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  • REGISTRAZIONE LEZIONI E DIDATTICA A DISTANZA

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    La registrazione delle lezioni è disponibile sul Team CD2022 243SM ISTITUZIONI DI ALGEBRA E GEOMETRIA di Microsoft Teams (si veda il tutorial MS Teams di seguito)

    Per maggiori informazioni sulla didattica digitale dell'Ateneo consultare il Catalogo 


  • Informazioni generali

    Libri di testo di riferimento: 

    G. Fisher, Plane Algebraic Curves, American Mathematical Society (2001)

    R.J. Walker, Algebraic curves, Princeton (1950)

    F. Kirwan, Complex algebraic curves, London Mathematical Society (1992)

    W. Fulton, Algebraic Curves: An introduction to Algebraic Geometry.

    A. Cassa, Teoria elementare delle curve algebriche piane e delle superfici di Riemann compatte, Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 25, Pitagora Editrice, Bologna 1983.  


    Ricevimento: venerdì 11:00--13:00 

  • Calendario esami

    Appelli d'esame. 

    Sessione invernale e sessione straordinaria (per A.A. 2021/22) 

    SCRITTO 23/01/2023 ORE 10:00  AULA MAGNA H3                      ORALE 27/01/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 20/02/2023 ORE 10:00 AULA MAGNA H3                        ORALE 24/02/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    Sessione estiva

    SCRITTO 19/06/2023 ORE 10:00  AULA MAGNA H3                        ORALE 23/06/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 17/07/2023 ORE 10:00  AULA MAGNA H3                        ORALE 21/07/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    Sessione autunnale 

    SCRITTO 08/09/2023 ORE 15:00 AULA 5A H2bis                        

    SCRITTO 18/09/2023 ORE 10:00 AULA MAGNA H3                                                         ORALE 22/09/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3




    Regolamento d'esame. L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale sugli argomenti del corso. 

    Nel corso della prova scritta lo studente deve dimostrare di saper applicare gli argomenti teorici affrontati nel corso delle lezioni per la risoluzione di esercizi di una adeguata difficoltà. L'esame scritto consiste in alcuni esercizi e precede l'esame orale. Durante la prova scritta è consentito l'uso di appunti e libri. 

    Nel corso della prova orale lo studente deve dimostrare di aver compreso e assimilato il materiale facente parte del programma del corso, di avere rielaborato in modo autonomo e critico gli argomenti cogliendone gli aspetti più rilevanti, di essere in grado di esporre con chiarezza e correttezza i risultati appresi.

    Il programma d'esame dettagliato sarà disponibile al termine delle lezioni e comprenderà gli argomenti svolti a lezione.
    Il voto dell'esame scritto e il voto finale sono espressi in trentesimi, più eventuale lode. Il voto finale è la media tra il punteggio dell'esame scritto e quello dell'orale. I telefoni cellulari devono essere spenti durante la prova scritta.
    Per potersi presentare all'esame, sia per la prova scritta sia per la prova orale, lo studente deve iscriversi obbligatoriamente sul sito di ESSE3. Bisogna presentarsi agli esami con un documento d'identità valido.


  • Diario delle lezioni

    03/10/2022 PRESENTAZIONE

    Programma del corso. Pagina moodle. Introduzione storica e motivazioni. Definizione di curva algebrica affine piana.

    06/10/2022 RISULTANTE

    Enunciato del lemma di Study e prime conseguenze. Richiami di algebra: domini a fattorizzazione unica. Definizione del risultante e del discriminante. Proprietà fondamentale del risultante. Esempi. 

    10/10/2022 LEMMA DI STUDY

    Dimostrazione della proprietà del risultante: due polinomi hanno un fattore comune se e solo se il loro risultante si annulla. Dimostrazione del Lemma di Study. Definizione di curva irriducibile e riducibile. 

    13/10/2022 CONSEGUENZE DEL LEMMA DI STUDY

    Discussione degli esercizi del primo foglio. Caratterizzazione delle curve irriducibili. 

    17/10/2022 DECOMPOSIZIONE IN COMPONENTI IRRIDUCIBILI

    Decomposizione in componenti irriducibili delle curve algebriche affini. Polinomio minimo e grado di una curva affine, e rispettive interpretazioni algebriche e geometriche. Curve irriducibili e curve connesse. Criterio di irriducibilità per polinomi di secondo grado. Richiami sugli spazi proiettivi, coordinate omogenee, topologia e carte affini.  

    20/10/2022 SPAZI PROIETTIVI

    Proprietà topologiche degli spazi proiettivi: compattezza e proprietà di Hausdorff. Basi proiettive. Trasformazioni proiettive. Proprietà di continuità delle trasformazioni proiettive. Teorema fondamentale sulle trasformazioni proiettive. Iperpiani proiettivi. 

    24/10/2022 CURVE PROIETTIVE

    Definizione di curva proiettiva piana e di chiusura proiettiva di una curva affine. Esempi. Alcune proprietà topologiche delle curve proiettive. Decomposizione in componenti irriducibili delle curve proiettive.

    27/10/2022 GRADO DELLE CURVE PROIETTIVE ED ENUNCIATO DEL TEOREMA DI BEZOUT

    Ideale generato dai polinomi omogenei che si annullano sulla curva e identificazione con l'ideale del cono sopra la curva. Definizione del grado di una curva proiettiva. Invarianza del grado per trasformazioni proiettive. Equivalenza per trasformazioni proiettive, il caso delle rette e delle coniche. Enunciato del teorema di Bézout e discussione del caso in cui una delle curve è una retta.

    31/10/2022 RISULTANTE TRA POLINOMI OMOGENEI

    Classificazione delle quadriche proiettive. Versione del teorema fondamentale dell'algebra per polinomi omogenei in due indeterminate. Ordine/molteplicità degli zeri (nella retta proiettiva) di un polinomio omogeneo in due indeterminate. Omogeneità del risultante tra polinomi omogenei.

    07/11/2022 TEOREMA DI BEZOUT

    Lemma: due curve algebriche piane senza componenti comuni si intersecano in un numero finito di punti. Definizione della molteplicità di intersezione tra due curve. Dimostrazione del teorema di Bézout. Esempio.

    10/11/2022 ESERCITAZIONE

    Svolgimento esercizi dei fogli 2 e 3.

    14/11/2022 SINGOLARITA'

    Esempi di punti singolari: Ovale di Cassini, Cissoide (e problema di Delo). Definizione di punto singolare e di punto non singolare di una curva algebrica affine piana. Osservazioni sulla definizione e relazione con il Teorema del Dini. Esempi di curve notevoli.

    17/11/2022 L'ORDINE DI UNA CURVA IN UN PUNTO

    Proposizione: una curva algebrica affine ha un numero finito di punti singolari. Definizione di ordine di una curva affine in un punto. Esempi e prime proprietà dell'ordine. Singolarità per curve proiettive. Caratterizzazione dei punti non singolari per mezzo del gradiente di un'equazione minima. Retta tangente ad una curva proiettiva in un punto liscio (non singolare). Teorema di Eulero per polinomi omogenei.

    21/11/2022 CURVE RAZIONALI

    Dimostrazione del criterio affinché un punto in una curva proiettiva non sia singolare per mezzo del gradiente di un'equazione della curva. Equazione della retta tangente alla curva proiettiva in un punto liscio. Proposizione: una curva proiettiva ha un numero finito di punti singolari. Proposizione: una curva proiettiva non-singolare è irriducibile. Definizione dell'ordine di una curva proiettiva in un punto. Criterio di razionalità per una curva proiettiva di grado n con un punto di ordine n-1. 

    24/11/2022 CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE IRRIDUCIBILI

    Corrispondenza tra i punti, e le tangenti, (non-)singolari di una curva proiettiva e quelli della sua trasformata rispetto ad una trasformazione proiettiva. Classificazione delle coniche irriducibili. Topologia di una conica irriducibile. Curve razionali affini.

    28/11/2022 RETTE TANGENTI 

    Definizione delle rette tangenti ad una curva in un punto. Esempi. Relazione tra la molteplicità di intersezione di due curve in un punto e gli ordini delle curve nel punto. Intersezioni trasversali. Definizione di divisore in uno spazio proiettivo e di sistema lineare di divisori di un dato grado. Dimensione dello spazio dei divisori di grado fissato. 

    01/12/2022 APPLICAZIONI DEI SISTEMI LINEARI DI DIVISORI

    Teorema: date due curve di grado n che si intersecano in nxn punti distinti, se nxm di questi punti sono contenuti in una curva di grado m<=n, allora i restanti punti appartengono ad una curva di grado n-m. Corollario: teorema di Pappo-Pascal ed applicazioni alle macchine per il disegno delle coniche. Teorema: una curva irriducibile di grado n ha al più (n-1)(n-2)/2 punti singolari. Definizione di punto di flesso. 

    05/12/2022 PUNTI DI FLESSO

    Svolgimento degli esercizi dei fogli 3 e 4. Definizione di flesso e prime proprietà. 

    12/12/2022 MATRICE HESSIANA E DETERMINANTE HESSIANO

    Definizione della matrice hessiana e del determinante hessiano associati ad un polinomio. Proposizione: un punto non singolare di una curva proiettiva piana è un flesso se e solo se annulla il determinante hessiano di un'equazione minima della curva. Conseguenze: ogni curva non singolare ha almeno un punto di flesso; ogni curva di grado >2 ha un numero finito di flessi.

    15/12/2022 FORMA DI LEGENDRE

    Forma di Legendre per le cubiche non singolari. Classificazione delle cubiche singolari irriducibili. Punti di flesso di una cubica non singolare.

    19/12/2022 BIRAPPORTO E MODULO DI QUATTRO PUNTI SULLA RETTA PROIETTIVA

    Fine della dimostrazione del teorema sui punti di flesso di una cubica non singolare. Definizione del birapporto di quattro punti sulla retta proiettiva. Proprietà del birapporto. Modulo di quattro punti sulla retta proiettiva. Proprietà del modulo. 

    22/12/2022 CLASSIFICAZIONE DELLE CUBICHE NON SINGOLARI

    Teorema di Salmon. Definizione del modulo di una cubica non-singolare. Teorema di classificazione. Esempi.

    09/01/2023 GRUPPO DEI PUNTI DI UNA CURVA ELLITTICA

    Definizione della somma di due punti su una cubica proiettiva non singolare con un punto fissato. Teorema: l'insieme dei punti di una cubica proiettiva non-singolare con un punto fissato è un gruppo abeliano. Gruppo dei divisori su una curva e sottogruppo dei divisori di grado zero. Applicazioni alla crittografia e problema del logaritmo discreto. 

    12/01/2023 ESERCITAZIONE

    Discussione degli esercizi dei fogli 5 e 6.

  • ESERCIZI

  • Prove scritte

    (I TESTI DEGLI SCRITTI DELL' ANNO ACCADEMIC0 20X/20Y SONO REPERIBILI ALLA PAGINA MOODLE DEL CORSI, LA CHIAVE E' IAGXY)