Note del corso

Richiami su: insiemi, numeri, funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive e invertibili

Cenni sui campi, Rⁿ come spazio vettoriale numerico reale.

Numeri complessi: operazioni, inverso, parte reale e parte immaginaria, coniugio, modulo.

Numeri complessi: forma polare, prodotti, quozienti, potenze, radici.

Spazi vettoriali numerici complessi.

Polinomi, funzioni polinomiali, operazioni, divisione con resto.

Cenni sulle equazioni polinomiali, molteplicità degli zeri di un polinomio, zeri razionali di un polinomio intero, Principio di identità dei polinomi, Teorema fondamentale dell'Algebra.

Matrici: somma, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto righe per colonne.

Proprietà del prodotto righe per colonne. Matrice trasposta, matrici diagonali e matrici invertibili.

Sistemi lineari: forma matriciale, soluzioni, spazio delle soluzioni, sistemi omogenei, sistemi equivalenti.

Matrici e sistemi a gradini. Risoluzione dei sistemi lineari a gradini. Parametri liberi.

Operazioni elementari sulle matrici. Algoritmo di Gauss.

Sistemi lineari arbitrari, metodo di eliminazione di Gauss, parametri liberi, sistemi lineari con infinite soluzioni.

Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

Determinante: definizione ricorsiva, proprietà, calcolo col metodo di Gauss, formule di Laplace.

Gruppo lineare generale.

Matrici simili.

Teorema di Binet.

Formula per la matrice inversa, Teorema di Cramer.

Spazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, vettori proporzionali.

Sottospazi vettoriali, spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, span e generatori, spazi vettoriali finitamente generati, basi di spazi vettoriali.

Coordinate di un vettore rispetto ad una base

Dimensione di uno spazio vettoriale.

Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice.

Rango di una matrice.

Teorema di Rouché-Capelli.

Calcolo del rango col determinante (Teorema di Kronecker).

Calcoli con le basi.

Equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

Teorema di completamento della base.

Applicazioni lineari. Applicazione lineare associata ad una matrice.

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Generatori per l'immagine. Teorema della dimensione.

Isomorfismi di spazi vettoriali. Invarianza della dimensione.

Applicazione lineare associata ad una matrice.

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare.

Matrici di applicazioni lineari rispetto a basi del dominio e del codominio.

Matrice dell'applicazione composta.

Matrici di isomorfismi.

Matrice del cambio di base.

Cambio di base per applicazioni lineari e per endomorfismi.

Calcolo del nucleo e dell'immagine.

Determinante come funzione multilineare.

Spazio delle applicazioni lineari e degli endomorfismi.

Determinante di un endomorfismo.

Diagonalizzazione di endomorfismi: autovalori, autovettori, polinomio caratteristico.

Autospazio relativo ad un autovalore.

Molteplicità algebrica e geometrica.

Indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori distinti.

Teorema di diagonalizzazione.

Metodo per diagonalizzare endomorfismi e matrici, esempi.

Forme bilineari, prodotti scalari e spazi vettoriali Euclidei.

Forma bilineare associata ad una matrice quadrata.

Prodotto scalare canonico su Rⁿ.

Matrice di una forma bilineare rispetto ad una base.

Matrici congruenti.

Cambio di base per forme bilineari.

Spazi vettoriali Euclidei.

Norma di un vettore.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Metrica Euclidea e disuguaglianza triangolare.

Angolo convesso formato da due vettori.

Vettori ortogonali.

Spazi vettoriali Euclidei numerici.

Basi ortonormali.

Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Calcoli con basi ortonormali e coordinate come proiezioni

Completamento di una base ortonormale.

Sottospazi vettoriali ortogonali e complemento ortogonale.

Dimensione del complemento ortogonale.

Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale.

Matrici ortogonali e ortogonali speciali.

Endomorfismi autoaggiunti.

Teorema spettrale.

Geometria affine: traslazioni, sottospazi affini di spazi vettoriali, giacitura, dimensione.

Teorema di struttura per sistemi lineari.

Equazioni di sottospazi affini: vettoriale, parametrica e cartesiana.

Posizione reciproca di sottospazi affini: incidenti, disgiunti, paralleli, sghembi. Posizione reciproca di rette e piani.

Sottospazio affine generato da un insieme di punti. Retta per due punti distinti. Piano per tre punti non allineati.

Cenni sulle affinità.