Schema della sezione

  • Introduzione

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  • Informazioni sul corso

    • Link al canale Teams. 

      Testi consigliati:

      • M. Schwartz, “Quantum Field Theory and the Standard Model”
      • M.E. Peskin and D.V. Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”


      Altre referenze utili:

      • P. Ramond, “Field Theory: A Modern Primer”
      • M. Srednicki, “Quantum Field Theory”
      • T. Banks, "Modern Quantum Field Theory"
      • M. Serone, “Notes on Quantum Field Theory” disponibili a questo link
      • D. Anselmi, "Renormalization" disponibile a questo link


      Programma:
      * Integrale sui cammini
      * Matrice S
      * Rinormalizzazione 

  • Modalità d'esame

    • L'esame è orale. 

      All'interno dei periodi di esame, la data è flessibile, potete scrivermi a ldipietro@units.it per concordare una data. Contattatemi almeno una settimana prima della data proposta. Contestualmente, sempre almeno una settimana prima dell'orale, dovrete farmi avere -inviandomeli in formato pdf- la vostra soluzione di tutti gli esercizi per casa che vi assegnerò durante il corso. Su Esse3 aprirò un appello con una data indicativa su cui poi registrerò tutti gli esami della sessione.

      La stuttura dell'esame sarà questa: inizieremo con delle domande sugli esercizi per casa, poi vi chiederò di parlarmi di un argomento a piacere, e poi farò una domanda io (può essere sia di teoria, o un esercizio da svolgere). Alla fine valuterò solo lo svolgimento dell'esame orale, ovvero non darò un voto agli esercizi per casa.

      Se avete dubbi non esitate a contattarmi al mio indirizzo email ldipietro@units.it o a chiedermi di persona.

  • Note

    • Disponibili a questo link.

  • Esercizi

  • Lezione 1

    • Introduzione al corso: che cos'è la teoria quantistica dei campi
    • Integrale sui cammini in meccanica quantistica: dalla formulazione canonica, alla formula per l'ampiezza di transizione tramite integrale sui cammini (referenza: Polchinski "String Theory", Vol. 1, App. A), in forma Hamiltoniana

  • Lezione 2

    • Dalla formula per l'ampiezza con l'azione in formalismo Hamiltoniano, alla formula con l'ampiezza in formalismo Lagrangiano
    • Formula per la funzione di correlazione T-ordinata di operatori di Heisemberg dall'integrale sui cammini
    • Generalizzazione: dalla particella sulla retta alla particella su R^D
    • Generalizzazione a campo scalare

  • Lezione 3

    • Formula per funzioni di correlazione dall'integrale sui cammini per teoria di campo scalare
    • Caso speciale: teorie di campo libere 
    • Integrali gaussiani: analogo delle funzioni di correlazione per integrali gaussiani ordinari, derivazione del teorema di Wick
    • Analogo infinito-dimensionale della teoria di campo libero scalare: funzioni di correlazione espresse tramite l'inverso dell'operatore nell'azione quadratica
    • Derivazione del propagatore del campo scalare tramite trasformata di Fourier

  • Lezione 4

    • Teoria perturbativa: derivazione dell'espansione perturbativa dall'espansione dell'esponenziale dell'azione di interazione, esempio di lambda phi^4;
    • Diagrammi di Feynman per le funzioni di correlazione, esempi della due punti e della quattro punti in lambda phi^4, fattore di simmetria, cancellazione delle vacuum bubble;

  • Lezione 5

    • Regole di Feynman nello spazio delle posizioni, esempio di lambda phi^4;
    • Trasformata di Fourier delle funzioni di correlazione, Dirac delta di conservazione dei momenti, funzione di correlazione "stripped";
    • Esempio della funzione a quattro punti in lambda phi^4 in spazio delle posizioni, momento indeterminato a ordine lambda^2, concetto di loop;
    • Regole di Feynman nello spazio dei momenti, esempio di lambda phi^4;

  • Lezione 6

    • Funzioni di correlazione di operatori composti, sia in spazio delle posizioni e dei momenti, esempio di un operatore con derivata;
    • Teoria di uno scalare complesso: esempio di teoria con simmetria globale continua;
    • Conseguenza di una simmetria continua in teoria classica dei campi: teorema di Noether, esistenza di una corrente conservata;

  • Lezione 7

    • Conseguenza di una simmetria continua in teoria quantistica dei campi: identità di Ward-Takahashi;
    • Derivazione dalla identità di WT dell'equazione operatoriale sul commutatore della carica con un operatore composto;
    • Verifica dell'identità di WT nell'esempio di un correlatore della corrente nella teoria di uno scalare complesso;
    • Funzionali generatori delle funzioni di correlazione: il funzionale Z e il funzionale W = -log Z che genera le funzioni di correlazione connesse;

  • Lezione 8

    • Funzioni di corrrelazione 1PI, due punti 1PI e collegamento con la due punti connessa tramite somma della serie geometrica, esempi di funzioni 1PI a 3 e 4 punti;
    • Funzionale generatore delle funzioni di correlazione 1PI: relazione tramite trasformata di Legendre con funzionale generatore delle funzioni di correlazione connesse, azione effettiva 1PI come analogo quantistico dell'azione;
    • Generalità su campi in rappresentazioni nontriviali del gruppo di Lorentz;
    • Campi spinoriali, specializzazione a 4d, richiamo su SL(2,C) come doppio rivestimento di SO(1,3), spinori left e right;

  • Lezione 9

    • Azione per spinori chirali left e right, termine di massa;
    • Riorganizzazione di uno spinore left e uno spinore right in uno spinore di Dirac, matrici gamma e algebra di Clifford, azione per campo di Dirac;
    • Problema della quantizzazione con path integral: apparente incompatibilità con il teorema di spin e statistica, necessità di introdurre variabili anticommutanti;
    • Variabili di Grassman reali, funzioni di variabili di Grassman, derivata e integrale, integrale gaussiano e teorema di Wick, generalizzazione a variabili di Grassman complesse;
    • Applicazione all'integrale sui cammini per il campo di Dirac, equazione differenziale per il propagatore;
    • Propagatore del campo di Dirac, in spazio delle posizioni e dei momenti;

  • Lezione 10

    • Esempio di teoria interagente: teoria di Yukawa;
    • Regole di Feynman della teoria di Yukawa;
    • Esempio della funzione a quattro punti del fermione, segno meno sotto scambio delle zampe esterne;
    • Esempi di loop chiusi del fermione,  funzione a quattro punti e funzione a due punti a un loop del campo scalare, segno meno e traccia su indici spinoriali;
    • Calcolo esplicito della traccia nel caso della funzione a due punti, identità per tracce di matrici gamma;
    • Campo vettoriale, azione di Maxwell;
    • Problema: l'operatore nell'azione quadratica non è invertibile, individuazione della causa nell'invarianza di gauge dell'azione;

  • Lezione 11

    • Trasformazioni di gauge come ridondanza, necessità di restringere l'integrale sui cammini a classi di equivalenza sotto l'identificazione di gauge, considerando solo funzioni di correlazione di operatori gauge invariantii;
    • Metodo di Faddeev-Popov per eliminare la parte ridondante dell'integrale: funzionale di gauge-fixing e Dirac delta funzionale,
    • Scelta conveniente di R-xi gauge fixing, propagatore del campo di Maxwell con R-xi gauge fixing, caso particolare di Feynman e Landau gauge, significato del parametro xi e sua cancellazione da osservabili gauge invarianti;
    • Accoppiamento del campo di Maxwell a materia: accoppiamento minimale a una corrente conservata di una teoria con simmetria U(1), invarianza di gauge dell'azione totale;

  • Lezione 12

    • Esempio della QED e della QED scalare: definizione e proprietà della derivata covariante, scrittura dell'azione in termini di derivata covariante,  osservazione che l'azione risultante si può interpretare come il "gauging" della simmetria U(1), ridondanza sui campi di materia;
    • Regole di Feynman per la QED e la QED scalare;
    • Dalle funzioni di correlazione allo spettro: rappresentazione spettrale di Källen-Lehman;
    • Derivazione di KL partendo dalla funzione a due punti di Wightman con inserzione di un set completo di autostati di P, organizzazione in termini di iperboloidi a fissato valore del Casimir m^2, utilizzo dell'operatore unitario che implementa i boost di Lorentz per mappare tra loro stati all'interno di un iperboloide;
    • Misura spettrale;

  • Lezione 13

    • Interpretazione della misura spettrale in termini dello spettro di particelle;
    • Rappresentazione spettrale per commutatore e per funzione di correlazione T ordinata;
    • Relazione tra stati di particella creati da un operatore, delta di Dirac nella misura spettrale, e singolarità nella funzione di correlazione in spazio dei momenti;
    • Rottura spontanea di simmetria: definizione;
    • Teorema di Goldstone dal punto di vista della teoria dei campi classica, esempio canonico del potenziale ``mexican-hat'';
    • Verso il Teorema di Goldstone in teoria quantistica dei campi: rappresentazione spettrale per la funzione di Wightman tra corrente conservata e operatore carico;

  • Lezione 14

    • Rappresentazione spettrale per funzione di correlazione T-ordinata e per commutatore con corrente e operatore carico;
    • Uso della Ward-Takahashi identity e del commutatore tra carica conservata e operatore per derivare che la misura spettrale moltiplicata per la variabile dà una misura identicamente nulla;
    • Teorema di Goldstone in teoria quantistica dei campi: la misura spettrale è una delta di Dirac che rappresenta uno stato di particella scalare a massa nulla;
    • Definizione di ampiezza di scattering, stati asintotici e matrice S, separazione tra parte disconnessa e parte di interazione, richiami di base di cinematica relativistica;
    • Formula LSZ per ampiezza di scattering 2 in 2 per particelle scalari identiche, partendo da funzione a quattro punti di operatore scalare che crea la particella, motivazione per la formula;

  • Lezione 15

    • Generalizzazione della formula LSZ al caso di n in m, e di particelle scalari distinte;
    • Verso la generalizzazione per particelle di spin 1/2: discussione del piccolo gruppo e della rappresentazione corrispondente a particelle massive di spin 1/2;
    • Elemento di matrice del campo di Dirac tra stato di particella e vuoto: spinori u e v che interpolano tra la trasformazione di Lorentz del campo e la trasformazione sotto il piccolo gruppo dello stato della particella, formula per u e v e per la somma sugli spin;
    • Verso la generalizzazione per particelle di spin 1: discussione del piccolo gruppo per particelle massless, rappresentazione corrispondente a particella massless di spin 1;

  • Lezione 16

    • Vettore di polarizzazione per vettore massless, stati di elicità. Osservazione che non fornisce un intertwiner tra il piccolo gruppo e il gruppo di Lorentz a meno di imporre la relazione di equivalenza data dalle trasformazioni di gauge;
    • Formula per la somma sulle elicità;
    • Accenni sulla generalizzazione di LSZ al caso di particelle con spin;
    • Regole di Feynman per le ampiezze di scattering;
    • Esempio: ampiezza e sezione d'urto al livello albero in lambda phi^4;

  • Lezione 17

    • Ampiezza e sezione d'urto di due fermioni in due fermioni in teoria di Yukawa a livello albero, somma sugli stati di spin, specializzazione al sistema del centro di massa;
    • Potenziale tra particelle dal limite non-relativistico dell'ampiezza 2 in 2 elastica: potenziale a Dirac delta dall'ampiezza di lambda phi^4, potenziale di Yukawa dall'ampiezza della teoria di Yukawa;
    • Ampiezza dello scattering di due elettroni in due elettroni in QED a livello albero, derivazione del potenziale di Coulomb nel limite non-relativistico;
    • Ampiezza dello scattering compton in QED a livello albero;
    • Identità di Ward per ampiezze di scattering in QED;

  • Lezione 18

    • Esempio del calcolo dei fattori Z nella formula LSZ: funzione a due punti esatta per scalare e fermione, risommazione della due punti 1PI, espressione per la correzione a Z e alla massa in funzione della due punti 1PI;
    • Calcolo delle funzione a due punti 1PI a un loop per lo scalare in teoria di Yukawa: traccia sugli indici di Dirac, semplificazione del numeratore, parametro di Feynman per mettere insieme i fattori al denominatore, rotazione di Wick nell'integrale sul momento del loop;
    • Osservazione della divergenza UV nell'integrale sul momento del loop;

  • Lezione 19

    • Introduzione al concetto di regolarizzazione e rinormalizzazione;
    • Possibili regolatori: reticolo, cutoff, regolarizzazione dimensionale, pro e contro dei vari regolatori;
    • Calcolo della due punti 1PI a un loop in teoria di Yukawa con cutoff
    • Inizio del calcolo con regolarizzazione dimensionale, continuazione analitica in d degli integrali e calcolo della funzione di d risultante;

  • Lezione 20

    • Completamento del calcolo con regolarizzazione dimensionale;
    • Osservazione che la parte divergente ha una dipendenza semplice dal momento esterno, mentre la parte finita ha una dipendenza complicata che coincide con i due regolatori diversi;
    • Derivazione dello shift in Z e nella massa con i due diversi regolatori;
    • Altro esempio di calcolo a un loop: ampiezza di scattering 2 in 2 a un loop nella teoria lambda phi^4;
    • Calcolo dell'integrale sul momento del loop usando il cutoff ultravioletto e regolarizzazione dimensionale, osservazione che di nuovo la risposta ha una parte divergente con una dipendenza cinematica semplice, e una parte finita con una dipendenza cinematica complicata, la stessa con i due diversi regolatori;

  • Lezione 21

    • Unitarietà della matrice S e derivazione del teorema ottico;
    • Struttura analitica di un'ampiezza di scattering: parte immaginaria dalla discontinuità;
    • Verifica del teorema ottico per l'ampiezza a un loop in lambda phi^4, spiegazione del fatto che la dipendenza complicata dal momento è finita tramite il teorema ottico;
    • Due punti 1PI a un loop e risonanza: cenni su come ottenere la larghezza della risonanza dalla parte immaginaria;

  • Lezione 22

    • Idea della rinormalizzazione: usare i parametri della Lagrangiana per riassorbire le divergenze, costanti di rinormalizzazione, come fissare le costanti di rinormalizzazione con misure, e ottenere predizioni finite per altre osservabili che si possono comparare con esperimenti;
    • Esempio di rinormalizzazione in teoria perturbativa: teoria lambda phi^4, Lagrangiana bare, Lagrangiana rinormalizzata e controtermini, regole di Feynman per i controtermini, calcolo dei controtermini a un loop imponendo condizioni di rinormalizzazione;
    • Spiegazione delle domande da affrontare: perché le divergenze si possono riassorbire nei parametri della Lagrangiana? quanti parametri sono necessari?
    • Località delle divergenze UV: prendendo derivate rispetto ai momenti esterni qualsiasi diagramma diventa finito, uso per spiegare che le divergenze possono essere assorbite nei parametri di termini locali nell'azione;

  • Lezione 23

    • Grado di divergenza superficiale, formula in funzione del numero di zampe esterne bosoniche e fermioniche, e delle dimensioni delle costanti di accoppiamento;
    • Teorie super-rinormalizzabili, rinormalizzabili e non-rinormalizzabili;
    • Generazione di nuovi vertici a causa della rinormalizzazione, esempio della massa in teoria lambda phi^4, osservazione che in una teoria non rinormalizzabile si generano potenzialmente nuovi vertici a ogni ordine in teoria perturbativa;
    • Sottodiagrammi divergenti e loro rinormalizzazione tramite controtermini, menzione del teorema BPHZ;
    • Esempio di teoria rinormalizzabile: lambda phi^4 in d=4, lista delle funzioni di correlazione con grado di divergenza superficiale non-negativo e delle costanti di rinormalizzazione associate;
    • Ricapitolazione delle costanti di rinormalizzazione a un loop in lambda phi^4;

  • Lezione 24

    • Rinormalizzazione in QED: Lagrangiana bare, Lagrangiana rinormalizzata e controtermini, regole di Feynman dei controtermini;
    • Lista delle funzioni di correlazione con grado di divergenza superficiale nonnegativo, e delle costanti di rinormalizzazione associate;
    • Calcolo della funzione a due punti dell'elettrone 1PI a un loop, calcolo esplicito con dimreg, calcolo delle costanti di rinormalizzazione a un loop;
    • Calcolo della funzione a due punti del fotone 1PI a un loop: dimostrazione che deve essere trasversa e conseguente abbassamento del grado di divergenza superficiale, collegamento con l'invarianza di gauge e con l'esistenza di una sola costante di rinormalizzazione, inizio del calcolo esplicito a un loop con regolarizzazione dimensionale;

  • Lezione 25

    • Completamento del calcolo a un loop della funzione a due punti 1PI del fotone, verifica della trasversalità, calcolo della costante di rinormalizzazione associata a un loop;
    • Espressione integrale per la correzione a un loop per il vertice, cenno a due metodi possibili per il calcolo: limite di momento zero del fotone, oppure momenti on-shell per le zampe fermioniche, collegamento con il fattore di forma della corrente elettromagnetica e il momento magnetico anomalo dell'elettrone; 
    • Osservazione che l'invarianza di gauge collega la costante di rinormalizzazione del vertice a quella dell'elettrone già calcolata, conseguenza importante: la costante di rinormalizzazione della costante di accoppiamento è fissata dalla costante di rinormalizzazione del fotone;
    • Dipendenza dalla scala della costante di accoppiamento in QFT a causa della rinormalizzazione, vari punti di vista, quantificazione tramite la funzione beta;
    • Calcolo della funzione beta a un loop in lambda phi^4;

  • Lezione 26

    • Calcolo della funzione beta a un loop in QED;
    • Evoluzione del coupling con la scala e gruppo di rinormalizzazione, soluzione dell'equazione differenziale che viene dalla beta a un loop;
    • Significato e utilità della costante di accoppiamento "running": risommazione dei logaritmi larghi;
    • Possibilità per la funzione beta: coupling dimensionati, termine lineare nella beta, definizione di coupling rilevanti, irrilevanti e marginali;
    • Possibilità per la funzione beta: coupling marginali, distinzione in coupling marginalmente rilevanti e marginalmente irrilevanti, osservazione che tutti gli esempi trattati finora sono marginalmente irrilevanti, trasmutazione dimensionale, polo di Landau e necessità di completamento UV;
    • Menzione della possibilità di coupling marginalmente rilevanti e libertà asintotica in teorie di gauge non-abeliane;