Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni sul corso

    Docente: Prof. Daniele Zuddas

    Il corso di Geometria 3 - Topologia si articola in 24 lezioni da due ore ciascuna, per 6 crediti.

    Orario delle lezioni

    Giovedì 09:00-11:00 Aula 5A - Edificio H2bis
    Venerdì 14:00-16:00 Aula 5B - Edificio H2bis

    Il corso inizia giovedì 25 settembre 2025

    Ricevimento studenti

    Il ricevimento si tiene nel mio ufficio al secondo piano dell'Edificio H2bis.

    Si prega di prendere preventivamente appuntamento tramite email.

    Mercoledì 14:00-15:00
    Giovedì 14:00-15:00

    Tutorato

    Tutor: Dott.ssa Giuditta Rovelli
    Orario del tutorato

    Esame

    L'esame consiste di una prova scritta di 3 ore dove verranno proposti alcuni esercizi ed enunciati da dimostrare, e di una prova orale dove si potrà presentare un argomento a piacere (un teorema con dimostrazione), e saranno fatte domande sul programma svolto.

    Studenti di Matematica. Il voto finale sarà verbalizzato dopo il superamento di entrambi i moduli (Topologia e Curve e superfici), e sarà calcolato come media aritmetica (arrotondata per eccesso) dei voti dei due moduli. Il 30 e lode vale 31.

    Studenti di Fisica. Sarà verbalizzato il voto di Topologia.

  • Libri di testo

    Testo di riferimento

    • C. Kosniowski, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009.

     

    Testi consigliati

    • J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.
    • E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2019.
    • I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1967.
    • L. A. Steen e J. A. Seebach, Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, 1978.

     

    Controesempi in Topologia Online

  • Appelli di Topologia

  • Programma del corso

  • Note del corso

    • Lezione 1 File PDF

      Spazi topologici e basi di aperti. Esempi: spazi banali, discreti e cofiniti. Topologia Euclidea e topologia di Sorgenfrey su R.

    • Lezione 2 File PDF

      Intorni e basi di intorni. Sottospazi topologici. Operatori topologici: interno, esterno, chiusura, frontiera.

    • Lezione 3 File PDF

      Spazi metrici, spazi metrizzabili, spazi Euclidei, bocce e sfere.

    • Lezione 4 File PDF

      Applicazioni continue, omeomorfismi, proprietà topologiche, continuità negli spazi metrici. Chiusura e frontiera negli spazi metrici.

    • Lezione 5 File PDF

      Spazi vettoriali normati. Distanze e norme equivalenti. Cenni sulla p-norma in dimensione finita.

      Immersioni, immersioni locali e omeomorfismi locali.

    • Lezione 6 File PDF

      Operazioni topologiche: unioni, prodotti finiti, prodotti arbitrari.

    • Lezione 7 File PDF

      Relazioni di equivalenza, topologia quoziente, spazio quoziente. Spazi proiettivi reali e complessi come spazi topologici. Proiettività come omeomorfismi.

    • Lezione 8 File PDF

      Assiomi di separazione T1 e T2 (spazi di Hausdorff). Proprietà topologiche ereditarie.

    • Lezione 9 File PDF

      Assiomi di separazione T3 e T4.

    • Lezione 10 File PDF

      Assiomi di numerabilità: spazi topologici I-numerabili, II-numerabili e separabili.

    • Lezione 11 File PDF

      Spazi topologici compatti (compattezza per ricoprimenti).

    • Lezione 12 File PDF

      Compattezza di [0, 1]. Proprietà degli spazi compatti. Spazi localmente compatti.

    • Lezione 13 File PDF

      Compattezza dei prodotti di spazi compatti, teorema di Tychonoff (dimostrazione solo per prodotti finiti). Relazione d'equivalenza indotta da un'applicazione. Compattezza e metrizzabilità degli spazi proiettivi reali e complessi.

    • Lezione 14 File PDF

      Incollamenti topologici, unione puntata, bouquet di circonferenze. Immersione del toro in R3.

      Quozienti del quadrato: anello, toro, striscia di Möbius, bottiglia di Klein.

      Alcuni omeomorfismi di Rn. Piano di Sorgenfrey.

    • Lezione 15 File PDF

      Proiezione stereografica. Compattificazione di Alexandrov. Applicazioni proprie.

    • Lezione 16 File PDF

      Spazi proiettivi: carte affini, topologia della retta proiettiva reale e complessa.

      Spazi connessi, componenti connesse.

    • Lezione 17 File PDF

      Cammini e cappi continui in spazi topologici, concatenazione di cammini e di cappi, cammino inverso.

      Spazi connessi per archi, componenti connesse per archi, sottoinsiemi convessi degli spazi Euclidei, connessione per archi di sfere e spazi proiettivi. Spazi localmente connessi per archi. Esempio di spazio connesso ma non connesso per archi.

    • Lezione 18 File PDF

      Componenti connesse degli aperti di Rn.

      Omotopia, omotopia relativa, equivalenze omotopiche, spazi contraibili, retrazioni, retrazioni per deformazione.

    • Lezione 19 File PDF

      Rivestimenti. Lemma del numero di Lebesgue.

    • Lezione 20 File PDF

      Teoremi di sollevamento di cammini e omotopie.

    • Lezione 21 File PDF

      Gruppo fondamentale. Funtarialità, invarianza omotopica.

    • Lezione 22 File PDF

      Dipendenza dal punto base: isomorfismo indotto da un cammino.

      Invarianza del gruppo fondamentale a meno di deformazioni forti e cenni sull'invarianza a meno di equivalenze omotopiche.

      Spazi semplicemente connessi e rivestimenti universali. Funzione di sollevamento. Gruppo fondamentale della circonferenza.

    • Lezione 23 File PDF

      Teorema di non retrazione, teorema del punto fisso di Brouwer, gruppi fondamentali degli spazi prodotto, gruppi fondamentali delle sfere e degli spazi proiettivi reali e complessi, invarianza topologica della dimensione.

    • Lezione 24 File PDF

      Teorema di Borsuk-Ulam. Esempi ed esercizi.

  • Esercizi

  • Soluzioni esercizi tutorato

  • Temi d'esame assegnati in precedenza