Per quanto riguarda la domanda di cui abbiamo parlato ieri, vi scrivo qui la risposta così la potete vedere tutti.
Quando si approssima un sistema di ordine n-esimo ad una FOPTD, si può seguire la procedura presente nelle slide, ovvero:
1) si seleziona la costante di tempo dominante
2) si approssimano le altri costanti di tempo a tempi morti usando l'espansione in serie di Taylor
3) si approssima il tempo di anticipo ad un tempo morto usando l'espansione in serie di Taylor
4) si sommano tutti i tempi morti in un unico tempo morto e si considera il sistema come un FOPTD.
Per semplicità abbiamo assunto che il tempo di anticipo fosse sempre negativo.
Una FOPTD ha una funzione di trasferimento equiparabile a quella di una FO con dinamica al numeratore della slide 110. Da un punto di vista fisico, vedete come per tempi d'anticipo minori di zero, la risposta ha un salto negativo e quindi attraversa lo stato stazionario di partenza con un certo ritardo. Quindi, se si approssima la parte al di sotto dello stato stazionario iniziale ad un tempo morto, la funzione sarebbe esattamente una FOPTD.
Se invece abbiamo un tempo d'anticipo >0, la risposta del sistema viene anticipata e presenta un salto positivo a t=0. Visto che noi vogliamo approssimare un sistema di alto grado ad una FOPTD, questa risposta va nella direzione completamente opposta, poichè se il mio tempo d'anticipo fosse sufficientemente grande, la mia FOPTD risulterebbe in realtà anticipata rispetto al sistema di ordine superiore che voglio approssimare.
Questo è il motivo per cui vengono considerati solamente tempi d'anticipo minori di zero.
Rimane un dubbio... Come fare a ridurre il modello in presenza di un tempo d'anticipo maggiore di zero?
La risposta l'ho trovata ed è molto semplice, poichè basta effettuare una sostituzione nell'esponente che rappresenta il nostro tempo morto. In questo modo si vede che se ho uno zero negativo (tau(a) positivo), esso dovrà essere sottratto invece che sommato agli altri tempi morti.
Il risultato è confermato da simulink, in cui i tempi morti da inserire nel ritardo di tempo globale saranno 0.9+0.8-1=0.7 che permette di ottenere un'approssimazione ancora migliore rispetto alla precedente. Ciò però è dovuto al fatto che in questo caso la costante di tempo tau2 (0.8) e il tempo d'anticipo (1) sono molto simili, quindi praticamente si annullano. Inoltre tau1>>tau2 quindi il sistema è praticamente del primo ordine.
Ciò non potrà però essere fatto quando il tempo d'anticipo è molto elevato per non rischiare di creare una sistema in cui il tempo morto sia <0 e quindi abbia un anticipo nella mia FOPTD invece di un ritardo. In questo caso è probabile che il sistema non permetta di essere ridotto.
Trovate un foglio di appunti in questo annuncio con qualche passaggio matematico.
Introdurre diversi casi contribuisce ad aumentare la confusione quindi quello che dovete ricordare è:
UN TEMPO MORTO E' APPROSSIMABILE O CON UN POLO NEGATIVO O CON UNO ZERO POSITIVO.
Potete guardare anche l'Example 6.5 a p. 101 del SEMD per vedere come sommare i vari contributi per ottenere il tempo morto globale. Non vi ho spiegato cosa sia il metodo di Skogestad (per farla breve, suddivide il contributo della costante di tempo trascurata più grande fra tempo morto e costante globale della FOPTD) e non serve che lo applichiate. Vi consiglio di guardare l'esempio solo perchè la funzione del nostro esercizio era simile (noi avevamo una SOPTD e dinamica al numeratore, l'esempio utilizza una di quarto ordine, ma sempre con tempo morto e dinamica al numeratore).