240SM-1 - ANALISI REALE E COMPLESSA - MODULO A 2019

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  Topic 1

  Algebre, sigma algebre e misure.

  
  
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  Topic 2

  Massimo e minimo limite di insiemi. Misure finite, sigma finite, complete. Teorema di completamento (solo enunciato). Misura esterna.

  
  
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  Topic 3

  Intervalli in R^n, misura esterna di Lebesgue, sigma-algebre e misura di Lebesgue. Misurabilità di semispazi. I Boreliani sono insiemi di Lebesgue. Misura degli intervalli.

  
  
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  Topic 4

  Caratterizzazione per approssimazione degli insiemi di Lebesgue

  
  
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  Topic 5

  Definizione somma modulo 1. Invarianza della misura per traslazioni (somma modulo 1). L'insieme di Vitali non è Lebesgue misurabile. L'insieme di Cantor: costruzione e proprietà.

  
  
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  Topic 6

  Funzione di Cantor. Funzioni misurabili: definizione e proprietà. Insieme Lebesgue misurabile ma non Boreliano.

  
  
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  Topic 7

  Operazioni su funzioni misurabili. Successione di funzioni misurabili. Convergenza quasi ovunque. Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.

  
  
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  Topic 8

  Convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura, convergenza alla Cauchy in misura. Convergenza alla Cauchy in misura e convergenza quasi uniforme di una sottosuccessione.
  
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  Topic 9

  Approssimazione di funzioni misurabili su R^n con funzioni a scalino e funzioni continue. Teorema di Tietze (solo enunciato). Teorema di Lusin. Integrale di funzioni misurabili nonnegative. 
  
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  Topic 10