Topic outline
Informazioni sul corso
Docente: Prof. Daniele Zuddas
Il corso di Geometria 3 - Topologia si articola in 24 lezioni da due ore ciascuna, per 6 crediti.
Orario delle lezioni
Lunedì ore 11-13 in Aula 5A - Edificio H2bis
Martedì ore 10-12 in Aula 5C - Edificio H2bis
Ricevimento studenti
Si prega di avvisare in anticipo tramite email della partecipazione al ricevimento studenti.Giovedì 16:15-17:15Venerdì 14:30-15:30Tutorato
Tutor: Dott. Gabriele Nani
Orario del tutoratoMercoledì ore 14-16 in Aula 5C - Edificio H2bisLibri di testo
Testo di riferimento
- C. Kosniowski, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009.
Testi consigliati
- J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
- E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2019.
- I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1967.
Esami
Gli esami di Topologia e di Curve e superfici si tengono nelle stesse date.
Scritto: 23 gennaio ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 25 gennaio dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Scritto: 13 febbraio ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 15 febbraio dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Scritto: 10 giugno ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 13 giugno dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Scritto: 20 giugno ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 27 giugno dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Scritto: 9 luglio ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 11 luglio dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Scritto: 3 settembre ore 9:00 - 12:00, Aula Morin.
Orale: 6 settembre dalle 9:00, Aula 5A - Ed. H2bis.
Note del corso
Spazi topologici e basi di aperti
Intorni e basi di intorni. Operatori topologici: interno, chiusura, frontiera.
Sottospazi topologici. Spazi metrici, spazi metrizzabili, spazi Euclidei, bocce e sfere.
Applicazioni continue, omeomorfismi, proprietà topologiche, continuità negli spazi metrici.
Chiusura e frontiera negli spazi metrici. Spazi vettoriali normati. Distanze e norme equivalenti. Cenni sulla p-norma in dimensione finita.
Assiomi di separazione T1 e T2. Proprietà topologiche ereditarie. Immersioni, immersioni locali e omeomorfismi locali.
Assiomi di separazione T3 e T4, basi di intorni chiusi, metrizzabile implica T4.
Assiomi di numerabilità, sottoinsiemi densi,spazi separabili, cenni sulle successioni.
Spazi compatti, compattezza di [0, 1], compattezza di immagini continue di compatti.
Proprietà degli spazi compatti: compatti in spazi di Hausdorff, omeomorfismo da compatto ad Hausdorff, spazi localmente compatti, proprietà di separazione nei compatti di Hausdorff.
Unioni topologiche, prodotti topologici finiti, metrizzabilità, tori.
Compattezza dei prodotti finiti di compatti, Teorema di Heine-Borel, compattezza dei sottospazi di Rn, cenni sulla compattezza per successioni, piano di Sorgenfrey.
Cenni sui prodotti topologici arbitrari, teorema di Tychonoff (senza dimostrazione). Proiezione stereografica. Applicazioni proprie.
Compattificazione di Alexandrov.
Spazio quoziente, retta con due origini. Spazi proiettivi reali e complessi, metrizzabilità.
Incollamenti topologici. Spazi proiettivi: carte affini, retta proiettiva reale e complessa. Quozienti del quadrato: anello, toro, striscia di Möbius, bottiglia di Klein.
Spazi connessi, componenti connesse. Cammini e cappi continui, concatenazione di cammini, cammino inverso.
Spazi connessi per archi, sottospazi convessi di Rn, componenti connesse per archi, spazi localmente connessi per archi, aperti di Rn e di R. Esempio di spazio connesso ma non connesso per archi.
Omotopie di applicazioni, equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti, spazi contraibili, retrazioni e retrazioni per deformazione.
Rivestimenti. Lemma del numero di Lebesgue.
Omotopie di cammini e di cappi. Teoremi di sollevamento dei cammini e delle omotopie.
Esercizi