Schema della sezione

  • REGISTRAZIONE LEZIONI

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    La registrazione delle lezioni è disponibile sul Team CD2022 014IN GEOMETRIA di Microsoft Teams (si veda il tutorial MS Teams di seguito)

    Per maggiori informazioni sulla didattica digitale dell'Ateneo consultare il Catalogo 



  • Informazioni generali

    Libri di testo di riferimento: 

    Geometria 1. Edoardo Sernesi, Bollati Boringhieri, 1989.

    Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Mc Graw Hill, 2015. 

    Altri testi consigliati

    Esercizi di geometria. Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Mc Graw Hill, 1999.

    Algebra Lineare e Geometria. Francesco Bottacin, Sociatà Editrice Esculapio, 2016.  

    Esercizi di Algebra Lineare e Geometria. Francesco Bottacin, Sociatà Editrice Esculapio, 2012.  

    Geometria e Algebra Lineare. Elena Rubei. PEARSON. 2016.


    Ricevimento: venerdì ore 14:00--15:00, aula Ciamician, edificio B. 

    Comunicazioni. 

    Appelli d'esame. 

    Sessione invernale e sessione straordinaria (per A.A. 2021/22) 

    SCRITTO 23/01/2023 ORE 09:00  AULA MAGNA H3                      ORALE 26/01/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 06/02/2023 ORE 09:00 AULA MAGNA H3                        ORALE 09/02/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 20/02/2023 ORE 09:00 AULA MAGNA H3                        ORALE 23/02/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    Sessione estiva

    SCRITTO 19/06/2023 ORE 09:00  AULA MAGNA H3                        ORALE 22/06/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 03/07/2023 ORE 09:00  AULA 1A H3                                 ORALE 06/07/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    SCRITTO 17/07/2023 ORE 09:00  AULA MAGNA H3                        ORALE 20/07/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3

    Sessione autunnale 

    SCRITTO 18/09/2023 ORE 09:00 AULA MAGNA H3                        ORALE 21/09/2023 ORE 09:00 AULA 1A H3


    Regolamento d'esame L'esame consiste in una prova scritta (tre ore) e una prova orale sugli argomenti del corso. L'esame scritto è da considerarsi una prova parziale e precede quello orale. 

    Nel corso della prova scritta lo studente deve dimostrare di saper applicare gli argomenti teorici affrontati nel corso delle lezioni per la risoluzione di esercizi e problemi di adeguata difficoltà. L'esame scritto è diviso in due parti: nella prima ci saranno 8 domande a risposta multipla (di natura teorica o esercizi con risposta immediata); la seconda parte è costituita da 3 esercizi e problemi di natura simile agli esercizi svolti in classe e nelle ore di didattica integrativa (si veda sotto). Affinché l'esame scritto venga valutato è necessario aver risposto correttamente a 6 delle 8 domande della prima parte. Il punteggio della prova scritta è espresso in trentesimi, 4 punti sono dedicati alle 8 domande, 26 punti agli esercizi.  

    Nel corso della prova orale lo studente deve dimostrare di aver compreso e assimilato il materiale facente parte del programma del corso, di avere rielaborato in modo autonomo e critico gli argomenti cogliendone gli aspetti più rilevanti, di essere in grado di esporre con chiarezza e correttezza i risultati appresi.

    Il programma d'esame dettagliato sarà disponibile al termine del corso e comprenderà gli argomenti svolti a lezione. Il voto finale dell'esame è la media tra il punteggio ottenuto allo scritto e quello all'orale. Gli appelli d'esame sono sette, distribuiti su tre sessioni (vedi sopra).

    Per essere ammessi all'orale bisogna conseguire un voto maggiore o uguale a 15 allo scritto. In tal caso l'orale va fatto in qualunque sessione dello stesso anno accademico. 

    Non ci sono restrizioni a presentarsi allo scritto, ci si può ritirare in qualunque momento fino alla fine delle tre ore, ma se si consegna lo scritto sarà corretto e valutato. Durante lo scritto non è ammessa la consultazione di libri nè dispense ma soltanto di un foglio formato A4 di appunti che dev'essere tenuto sul banco visibile dai docenti. I telefoni cellulari devono essere spenti.

    Per potersi presentare all'esame, sia per la prova scritta sia per la prova orale, lo studente deve iscriversi obbligatoriamente sul sito di ESSE3. Bisogna presentarsi agli esami con un documento d'identità valido.



  • Attività didattica integrativa

    Docente Chiara Pagani venerdì 14:00 -- 17:00 in aula Ciamician, Edificio B

     


  • Nozioni preliminari

  • Vettori geometrici e spazi vettoriali

    03/10/2022 PRESENTAZIONE

    Introduzione del Direttore DIA, Prof. Contin. Programma del corso. Modalità d'esame. Descrizione della pagina moodle. 

    04/10/2022 VETTORI APPLICATI E GEOMETRICI

    Definizione di vettore applicato. Vettori equipollenti. Definizione di vettore geometrico. Definizione e proprietà della somma tra due vettori geometrici. Definizione e proprietà del prodotto per scalari. Richiami su relazioni binarie e relazioni di equivalenza. 

    06/10/2022 RELAZIONI DI EQUIVALENZA

    Definizione di relazione di equivalenza e di classe di equivalenza. Esempi e controesempi. Definizione di classe di equivalenza e di rappresentante. 

    07/10/2022 SPAZI VETTORIALI

    Definizione di spazio vettoriale: esempi, controesempi e prime proprietà. Definizione di campo (numerico) e primi esempi.

    10/10/2022 NUMERI COMPLESSI

    Esempi di campi finiti, resti modulo n. Definizione di numero complesso e delle operazioni di somma e prodotto tra loro. Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi. Proprietà delle operazioni tra numeri complessi. Risoluzione delle equazioni di grado due.

    11/10/2022 RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI

    Il coniugato di un numero complesso: definizione e proprietà. Modulo di un numero complesso. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica. Radici n-me di un numero complesso.

    13/10/2022 TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

    Teorema fondamentale dell'algebra: enunciato ed esempi. Radici (zeri) di un polinomio e loro molteplicità algebriche. Somma di polinomi e formula del grado per la somma.

    14/10/2022 PRINCIPIO DI IDENTITA' DEI POLINOMI

    Definizione del prodotto tra due polinomi e formula del grado. Divisione tra polinomi, teorema del quoziente e resto. Teorema di Ruffini. Principio di identità dei polinomi. Definizione di matrice, della somma di due matrici e del prodotto di una matrice per uno scalare.

  • Matrici

    17/10/2022 OPERAZIONI TRA MATRICI

    Definizione e proprietà della trasposta di una matrice. Matrici simmetriche e matrici diagonali. Definizione e proprietà del prodotto righe per colonne. 

    18/10/2022 ANELLI

    Dimostrazione delle proprietà del prodotto righe per colonne. Definizione di anello. Definizione di matrice invertibile. Il codice Hamming (7,4).

    21/10/2022 IL GRUPPO DELLE MATRICI INVERTIBILI

    Definizione di gruppo. Dimostrazione che l'insieme delle matrici invertibili di un ordine fissato è un gruppo. Altri esempi di gruppo. Svolgimento di un esercizio del foglio di esercizi sulle matrici. 

  • Sistemi di equazioni lineari

    21/10/2022 SISTEMI LINEARI

    Definizione ed esempi di sistemi lineari (SL). Matrice dei coefficienti e matrice completa associate ad un sistema lineare. Rappresentazione di un SL con matrici. SL compatibili ed incompatibili. Teorema di struttura per le soluzioni di un SL.

    24/10/2022 SISTEMI LINEARI CON MATRICE DEI COEFFICIENTI A SCALA

    Definizione ed esempi di matrice a scala. Criterio di compatibilità per sistemi lineari con matrice dei coefficienti a scala e determinazione delle soluzioni con il metodo della sostituzione dall'ultima equazione a ritroso. Esempi. 

    25/10/2022 METODO DI GAUSS

    Sistemi lineari equivalenti. Operazioni elementari. Le operazioni elementari trasformano un sistema lineare in uno equivalente. Teorema: è possibile trasformare ogni sistema lineare, per mezzo delle operazioni elementari, in un sistema lineare con matrice dei coefficienti a scala. Esempi. 

  • Sottospazi, combinazioni lineari, basi

    27/10/2022 SOTTOSPAZI VETTORIALI

    Definizione ed esempi di sottospazio vettoriale. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un insieme di vettori. 

    28/10/2022 INTERSEZIONE E SOMMA DI SOTTOSPAZI

    Criterio per la compatibilità di un sistema lineare in termini dello span delle colonne della matrice dei coefficienti. Somma ed intersezione di due sottospazi. Dimostrazione che l'intersezione e la somma di due sottospazi sono a sua volta sottospazi vettoriali. Definizione di somma diretta e di sottospazi supplementari. 

    31/10/2022 GENERATORI E DIPENDENZA LINEARE

    Caratterizzazione della somma diretta di due sottospazi: i vettori della somma si esprimono in modo unico come somma di vettori dei sottospazi. Esempi. Spazi vettoriali finitamente generati. Definizione di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Caratterizzazione di vettori linearmente dipendenti: un insieme di vettori è linearmente dipendente se un vettore è combinazione lineare degli altri. Definizione di base. Esempi.

    07/11/2022 BASI E COORDINATE

    Caratterizzazione di una base per mezzo dell'unicità dell'espressione di ogni vettore come combinazione lineare dei suoi elementi. Esempi di basi: basi canoniche e basi non canoniche. Esistenza di una base in ogni spazio vettoriale finitamente generato. 

    08/11/2022 DIMENSIONE

    Esistenza di basi in uno spazio vettoriale finitamente generato. Esempi. Teorema del completamento: ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato ad una base. Esempi. Teorema: due basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori. Definizione di dimensione. Esempi. Criterio affinché n vettori in uno spazio vettoriale di dimensione n formino una base. 

    10/11/2022 FORMULA DI GRASSMANN

    Relazione tra le dimensioni di uno spazio vettoriale e quelle dei suoi sottospazi. Formula di Grassmann. Esempi.


  • Rango

    11/11/2022 RANGO

    Svolgimento di un esercizio sulla dimensione e sulla formula di Grassmann. Definizione del rango di una matrice. Prime proprietà del rango ed esempi. Come calcolare il rango mediante la riduzione a scala. Esempi.

    14/11/2022 RANGO ED OPERAZIONI ELEMENTARI

    Calcolo del rango per mezzo delle operazioni elementari. Teorema: il rango di una matrice coincide con quello della sua trasposta. Esempi. 

    15/11/2022 TEOREMA DI ROUCHE'-CAPELLI

    Teorema di Rouché-Capelli. Esempi. Teorema: una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se ha rango n. Metodo per il calcolo dell'inversa di una matrice invertibile. Sottomatrici. Calcolo del rango di una matrice come massimo ordine delle sottomatrici invertibili. 

  • Determinante

    17/11/2022 DETERMINANTE

    Definizione del determinante e discussione delle proprietà D1, D2, D3. Esempi. Interpretazione del determinante di una matrice 2x2 come l'area del parallelogramma costruito sui vettori colonna della matrice. Unicità del determinante. Determinante e operazioni elementari. 

    18/11/2022 SVILUPPI DI LAPLACE 

    Calcolo del determinante di matrici triangolari superiori. Teorema: una matrice quadrata di ordine n ha rango n se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Corollario: una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Sviluppi di Laplace per colonne e per righe del determinante. 

    21/11/2022 COFATTORI

    Teorema di Binet e sue conseguenze: calcolo del determinante della matrice inversa. Teorema: il determinante della matrice trasposta coincide con il determinante della matrice. Matrice dei cofattori. Calcolo della matrice inversa mediante la matrice dei cofattori. 

  • Geometria affine

    22/11/2022 SPAZI AFFINI

    Regola di Cramer. Definizione di spazio affine, esempi e prime proprietà.

    24/11/2022 SOTTOSPAZI AFFINI

    Definizione della dimensione di uno spazio affine. Riferimenti affini. Definizione di sottospazio affine. Sottospazi affini definiti da sistemi di equazioni lineari.

    25/11/2022 EQUAZIONI CARTESIANE E PARAMETRICHE

    Equazioni cartesiane e parametriche per sottospazi affini, metodi per passare dalle equazioni cartesiane alle parametriche e viceversa. Sottospazi paralleli, incidenti e sghembi. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nel piano. 

    28/11/2022 GEOMETRIA DEL PIANO AFFINE

    Equazioni parametriche e cartesiane della retta per due punti. Posizioni relative di due rette del piano. Fascio proprio delle rette per un punto. Equazioni parametriche e cartesiane di un piano nello spazio affine tridimensionale. 

    29/11/2022 GEOMETRIA DELLO SPAZIO AFFINE TRIDIMENSIONALE

    Equazioni di rette e piani nello spazio. Posizioni relative piano-piano, retta-piano e retta-retta. Esempi.

  • Applicazioni lineari

    01/12/2022 APPLICAZIONI LINEARI

    Definizione, esempi e prime proprietà delle applicazioni lineari. Teorema di struttura per le applicazioni lineari. 

    02/12/2022 APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI

    Matrice che rappresenta una applicazione lineare rispetto a due basi. Esempi e proprietà. Definizione di nucleo ed immagine di una applicazione lineare, esempi. Proposizione: il nucleo e l'immagine sono sottospazi vettoriali (rispettivamente del dominio e del codominio); una applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo.

    05/12/2022 TEOREMA DELLA DIMENSIONE

    Definizione del rango di una applicazione lineare. Teorema della dimensione. Corollario: una applicazione lineare tra due spazi vettoriali della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è un isomorfismo. Matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari come prodotto delle matrici che rappresentano le singole applicazioni lineari. Corollario: un endomorfismo è un automorfismo se e solo se la matrice che lo rappresenta rispetto ad una base è invertibile; una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo. 

    06/12/2022 ENDOMORFISMI DIAGONALIZZABILI

    Dimostrazione della formula che esprima la matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari come prodotto delle matrici che rappresentano le singole applicazioni lineari. Matrici del cambiamento di base, proprietà. Matrici simili. Endomorfismi diagonalizzabili e matrici diagonalizzabili, definizione. Il determinante di un endomorfismo.

    12/12/2022 AUTOVETTORI ED AUTOVALORI

    Definizione di autovettore e di autovalore. Proposizione: un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base formata da autovettori. Polinomio caratteristico di un endomorfismo. Gli autovalori di un endomorfismo sono le radici del suo polinomio caratteristico. Autospazi. Esempi.

    13/12/2022 PRIMO CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITA'

    Proposizione: autovetture corrispondenti ad autosaloni distinti sono linearmente indipendenti. Primo criterio di diagonalizzabilità: la somma delle dimensioni degli autospazi di un endomorfismo è minore o uguale alla dimensione dello spazio, ed è uguale se e solo se l'endomorfismo è diagonalizzabile. Esempi. Corollario: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n che ha n autosaloni distinti è diagonalizzabile. Esempi. 

    15/12/2022 SECONDO CRITERIO DI DIAGONALIZZABILITA'

    Definizione di molteplicità algebrica e di molteplicità geometrica di un autovalore. Criterio di diagonalizzabilità in termini delle molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori. Esempi.

  • Prodotti scalari e forme bilineari

    16/12/2022 SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

    Definizione di forma bilineare e di prodotto scalare, esempi: il prodotto scalare standard di R^n. Norma di un vettore ed angolo convesso compreso tra due vettori. Forme bilineari e matrici. Forme bilineari simmetriche e matrici simmetriche.

    19/12/2022 DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ

    Formula di trasformazione della matrice che rappresenta una forma bilineare rispetto a basi diverse. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Definizione dell'angolo convesso compreso tra due vettori. Vettori ortogonali, sottospazi ortogonali. Basi ortogonali e basi ortonormali. 

    20/12/2022 ALGORITMO DI GRAM-SCHMIDT

    Procedimento per ottenere una base ortonormale da una base ortogonale. Proposizione: un insieme di vettori non nulli a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Formula delle coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale. Proiezioni ortogonali. Teorema di Gram-Schmidt. Esempi.

  • Teorema spettrale

    22/12/2022 TEOREMA SPETTRALE

    Definizione di endomorfismi autoaggiunti. Endomorfismi autoaggiunti e matrici simmetriche. Teorema spettrale. Esempi.

    23/12/2022 MATRICI ORTOGONALI E DIAGONALIZZAZIONE DI FORME BILINEARI SIMMETRICHE

    Proposizione: gli autospazi di un endomorfismo autoaggiunto sono ortogonali tra di loro. Definizione ed esempi di matrici ortogonali. Matrici ortogonali come matrici del cambiamento di base tra basi ortonormali. Matrici ortogonali ed isometrie. Proposizione: ogni matrice simmetrica a coefficienti reali è congruente ad una matrice simmetrica. Proposizione: per ogni forma bilineare simmetrica sum uno spazio vettoriale reale ammette una base che la diagonalizza. Esempi.

    09/01/2023 SPAZI EUCLIDEI

    Definizione e proprietà del prodotto vettoriale. Definizione di spazio euclideo, esempi. Definizione di riferimento cartesiano, esempi. Definizione di distanza tra due punti in uno spazio euclideo, proprietà. Distanza punto-retta nel piano.

    10/01/2023 DISTANZE

    Dimostrazione della formula per la distanza punto-retta nel piano. Definizione e formule per le distanze punto-piano, punto-retta e retta-retta nello spazio.

  • Coniche e quadriche

    12/01/2023 CONICHE AFFINI

    Coniche affini, definizione ed esempi. Formula del cambiamento di coordinate. Coniche equivalenti. Coniche non degeneri, rispettivamente degeneri, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri. Definizione di ellisse, iperbole e parabola. Teorema di classificazione delle coniche affini. Esempi.

  • Lezione 13 gennaio 2023

    13/01/2023 ESERCITAZIONE

    Svolgimento degli esercizi di riepilogo proposti.

  • TEST DI AUTOVALUTAZIONE

    • 1° test di autovalutazione Quiz

      Questo test è un quiz con 20 domande a risposte "vero/falso" ed una domanda la cui risposta è un numero.

      Ogni risposta corretta vale un punto, le risposte errate valgono zero punti. 

      Le domande vertono sugli argomenti che vanno dall'inizio del corso fino al capitolo sulle matrici (compreso). 

      Avete 1 ora per completare il quiz, in tale arco di tempo potete cambiare le risposte a vostro piacimento. Alla fine dovete cliccare su "invia tutto e termina".

      Il quiz sarà disponibile sabato 22 a sabato 29 ottobre.


    • 2° test di autovalutazione Quiz

      Questo test è un quiz con 34 domande a risposte "vero/falso".

      Ogni risposta corretta vale un punto, le risposte errate valgono zero punti. Si ottiene la sufficienza con 21 risposte corrette.

      Le domande vertono sugli argomenti che vanno dai sistemi lineari (compresi) fino al determinante (compreso). 

      Avete 1 ora e 30 minuti per completare il quiz, in tale arco di tempo potete cambiare le risposte a vostro piacimento. Alla fine dovete cliccare su "invia tutto e termina".

      Il quiz sarà disponibile da sabato 26 novembre a sabato 3 dicembre.



    • Mastery quiz spazi vettoriali

  • PROVE SCRITTE

    (PER I TESTI DEGLI SCRITTI DEGLI ANNI ACCADEMICI 20X/20Y SI VISITINO LE PAGINE MOODLE DEI CORSI, LE CHIAVI SONO GEOXY)