Topic outline

  • General

  • Informazioni sul corso

    Docente: Prof. Daniele Zuddas

    Il corso di Geometria 3 - Topologia si articola in 24 lezioni da due ore ciascuna, per 6 crediti.

    Orario delle lezioni

    Lunedì ore 11-13 in Aula 5A - Edificio H2bis

    Martedì ore 10-12 in Aula 5C - Edificio H2bis

    Ricevimento studenti
    Giovedì 16:15-17:15
    Venerdì 14:30-15:30
    Si prega di avvisare in anticipo tramite email della partecipazione al ricevimento studenti.

    Tutorato
    Tutor: Dott. Gabriele Nani
    Orario del tutorato
    Mercoledì ore 14-16 in Aula 5C - Edificio H2bis

  • Libri di testo

    Testo di riferimento

    • C. Kosniowski, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009.


    Testi consigliati

    • J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
    • E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2019.
    • I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1967.

  • Esami

    Gli esami di Topologia e di Curve e superfici si tengono nelle stesse date.

  • Programma del corso

  • Note del corso

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      Spazi topologici e basi di aperti

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      Intorni e basi di intorni. Operatori topologici: interno, chiusura, frontiera.

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      Sottospazi topologici. Spazi metrici, spazi metrizzabili, spazi Euclidei, bocce e sfere.

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      Applicazioni continue, omeomorfismi, proprietà topologiche, continuità negli spazi metrici.

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      Chiusura e frontiera negli spazi metrici. Spazi vettoriali normati. Distanze e norme equivalenti. Cenni sulla p-norma in dimensione finita.

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      Assiomi di separazione T1 e T2. Proprietà topologiche ereditarie. Immersioni, immersioni locali e omeomorfismi locali.

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      Assiomi di separazione T3 e T4, basi di intorni chiusi, metrizzabile implica T4.

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      Assiomi di numerabilità, sottoinsiemi densi,spazi separabili, cenni sulle successioni.

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      Spazi compatti, compattezza di [0, 1], compattezza di immagini continue di compatti.

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      Proprietà degli spazi compatti: compatti in spazi di Hausdorff, omeomorfismo da compatto ad Hausdorff, spazi localmente compatti, proprietà di separazione nei compatti di Hausdorff.

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      Unioni topologiche, prodotti topologici finiti, metrizzabilità, tori.

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      Compattezza dei prodotti finiti di compatti, Teorema di Heine-Borel, compattezza dei sottospazi di Rn, cenni sulla compattezza per successioni, piano di Sorgenfrey.

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      Cenni sui prodotti topologici arbitrari, teorema di Tychonoff (senza dimostrazione). Proiezione stereografica. Applicazioni proprie.

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      Compattificazione di Alexandrov.

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      Spazio quoziente, retta con due origini. Spazi proiettivi reali e complessi, metrizzabilità.

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      Incollamenti topologici. Spazi proiettivi: carte affini, retta proiettiva reale e complessa. Quozienti del quadrato: anello, toro, striscia di Möbius, bottiglia di Klein.

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      Spazi connessi, componenti connesse. Cammini e cappi continui, concatenazione di cammini, cammino inverso.

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      Spazi connessi per archi, sottospazi convessi di Rn, componenti connesse per archi, spazi localmente connessi per archi, aperti di Rn e di R. Esempio di spazio connesso ma non connesso per archi.

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      Omotopie di applicazioni, equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti, spazi contraibili, retrazioni e retrazioni per deformazione.

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      Rivestimenti. Lemma del numero di Lebesgue.

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      Omotopie di cammini e di cappi. Teoremi di sollevamento dei cammini e delle omotopie.

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      Gruppo fondamentale, omomorfismo indotto, funtorialità, invarianza topologica, invarianza omotopica.

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      Dipendenza dal punto base del gruppo fondamentale. Invarianza per deformazioni. Spazi semplicemente connessi. Rivestimento universale (solo definizione). Funzione di sollevamento rispetto ad un rivestimento. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema di non retrazione. Teorema del punto fisso di Brouwer e applicazione agli zeri di polinomi complessi.

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      Gruppo fondamentale della sfera. Invarianza topologica della dimensione. Gruppi fondamentali degli spazi proiettivi reali e complessi. Teorema di Borsuk-Ulam.

  • Esercizi

  • Temi d'esame assegnati in precedenza

    Quest'anno non abbiamo fatto il gruppo fondamentale di uno spazio prodotto, quindi gli esercizi di questo tipo non saranno oggetto d'esame.