Schema della sezione

  • 01/12/2022 APPLICAZIONI LINEARI

    Definizione, esempi e prime proprietà delle applicazioni lineari. Teorema di struttura per le applicazioni lineari. 

    02/12/2022 APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI

    Matrice che rappresenta una applicazione lineare rispetto a due basi. Esempi e proprietà. Definizione di nucleo ed immagine di una applicazione lineare, esempi. Proposizione: il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali (rispettivamente del dominio e del codominio); una applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo.

    05/12/2022 TEOREMA DELLA DIMENSIONE

    Definizione del rango di una applicazione lineare. Teorema della dimensione. Corollario: una applicazione lineare tra due spazi vettoriali della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è un isomorfismo. Matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari come prodotto delle matrici che rappresentano le singole applicazioni lineari. Corollario: un endomorfismo è un automorfismo se e solo se la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base è invertibile; una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. 

    06/12/2022 ENDOMORFISMI DIAGONALIZZABILI

    Dimostrazione della formula che esprima la matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari come prodotto delle matrici che rappresentano le singole applicazioni lineari. Matrici del cambiamento di base, proprietà. Matrici simili. Endomorfismi diagonalizzabili e matrici diagonalizzabili, definizione. Il determinante di un endomorfismo.

    12/12/2022 AUTOVETTORI ED AUTOVALORI

    Definizione di autovettore e di autovalore. Proposizione: un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base formata da autovettori. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Gli autovalori di un endomorfismo sono le radici del suo polinomio caratteristico. Autospazi. Esempi.

    13/12/2022 PRIMO CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITA'

    Proposizione: autovetture corrispondenti ad autosaloni distinti sono linearmente indipendenti. Primo criterio di diagonalizzabilità: la somma delle dimensioni degli autospazi di un endomorfismo è minore o uguale alla dimensione dello spazio, ed è uguale se e solo se l'endomorfismo è diagonalizzabile. Esempi. Corollario: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n che ha n autosaloni distinti è diagonalizzabile. Esempi. 

    15/12/2022 SECONDO CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITA'

    Definizione di molteplicità algebrica e di molteplicità geometrica di un autovalore. Criterio di diagonalizzabilità in termini delle molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori. Esempi.