Schema della sezione

  • Argomenti svolti

    Definizione di integrale di una funzione limitata su un rettangolo secondo Riemann come valore comune tra estremo inferiore delle somme superiori e ed estremo superiore delle somme inferiori; integrale delle funzioni costanti (dim.); esempio di funzione non integrabile (funzione di Dirichlet su [0,1]x[0,1]) (dim.); interpretazione dell'integrale come volume di un cilindroide; caratterizzazione dell'integrabilità tramite differenza tra somme superiori e somme inferiori; integrabilità delle funzioni continue su rettangoli (dim.); caratterizzazione dell'integrale con le somme di Riemann; equivalenza di integrabilità per funzioni a una variabile viste come funzioni a due variabili; formula di riduzione su rettangoli; integrali a variabili separate; integrale di funzioni limitate su regioni limitate; definizione di insieme (limitato) misurabile secondo Peano-Jordan; esempio di insieme (limitato) non misurabile secondo Peano-Jordan; caratterizzazione degli insiemi di misura nulla tramite coperture con rettangoli (dim.); caratterizzazione degli insiemi misurabili come insiemi a frontiera a misura nulla; esempi di insiemi a misura nulla (dim.) (insiemi finiti di punti, segmenti, unione finita di insiemi a misura nulla, sottoinsiemi misurabili di insiemi a misura nulla); misura nulla del grafico di una funzione limitata integrabile su un intervallo (dim.); nozione di curva regolare e misura nulla del suo sostegno; insiemi semplici (o normali) e loro misurabilità (dim.); funzioni generalmente continue su un rettangolo e loro integrabilità; integrabilità delle funzioni con un insieme di punti di discontinuità di misura nulla su un dominio misurabile (dim.); formula di calcolo dell'integrale su un dominio semplice (o normale) (dim.); principali proprietà dell'integrale (linearità, integrale del prodotti di integrabili, monotonia, teorema della media); principali proprietà degli insiemi misurabili; integrabilità su un sottodominio misurabile; additività dell'integrale rispetto ai domini nel caso di integrabilità sui sottodomini (dim.); additività dell'integrale rispetto ai domini nel caso di sottodomini misurabili (dim.); integrabilità su insiemi di misura nulla (dim.); integrabilità di una funzione che differisce da una funzione integrabile solo in un insieme di misura nulla (dim.); teorema del cambiamento delle variabili di integrazione con esempi di applicazione; coordinate polari e loro applicazione nel calcolo dell'integrale; simmetrie ed integrale e relazione tra il loro impiego e la formula del cambiamento di variabili; la formula di integrazione per sostituzione in R come caso particolare del teorema di cambio di variabili; significato del fattore valore assoluto dello jacobiano nella formula del cambiamento di variabili (cenni); l'uso dell'integrale per il calcolo di aree di figure piane.

    Gli argomenti e le dimostrazioni sono stati svolti in R^2, dando qualche indicazione su come definizioni e risultati si generalizzino in R^n.

    Si faccia in generale riferimento al testo Analisi Matematica 2 - Capitolo 5 - Sezioni da 1.1 a 1.6 e alle slide fornite.