Note del corso

Richiami su: insiemi, numeri, funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive e invertibili

Cenni sui campi, Rⁿ come spazio vettoriale numerico reale.

Numeri complessi: operazioni, inverso, parte reale e parte immaginaria, coniugio, modulo.

Numeri complessi: forma polare, prodotti, quozienti, potenze, radici.

Polinomi, funzioni polinomiali, operazioni, algoritmo per la divisione.

Cenni sulle equazioni polinomiali, molteplicità degli zeri di un polinomio, zeri razionali di un polinomio intero, Principio di identità dei polinomi, Teorema fondamentale dell'Algebra.

Spazi vettoriali numerici complessi. Matrici: somma, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto righe per colonne, matrice trasposta.

Matrici diagonali e matrici invertibili.

Sistemi lineari: forma matriciale, soluzioni, spazio delle soluzioni, sistemi omogenei, sistemi equivalenti.

Matrici e sistemi a gradini. Risoluzione dei sistemi lineari a gradini. Parametri liberi.

Operazioni elementari sulle matrici. Algoritmo di Gauss.

Sistemi lineari arbitrari, metodo di eliminazione di Gauss, parametri liberi, sistemi lineari con infinite soluzioni.

Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

Spazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, vettori proporzionali.

Dipendenza e indipendenza lineare in K^m, rango di una matrice, calcolo del rango col metodo di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli.

Sottospazi vettoriali, spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, Span e generatori, basi di spazi vettoriali finitamente generati, teorema di esistenza delle basi per spazi vettoriali finitamente generati.

Componenti di un vettore rispetto ad una base.

Invarianza del numero di vettori di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Spazio delle colonne e spazio delle righe di una matrice. Rango come dimensione dello spazio delle colonne o delle righe.

Equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

Completamento della base.

Applicazioni lineari. Applicazione lineare associata ad una matrice.

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare.

Teorema della dimensione. Isomorfismi di spazi vettoriali. Invarianza della dimensione.

Applicazioni lineari associate a matrici.

Calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss.

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare, classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita, matrici di applicazioni lineari rispetto a basi del dominio e del codominio, classificazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici.

Matrice di un'applicazione composta, matrici di isomorfismi, matrice del cambio di base. Cambio di base per applicazioni lineari e per endomorfismi.

Determinante: definizione ricorsiva, prime proprietà, calcolo col metodo di Gauss.

Determinante: formule di Laplace, Teorema di Binet, formula per la matrice inversa, Teorema di Cramer. Calcolo del rango di una matrice mediante il determinante (Teorema di Kronecker).

Determinante come funzione multilineare.

Spazio delle applicazioni lineari e spazio degli endomorfismi. Determinante di un endomorfismo.

Diagonalizzazione di endomorfismi: basi diagonalizzanti, autovalori e autovettori, polinomio caratteristico.

Diagonalizzazione. Autospazio.

Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori distinti. Teorema di diagonalizzazione. Metodo per diagonalizzare un endomorfismo.

Forme bilineari, prodotti scalari, spazi vettoriali Euclidei, forma bilineare associata ad una matrice, matrici simmetriche definite positive, matrice di una forma bilineare rispetto ad una base, matrici congruenti, cambio di base per forme bilineari.

Spazi vettoriali Euclidei: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, metrica Euclidea, angolo tra due vettori, formule in Rⁿ col prodotto scalare canonico.

Basi ortonormali, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, calcoli con basi ortonormali, completamento della base ortonormale, sottospazi vettoriali ortogonali, complemento ortogonale.

Dimensione del complemento ortogonale. Proiezioni ortogonali e componenti normali. Matrici ortogonali e ortogonali speciali. Cambio di basi ortonormali. Endomorfismi autoaggiunti. Autovalori di matrici simmetriche reali. Teorema spettrale.

Elementi di Geometria Affine: traslazioni, sottospazi affini di spazi vettoriali, giacitura, dimensione. Teorema di struttura per sistemi lineari.

Equazioni di sottospazi affini: vettoriale, parametrica, cartesiana. Intersezione di sottospazi affini e loro posizione reciproca: sottospazi incidenti, paralleli, sghembi. Rette e piani affini in R² e in R³. Cenni sulle affinità.

Elementi di Geometria Euclidea: distanza tra un punto e un iperpiano affine, angolo tra due rette e tra due iperpiani.

Sottospazio affine generato da un sottoinsieme finito. Retta per due punti distinti, punti allineati, piano per tre punti non allineati.

Isometrie, rototraslazioni del piano Euclideo. Prodotto vettoriale in R³.