Diario delle lezioni

Informazioni generali sul corso (orario, programma, testi di riferimento, modalità dell'esame) e sul docente (indirizzo mail, orario di ricevimento).

Calcolo differenziale in più variabili. Nozione di derivata direzionale. Interpretazione grafica. Derivate parziali e loro calcolo. Problema delle derivabilità direzionale connessa con la continuità di una funzione. Esempio di funzione discontinua avente le derivate direzionali rispetto a ogni direzione.

Funzioni lineari tra spazi normati: caratterizzazione delle lineari e continue. Funzioni lineari da ${\mathbb R}^n$ a ${\mathbb R}$: tutte le lineari sono anche continue. Approssimante lineare di funzioni di una variabile: esistenza dell'approssimante lineare è equivalente alla derivabilità.

Definizione di funzione differenziabile. Le funzioni differenziabili sono continue. Le funzioni differenziabili sono derivabili rispetto a tutte le direzioni. Unicità del differenziale. Rapporto tre differenziale e gradiente. Piano tangente al grafico per una funzione differenziabile.

Definizione di piano tangente al grafico di una funzione. Teorema del differenziale totale. Funzioni con gradiente nullo.

Esercizi su continuità, derivabilità parziale e differenziabilità. Calcolo di differenziali e di equazioni di piani tangenti.

Funzioni differenziabili a valori in ${\mathbb R}^n$. Regola della catena e differenziale di una funzione composta. Esempi di differenziali e di derivazione di funzioni composte utilizzando la regola della catena. Derivate parziali  successive. Matrice hessiana.

Teorema di Schwarz sull'inversione dell'ordine di derivazione. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Notazione con i multi-indici e richiamo della formula di Taylor con il resto di Lagrange per funzioni di una variabile. Dimostrazione del teorema generale.

Punti stazionari, punti di massimo e di minimo, valori massimi o minimi. Forme quadratiche, forme quadratiche definite positive e negative, condizione sugli autovalori. Massimi e minimi per funzioni di più variabili. Esercizi.

Esercizi su minimi e massimi liberi per funzioni di più variabili.

Teorema di Dini. Corollari e esempi di applicazione. Calcolo della derivata seconda della funzione implicita.

Significato geometrico del gradiente. Il gradiente è la direzione di massima variazione della funzione. Il gradiente è ortogonale alle superfici di livello della funzione. Il teorema della funzione implicita nel caso da R^3 a R^2. 

Il teorema della funzione implicita, caso generale (senza dim.). Il teorema di invertibilità locale. Minimi e massimi vincolati: caso del vincolo esplicito, caso del vincolo parametrico, caso del vincolo implicito. Esempi.