E); teorema del valor medio per funzioni R^n --> R (dim.); interpretazione geometrica del teorema del valor medio e del teorema di derivazione della funzione composta; formula di Taylor per funzioni R^n --> R fino all'ordine 2 con resti di Lagrange (dim.) e di Peano (dim.); definizione di punto di massimo e minimo assoluto e relativo per una funzione R^n --> R; teorema di Fermat (condizione necessaria per punto di minimo/massimo relativa alla derivata direzionale) (dim.); analisi dei punti di massimo e minimo di una funzione tramite studio del segno e restrizioni; definizione di differenziabilità per funzioni R^n --> R^m; relazione tra la differenziabilità di funzioni R^n --> R^m e la differenziabilità delle funzioni componenti (dim.) e conseguenze per la validità di teoremi validi per funzioni R^n --> R; equazioni parametriche di una curva nel piano e di una superficie nello spazio e significato geometrico del vettore tangente (cenni); definizione di matrice jacobiana;  teorema del differenziale della funzione composta per funzioni R^n --> R --> R e R --> R^n --> R, teorema del differenziale della funzione composta per funzioni da R^n --> R^m; teorema della funzione implicita (del Dini) per funzioni R^2 --> R; teorema della funzione implicita per funzioni da R^n --> R e da R^(n+m) --> R^m; applicazioni del teorema della funzione implicita allo studio locale di una curva nel piano (retta tangente, grafico della funzione implicita) e di una superficie nello spazio (piano tangente), nel calcolo di limiti e nello sviluppo secondo la formula di Taylor.

    Si faccia in generale riferimento al libro di Analisi 1 - Capitolo 7 Sezioni da 1.1 a 1.4, Sezioni 2.1 e 2.2, Sezioni 3.1 e 3.2 (alcuni argomenti si trovano nelle Sezioni 3.3 e 3.5) e alle slide fornite.

    Per saperne qualcosa di più su rette e piani nello spazio si veda il link che segue.