Generalità sui numeri complessi. Differenziabilità complessa. Equazioni di Cauchy Riemann.
Serie di potenze. Raggio di convergenza, derivabilità e primitivabilità. L'esponenziale e le funzioni trigonometriche
Integrazione su cammini. Teorema di Cauchy-Goursat. Teorema di Cauchy su un dominio stellato.
Formula di Cauchy. Sviluppo in serie di potenze di funzioni olomorfe.
Teoremi di Liouville, Morera e Weierstrass. Teorema fondamentale
dell'algebra.
Ordine di uno zero di una funzione olomorfa. Comportamento di una
funzione olomorfa vicino a uno zero di ordine finito. Teorema della
mappa aperta. Principio di unicità. Principio del massimo. Lemma di
Schwartz.
Il logaritmo e le potenze come funzioni olomorfe
TEOREMA DELLA FUNZIONE INVERSA
da Rudin, "Principles of mathematical analysis".
occhio alla notazione f'(x) per indicare il differenziale di Frechet Df(x)
Singolarità di funzioni olomorfe. Serie di Laurent. Singolarità
removibili, poli e singolarità essenziali. Teorema di Casorati
Weierstrass.
Indice di avvolgimento. Lemma del "cane al guinzaglio". Omotopie e invarianza dell'indice.
Catene e cicli. Il teorema di Cauchy globale. Il teorema dei residui.
L'indice di annullamento di una funzione e il Teorema di Rouché.
Calcolo di integrali impropri via calcolo dei residui.
Cenni sull'omologia di un aperto in C. Caratterizzazione degli aperti semplicemente connessi.
Successioni di funzioni olomorfe e teorema di Montel. Gruppo di Moebius. Teorema della mappa di Riemann.
da "Foundations of modern analysis" di A. Friedman.
da rudin, "real and complex analysis", pag. 268-269
funzioni armoniche. esistenza dell'armonica coniugata in domini
semplicemente connessi. principio del valor medio e principio del
massimo per funzioni armoniche.
principio del massimo per funzioni armoniche (caso semplice)
Il problema di Dirichlet nel disco. Nucleo di Poisson. Esistenza e
unicità della soluzione (teorema di Schwarz). Calcolo esplicito della
soluzione nel caso dei polinomi trigonometrici.
Completezza del sistema dei polinomi trigonometrici
Derivazione della formula di rappresentazione di Poisson
