Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Orario di lezione - Libri di testo - Programma del corso

    Codice di accesso al corso su TEAMS: g0icw6k 

    Inizio delle lezioni: lunedì 26 febbraio 2024
    Orario delle lezioni

    Lun  14.00 - 17.00:  Aula 4_A Edificio D

    Mar 11.00 - 14.00:  Aula 4_A Edificio D
    Gio  10.00 - 13.00: Aula 4_A Edificio D

    Nell’ambito del corso sono consigliati i seguenti libri di testo:

    Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa

    Analisi matematica 1 - 2015 - ISBN: 9788808151339 - Zanichelli


    Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa

    Analisi matematica 2 - 2016 - ISBN: 9788808637086 - Zanichelli


    Utili libri di esercizi sono i seguenti:

    Sandro Salsa,  Annamaria Squellati

    Esercizi di Analisi matematica – volume 1 - 2011 - ISBN: 9788808218940 - Zanichelli


    Sandro Salsa,  Annamaria Squellati

    Esercizi di Analisi matematica – volume 2 - 2011 - ISBN: 9788808218964 - Zanichelli



    • NB: nelle sezioni seguenti "dim." indica che è stata svolta anche la dimostrazione (di cui sono dunque richieste conoscenza e comprensione).

    • Programma del corso URL

  • Nozioni di topologia in R^n

    Argomenti svolti

    Prodotto scalare, norma e distanza in R^n, loro proprietà caratterizzanti e loro relazioni; palle e intorni in R^n; palle nelle norme 1, 2 e infinito; proprietà degli intorni in R^n (dim.); punto interno, esterno e di frontiera; parte interna, esterna e frontiera; caratterizzazione della frontiera tramite intorni (dim.); punto aderente e chiusura; punto di accumulazione e derivato; insiemi aperti e insiemi chiusi; unione e intersezione di insiemi aperti/chiusi (dim.); relazione tra parte interna, chiusura e complementarità (dim.); caratterizzazione dei chiusi tramite la loro chiusura (dim.); caratterizzazione di un insieme chiuso tramite frontiera e tramite derivato (dim.);  insiemi limitati; diametro di un insieme; teorema di Bolzano - Weierstrass; copertura di un insieme; definizione di insieme compatto tramite copertura; teorema di Heine - Borel; insiemi separati; definizione di insieme connesso tramite insiemi separati; retta e segmento congiungenti due elementi in R^n; connessione per segmenti (poligonali) e relazione con la connessione definita tramite insiemi separati; insieme convesso e sua relazione con la connessione.

    Per questi argomenti si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 1 - Capitolo 3 - Sezioni 1.2, 1.4, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5 e alle slide fornite.

    • Topologia in R^n - Slide usate nel corso File PDF
      Caricato il 25/02/2024 17:59

    • Per saperne di più sulle norme in R^2

    • Un documento sulle norme in R^2 URL

      Il documento introduce le principali norme in R^2 e le illustra anche con delle immagini (di Gianluca Gorni - Università di Udine).

  • Successioni in R

    Argomenti svolti

    Definizione di successione; definizione di proprietà valida definitivamente; limite di una successione; successioni convergenti, divergenti e indeterminate (o irregolari); successione geometrica (dim.), unicità del limite; operazioni algebriche e successioni; permanenza del segno; confronto di successioni; teorema del sandwich; successioni limitate; limite del prodotto di successione infinitesima con successione limitata; limitatezza di successioni convergenti (dim.); successioni monotone e loro limite; criterio del rapporto e criterio della radice per successioni (dim.); equivalenza tra la definizione tramite successioni del limite di funzioni e la definizione topologica; equivalenza tra la definizione tramite successioni della continuità di funzioni e la definizione topologica; esempio di successione definita per ricorrenza (induzione) e tecniche di risoluzione, sottosuccessioni; limite di una sottosuccessione di una successione convergente o divergente (dim.); esistenza di una sottosuccessione monotona (dim.); esistenza di una sottosuccessione convergente di una successione limitata (dim.); successioni di Cauchy; limitatezza delle successioni di Cauchy (dim.); equivalenza per una successione tra essere di Cauchy e convergenza (dim.).


    Per questi argomenti si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 1 - Capitolo 4 - Sezioni 3.1, 3.3, 3.4, 3.5 e alle slide fornite.


    • Successione in R - Slide usate nel corso File PDF
      Caricato il 25/02/2024 17:59

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    • Per saperne di più sulle successioni

    • Successioni e serie numeriche URL

      Il pdf contiene del materiale su successioni e serie numeriche reperibile presso l'Università di Pisa (di Paolo Acquistapace)

      .

    • Alcuni esercizi svolti sul calcolo di limiti di successioni File PDF
    • Alcuni esercizi svolti sulle successioni definite per ricorrenza URL

      Il pdf contiene alcuni esercizi svolti su successioni definite per ricorrenza. Si tratta di materiale integrativo del corso di Matematica per le scienze naturali ed applicate (Paolo Baiti, Lorenzo Freddi) - Università di Udine, disponibile in Internet.

  • Serie numeriche

    Argomenti svolti

    Definizione di serie; somme parziali e limite di una serie; serie convergenti, divergenti, indeterminate (irregolari); resto n-esimo e sua relazione con la somma di una serie; serie geometrica e suo carattere (dim.); serie di Mengoli e sua convergenza (dim.); condizione necessaria per la convergenza di una serie (successione dei termini infinitesima); serie (criterio) di Cauchy e sua equivalenza con la convergenza (dim.); serie a termini non negativi e loro convergenza/divergenza (dim.); criterio del confronto tra serie a termini non negativi (dim.); criterio del confronto asintotico (dim.);  criterio della radice (dim.) e suo corollario (dim.); criterio del rapporto e suo corollario (dim.); criterio di condensazione; serie armonica generalizzata e sua convergenza (dim.);  operazioni algebriche tra serie; equivalenza tra successioni e serie (dim.); convergenza assoluta di una serie; teorema sulla convergenza assoluta e la conseguente convergenza semplice (dim.); serie a segno alternato; criterio di Leibniz per serie a segno alternato; riordinamento di una serie; teorema di Dirichlet sul riordinamento di una serie assolutamente convergente; teorema di Riemann sul riordinamento di una serie semplicemente e non assolutamente convergente; proprietà associativa per serie.

    Si faccia in generale riferimento al Libro Analisi Matematica 1 - Capitolo 8 - Sezioni da 2.1 a 2.5 e alle slide fornite.

    • Serie in R - Slide usate a lezione File PDF
      Caricato il 25/02/2024 17:59

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    • Per saperne di più sulle serie

    • Materiale su successioni e serie URL

      Il pdf contiene del materiale su successioni e serie numeriche reperibile presso l'Università di Pisa (di Paolo Acquistapace)

    • Alcuni esercizi svolti sulle serie numeriche URL

      Si tratta di un pdf contenente esercizi svolti sulle serie numeriche disponibili presso il Politecnico di Torino.

    • Serie numeriche e integrali impropri File PDF

      A pagina 16 del documento si trova il teorema del confronto integrale, che illustra una relazione tra integrali impropri e serie numeriche. (Gli autori del testo sono indicati nelle prime due pagine del documento.)

  • Successioni in R^n

    Argomenti svolti

    Definizione di successione in R^n e legame con successioni in R; limitatezza delle successioni in R^n (dim.); caratterizzazione delle nozioni di derivato, chiusura e insieme chiuso in R^n con successioni (tutte con dim.); compattezza sequenziale e sua equivalenza con la compattezza in R^n (dim.); successioni di Cauchy in R^n e equivalenza con la convergenza; definizione di distanza e spazio metrico; definizione di spazio metrico completo; non completezza di Q (dim.).

    Fare riferimento in generale al libro Analisi Matematica 1 di Pagani - Salsa capitolo 4 sezioni 4.2 e 4.3 e alle slide fornite.

  • Limiti e continuità per funzioni R^n --> R^m

    Argomenti svolti

    Definizioni di limite con intorni e con norme; validità dei principali teoremi già noti per funzioni R --> R; connessione tra limiti di funzioni con codominio R e limiti di funzioni con codominio R^m; esempi di calcolo di limite e di dimostrazione di non esistenza di limite, in particolare utilizzando restrizioni; definizioni di continuità; validità dei principali teoremi già noti per funzioni R --> R; legame tra continuità di funzioni con codominio R^m e con codominio R; caratterizzazione della continuità tramite successioni; topologia indotta e definizione di intorni, aperti e chiusi; caratterizzazione di aperti nella topologia indotta tramite intorni (dim.); caratterizzazione della continuità tramite controimmagini di aperti (dim.) e di chiusi con esempi; funzioni continue e compattezza (dim.); Teorema di Weierstrass (dim.); definizione di funzione additiva, omogenea e lineare; continuità delle funzioni lineari (dim.); proiezioni e loro continuità (dim.); definizione di funzione lineare affine; esempi di verifica della continuità; relazione tra limite e limiti di un numero finito di restrizioni (dim.); definizione di uniforme continuità e sua relazione con la continuità; esempi di funzioni uniformemente continue e non uniformemente continue; teorema di Cantor-Heine (dim.); caratterizzazione degli insiemi connessi tramite aperti-chiusi; funzioni continue e connessione (dim.); teorema degli zeri (dim.); applicazione del teorema degli zeri alla rappresentazione del dominio di funzioni in due variabili; vari esercizi in particolare sulla dimostrazione della continuità di funzioni.

    Si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 1 - capitolo 5 - sezione 2 e alle slide fornite.

    Una dimostrazione della caratterizzazione delle funzioni continue tramite le controimmagini degli insiemi aperti (o chiusi) si può anche trovare al link indicato in seguito, ma non contempla la topologia indotta, come nel testo di Analisi Matematica 1. Può essere tuttavia utile per comprendere la modalità di svolgimento della dimostrazione.


  • Calcolo differenziale per funzioni a più variabili

    Argomenti svolti

    Definizione di derivata direzionale e di derivata parziale; definizione di gradiente; caratterizzazione alternativa della definizione di derivata in R; differenziale; necessità di continuità e delle derivate direzionali per la differenziabilità (dim.); formula del gradiente per funzioni differenziabili (dim.); gradiente come direzione di massima/minima cresciata (dim.); equazione del piano in R^3 e interpretazione dei suoi parametri come vettore ortogonale al piano; equazione parametrica della retta in R^3 e coefficienti direttori; rappresentazione di una retta come intersezione di due piani in R^3; equazione del piano tangente in punto del grafico di una funzione differenziabile; vari esempi di calcolo di derivate parziali e direzionali, del differenziale e del piano tangente; teorema del differenziale totale (dim. caso n=2); impiego del teorema del differenziale totale nel calcolo del differenziale e delle derivate direzionali con la regola del gradiente con esempi; differenziale di una combinazione lineare di funzioni differenziabili; derivate direzionali e parziali di ordine superiore; Teorema di Schwarz; generalizzazione del teorema di Schwarz a derivate di ordine superiore; definizione di differenziale secondo e di matrice hessiana; differenziale di ordine superiore a 2 (cenni); definizione di insieme C^k(E) (insieme delle funzioni definite su E con derivate parziali continue fino all'ordine k); conseguenze del teorema di Schwarz per le funzioni in C^k(E); teorema del valor medio per funzioni R^n --> R (dim.); interpretazione geometrica del teorema del valor medio e del teorema di derivazione della funzione composta; formula di Taylor per funzioni R^n --> R fino all'ordine 2 con resti di Lagrange (dim.) e di Peano (dim.); definizione di punto di massimo e minimo assoluto e relativo per una funzione R^n --> R; teorema di Fermat (condizione necessaria per punto di minimo/massimo relativa alla derivata direzionale) (dim.); analisi dei punti di massimo e minimo di una funzione tramite studio del segno e restrizioni; definizione di differenziabilità per funzioni R^n --> R^m; relazione tra la differenziabilità di funzioni R^n --> R^m e la differenziabilità delle funzioni componenti (dim.) e conseguenze per la validità di teoremi validi per funzioni R^n --> R; equazioni parametriche di una curva nel piano e di una superficie nello spazio e significato geometrico del vettore tangente (cenni); definizione di matrice jacobiana;  teorema del differenziale della funzione composta per funzioni R^n --> R --> R e R --> R^n --> R, teorema del differenziale della funzione composta per funzioni da R^n --> R^m; teorema della funzione implicita (del Dini) per funzioni R^2 --> R; teorema della funzione implicita per funzioni da R^n --> R e da R^(n+m) --> R^m; applicazioni del teorema della funzione implicita allo studio locale di una curva nel piano (retta tangente, grafico della funzione implicita) e di una superficie nello spazio (piano tangente), nel calcolo di limiti e nello sviluppo secondo la formula di Taylor.

    Si faccia in generale riferimento al libro di Analisi 1 - Capitolo 7 Sezioni da 1.1 a 1.4, Sezioni 2.1 e 2.2, Sezioni 3.1 e 3.2 (alcuni argomenti si trovano nelle Sezioni 3.3 e 3.5) e alle slide fornite.

    Per saperne qualcosa di più su rette e piani nello spazio si veda il link che segue.

  • Integrale di Riemann in R^n

    Argomenti svolti

    Definizione di integrale di una funzione limitata su un rettangolo secondo Riemann come valore comune tra estremo inferiore delle somme superiori e ed estremo superiore delle somme inferiori; integrale delle funzioni costanti (dim.); esempio di funzione non integrabile (funzione di Dirichlet su [0,1]x[0,1]) (dim.); interpretazione dell'integrale come volume di un cilindroide; caratterizzazione dell'integrabilità tramite differenza tra somme superiori e somme inferiori; integrabilità delle funzioni continue su rettangoli (dim.); caratterizzazione dell'integrale con le somme di Riemann; equivalenza di integrabilità per funzioni a una variabile viste come funzioni a due variabili; formula di riduzione su rettangoli; integrali a variabili separate; generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale all'integrale in più variabili (caso n=2) (dim. della parte sull'espressione dell'integrale di una derivata seconda mista di una funzione definita su un rettangolo tramite i valori della funzione stessa nei vertici del rettangolo); integrale di funzioni limitate su regioni limitate; definizione di insieme (limitato) misurabile secondo Peano-Jordan; esempio di insieme (limitato) non misurabile secondo Peano-Jordan; caratterizzazione degli insiemi di misura nulla tramite coperture con rettangoli (dim.); caratterizzazione degli insiemi misurabili come insiemi a frontiera a misura nulla; esempi di insiemi a misura nulla (dim.) (insiemi finiti di punti, segmenti, unione finita di insiemi a misura nulla, sottoinsiemi misurabili di insiemi a misura nulla); misura nulla del grafico di una funzione limitata integrabile su un intervallo (dim.); nozione di curva regolare e misura nulla del suo sostegno; insiemi semplici (o normali) e loro misurabilità (dim.); funzioni generalmente continue su un rettangolo e loro integrabilità; integrabilità delle funzioni con un insieme di punti di discontinuità di misura nulla su un dominio misurabile (dim.); formula di calcolo dell'integrale su un dominio semplice (o normale) (dim.); principali proprietà dell'integrale (linearità, integrale del prodotti di integrabili, monotonia, teorema della media); principali proprietà degli insiemi misurabili; integrabilità su un sottodominio misurabile; additività dell'integrale rispetto ai domini nel caso di integrabilità sui sottodomini (dim.); additività dell'integrale rispetto ai domini nel caso di sottodomini misurabili (dim.); integrabilità su insiemi di misura nulla (dim.); integrabilità di una funzione che differisce da una funzione integrabile solo in un insieme di misura nulla (dim.); teorema del cambiamento delle variabili di integrazione con esempi di applicazione; coordinate polari e loro applicazione nel calcolo dell'integrale; simmetrie ed integrale e relazione tra il loro impiego e la formula del cambiamento di variabili; la formula di integrazione per sostituzione in R come caso particolare del teorema di cambio di variabili; significato del fattore valore assoluto dello jacobiano nella formula del cambiamento di variabili (cenni); l'uso dell'integrale per il calcolo di aree di figure piane.

    Gli argomenti e le dimostrazioni sono stati svolti in R^2, dando qualche indicazione su come definizioni e risultati si generalizzino in R^n.

    Si faccia in generale riferimento al testo Analisi Matematica 2 - Capitolo 5 - Sezioni da 1.1 a 1.6 e alle slide fornite.



  • Successioni di funzioni

    Argomenti svolti

    Spazio metrico - definizione ed esempi; metrica lagrangiana; palle e intorni in uno spazio metrico; successioni in uno spazio metrico; limiti in uno spazio metrico;success spazi di funzioni continue e di funzioni limitate; convergenza puntuale e convergenza uniforme di successioni di funzioni; criterio di Cauchy per la convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni; equivalenza tra convergenza e criterio di Cauchy per la convergenza puntuale e uniforme (dim.); teorema di limitatezza della funzione limite uniforme di una successione di funzioni limitate (dim.); teorema di scambio dei limiti (dim.); teorema di continuità della funzione limite uniforme di una successione di funzioni continue (dim.);  teorema di scambio limite - integrale (dim.);  teorema di scambio limite - derivata; teorema di scambio limite - derivata nel caso in cui la successione di funzioni converga uniformemente e le funzioni della successione siano di classe C^1 (dim.);completezza degli spazi delle funzioni limitate, delle funzioni continue e limitate e delle funzioni continue definite in un intervallo chiuso e limitato nella metrica lagrangiana (dim.).


    Si faccia in generale riferimento al testo Analisi Matematica 2 - Capitolo 3 - Sezioni da 1.1 a 1.3.



  • Serie di funzioni e di potenze

    Argomenti in via di svolgimento

    Definizione di serie di funzioni (a valori reali); convergenza puntuale ed uniforme; criterio di Cauchy per la convergenza puntuale e per la convergenza uniforme (dim.) ; criterio di convergenza di Weierstrass (dim.); convergenza totale; criterio della convergenza totale (dim.);  teorema di scambio limite - somma; teorema della convergenza uniforme di serie di funzioni continue a una funzione continua (dim.); teormea di scambio derivata - somma e suo estensione alle funzioni di classe C^k; teorema di scambio integrale - somma; definizione di serie di potenze (a valori reali); convergenza assoluta di una serie di potenze data la convergenza in un punto (dim.); definizione di insieme di convergenza e di raggio di convergenza; criterio della radice (dim.); criterio del rapporto; teorema sulla forma dell'insieme di convergenza di una serie di potenze (dim.);teorema di Abel; serie delle derivate di una serie di potenze e sua convergenza (dim.); teorema sulla infinità derivabilità delle serie di potenze; relazione tra i coefficienti della serie di potenze e le derivate della somma della serie; serie di Taylor; funzioni analitiche; criteri sufficienti perché una funzione sia sviluppabile in serie di Taylor; la serie esponenziale e sua convergenza (dim.); serie circolari (seno e coseno); serie geometrica e sua convergenza (dim.); la serie di potenze dell'arcotangente, di 1/(1+x^), di log(1-x) e di log((1+x)/(1-x)) ottenute dalla serie geometrica (dim.); la serie binomiale e la sua convergenza (dim.); la serie di (1-x^2)^(-1/2) e dell'arcoseno ottenute dalla serie binomiale.


    Fare in generale riferimento al volume Analisi Matematica 2 - Capitolo 3 - Sezioni dalla 2.1 alla 2.3. Si faccia attenzione al fatto che nel volume alcuni risultati sono illustrati per serie con valori nell'insieme dei numeri complessi. Tali risultati possono essere immediatamente adattati al caso di serie con valori nell'insieme dei numeri reali, come nel nostro caso, e le dimostrazioni rimangono praticamente identiche.

  • Integrale di (Riemann-)Stieltjes

    Argomenti svolti

    Definizione di integrale di (Riemann-)Stieltjes; caratterizzazione dell'integrale tramite differenza tra somma superiore e somma inferiore; teorema sull'integrabilità delle funzioni continue (dim.); teorema sull'integrabilità delle funzioni monotone rispetto ad una funzione integratrice continua (dim.); principali proprietà dell'integrale di (Riemann-)Stieltjes (linearità rispetto alla funzione integranda ed alla funzione integratrice, additività rispetto all'intervallo di integrazione, monotonia, integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile); integrale delle funzioni a scala (dim.); teorema sulla riduzione dell'integrale di (Riemann-)Stieltjes ad un integrale di Riemann.


    Fare riferimento in generale al volume Analisi Matematica 1 - capitolo 8 - Sezione 3.4.

  • Esercizi

    Alcuni esercizi su argomenti svolti nel corso.

  • Ottimizzazione di funzioni in più variabili

    Argomenti svolti

    Generalità sull'ottimizzazione. Estremi liberi. Condizioni necessarie. Forme quadratiche. Condizioni sufficienti per estremi liberi. Estremi vincolati. Vincoli di uguaglianza. Funzioni di due variabili. Il caso generale: funzioni di n variabili con m vincoli (m<n). Condizioni sufficienti. Vincoli di disuguaglianza. Generalità sui problemi di programmazione. Il teorema di Karush-Kuhn-Tucker. Condizioni sufficienti.

    Per questi argomenti si faccia in generale riferimento al libro di Analisi Matematica 2 - Capitolo 2.

    In particolare (facendo riferimento al libro di testo consigliato): Esempio 1.1, Esempio 1.2, Definizione 1.1, Teorema 1.1, Corollario 1.2, Esempio 1.5, Proposizione 1.3 (con dimostrazione), Esempio 1.7, Definizione 1.2, Proposizione 1.4, Teorema 1.5, Esempio 1.8, Teorema 1.6, Esempio 1.9, Teorema 1.7, Esempio 1.10, Proposizione 1.8 (no dimostrazione), Teorema 1.9 (con dimostrazione), Osservazione 1.1, Proposizione 1.10, Osservazione 1.2, Esempio 1.11, Esempio 2.1, Definizione 2.1, Teorema 2.1, Teorema 2.2, Osservazione 2.1, Esempio 2.2, Definizione 2.2, Teorema 2.4, Osservazione 2.2, Osservazione 2.3, Esempio 2.3, Teorema 2.5, Lemma 2.6, Esempio 2.5, Esempio 3.2, Lemma 3.4 (no dimostrazione), Lemma 3.5 (no dimostrazione), Teorema 3.6, Osservazione 3.1, Esempio 3.4, Osservazione 3.2, Osservazione 3.3, Teorema 3.9, Esempio 3.5.