227SM - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE A 2023
Schema della sezione
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Richiami di insiemistica di base: intersezione, unione e partizione.
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Elementi di Logica proposizionale. Insieme complementare. Prodotto cartesiano di insiemi. Relazioni e relazioni di equivalenza. Funzioni. Iniettività e Suriettività di funzioni.
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Corrispondenza biunivoca, invertibilità e composizione di funzioni. Insiemi numerici>: numeri naturali e interi, operazioni di somma, moltiplicazione e potenza.
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Frazioni e Numeri razionali. Numeri irrazionali. Numeri reali e assioma di completezza. Principio di Induzione.
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Introduzione alla Statistica Descrittiva: Range, moda, media, mediana e varianza. Piano cartesiano, coordinate e distanza nel piano. Primi luoghi geometrici: circonferenza ed ellisse.
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Equazione cartesiana di circonferenza e sfera.
Equazione cartesiana di retta nel piano e di piano nello spazio.
Coefficiente angolare e quota.
Posizione reciproca di rette nel piano (parallelismo e ortogonalità).
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Parabole nel piano cartesiano ed equazioni cartesiane di parabole ad asse verticale.
Radice quadrata. Funzioni pari e dispari.
Intersezione retta parabola e risoluzione di equazioni di secondo grado.
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Posizione reciproca di rette e coniche. Equazioni e disequazioni algebriche di secondo grado. Funzione valore assoluto, Intervalli reali.
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Numeri reali estesi. Estremi inferiori e superiori. Vettori e grandezze vettoriali. Rette nello spazio in forma parametrica e come intersezione di piani. Forma parametrica di piani nello spazio.
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Funzioni trigonometriche e loro proprietà. Coordinate polari e sferiche. Prodotto scalare e applicazioni.
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Esercizi File PDF
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Definizione di successioni e di sottosuccessioni di numeri reali.
Intorni. Nozione di limite di una successione. Unicità del limite
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Criterio del rapporto e di monotonia per l'esistenza di limiti di successioni.
Teorema della permanenza del segno.
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Limite della somma, prodotto, reciproco e rapporto di successioni di numeri reali,. Disuguaglianza di Bernoulli e prime applicazioni
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Limiti notevoli: comportamento asintotico di {a^n} e di {a^{1/n}}
Numero di Nepero come limite notevole. Funzioni esponenziali: definizione e proprietà. Funzioni logaritmo: definizioni e proprietà.
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Limiti notevoli di successioni. Criterio del rapporto e applicazioni. Confronto di infiniti. Progressioni aritmetiche e geometriche.
Cenni su serie numeriche.
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Punti di accumulazione. Definizione di limite di una funzione reale di variabile reale per via sequenziale e per intorni. Limite destro e limite sinistro. Proprietà dei limiti di funzioni. Continuità di funzioni reali di variabile reale
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Continuità delle funzioni trigonometriche, dell'esponenziale e del logaritmo: applicazioni (limite notevole) e conseguenze.
Teorema della Permanenza del Segno e Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione).
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Teorema di esistenza degli zeri e applicazioni. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. Asintoti obliqui.
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Teorema dei valori intermedi. Derivabilità e derivata di una funzione reale di variabile reale. Derivata della somma di funzioni derivabili e del prodotto di funzioni derivabili (Regola di Leibniz)
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Derivata della potenza, di funzioni polinomiali, della funzione seno e della funzione esponenziale. Regola della derivazione della composta, dell'inversa e della reciproca.
Derivata della funzione coseno, della funzione tangente, della funzione logaritmo e della funzione arcotangente.
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Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e conseguenze. Caratterizzazione di funzioni (derivabili) monotone e costanti con la derivata.
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Derivate di ordine superiore al primo. Concavità e convessità. Criterio analitico di concavità convessità. Punti di flesso. Regola di de L'Hospital e applicazioni.
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Ordine di infinitesimo (e di infinito). "O piccolo" di Landau. Polinomio di Taylor. Teorema di Taylor e approssimanti polinomiali. Cenni su serie di Taylor e di Fourier.
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Esercizi File PDF