227SM - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE A 2022
Schema della sezione
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Introduzione agli insiemi e alla logica proposizionale.
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Operazioni su insiemi: intersezione, unione, complementare. Relazioni, relazioni di equivalenza e funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biiiettive. Insiemi numerici.
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Ordinamento, operazioni tra numeri interi e frazioni, assioma di completezza, numeri reali
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Principio di induzione. Intervalli di numeri reali. Insiemi limitati. Cenni sulla cardinalità.
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Estremi inferiore e superiore di un insieme, insieme dei numeri reali esteso.
Piano cartesiano, coordinate cartesiane, equazione di retta nel piano, coefficiente angolare e condizione di ortogonalità.
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Introduzione alle radici p-esime come inverse delle potenze p-esime. Funzioni pari, dispari, crescenti e decrescenti (monotone).
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Disequazioni di secondo grado, equazioni cartesiane di piani nello spazo e loro posizione reciproca. Introduzione ai vettori (grandezze vettoriali) equazione di retta in forma parametrica.
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Equazioni cartesiane di piani nello spazio ed equazioni parametriche di rette nello spazio. Posizioni reciproche di rette nel piano. Grandezze vettoriali.
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Seno, coseno e tangente: definizioni e proprietà Formule di addizione, sottrazionee di duplicazione. Coordinate polari e prodotto scalare.
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Inverse delle (restrizioni delle) funzoni trigonometriche: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Ortogonalità di piani e di rette e piani nello spazio.
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Moda, media aritmetica, mediana e scarto quadratico medio di dati.
Permutazioni semplici, disposizioni (anche con ripetizione), combinazioni semplici. Coefficienti binomiali. Successioni e successioni di numeri reali. Monotonia e limitatezza. Intorni, convergenza e divergenza di successioni.
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Unicità del limite di successioni, esistenza del limite per successioni monotone, Teorema del Confronto (o dei Carabinieri).
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Teorema della Permanenza del Segno. Compatibilità di operazioni e calcolo di limiti.
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Cenni su serie. Progressioni geometriche, Limiti notevoli e Criterio del Rapporto.
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Introduzione al numero di Nepero. Funzioni esponenziali e prime proprietà. Logaritmi e prime proprietà.
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Punti di accumulazione di un insieme. Introduzione ai limiti di funzioni: definizione e prime proprietà.
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Asintoti verticali e orizzontali. Continuità di funzioni reali di variabile reale: defiizione e prime proprietà.
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Asintoti obliqui. Primi risultati sulle funzioni continue. Teorema della Permanenza del segno. Teorema di Weierstrass (solo enunciato). Teorema di Esistenza degli Zeri. Teorema dei valori intermedi.
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Rapporto incrementale e derivata di una funzione reale di variabile reale: definizioni ed interpretazione grafica. Derivabilità e continuità. Punti angolosi e cuspidi. Formula di Leibniz. Derivata di sen(x), cos(x) e exp(x).
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Teoremi della derivata di rapporti di funzioni derivabili, di composizione di funzioni derivabili e di inverse di funzioni derivabili e applicazioni. Derivata di tan(x), ln(x), arctan(x). potenza a esponente reale.
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Teorema di Fermat e applcazioni. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange e applicazioni: caratterizzazione di funzioni derivablii monotone o costanti.
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Concavità e convessità di funzioni e loro caratterizzazione analitica. Derivate successive. Punti di flesso. Studio di funzione.
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Regola di de L'Hopital e applicazioni. Teorema di Taylor e approssimazione con polinomi di Taylor di funzioni sufficientemente regolari.