Section outline

  • Introduzione

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    Contenuto del corso:

    1. Integrale sui cammini di Feynman: quantizzazione con l'integrale sui cammini in meccanica quantistica e teoria di campo.  
    2. Funzionali generatori per i correlatori quantistici: azione efficace 1PI, propagatore di Feynman, regole di Feynman. 
    3. Matrice S di scattering: formalismo LSZ, analiticita' e unitarieta'.  
    4. Divergenze in teoria di campo scalare e regolarizzazione dimensionale. Rinormalizzazione: esempi all'ordine significativo più basso in teoria perturbativa. 
    5. Gruppo di rinormalizzazione. Funzione beta e running coupling. 
    6. Integrale sui cammini per fermioni, variabili di Grassmann. 
    7. Teorie di gauge Abeliane: QED, regole di Feynman, correzioni quantistiche, Ward identities, rinormalizzazione.
    8. Teorie di gauge non-Abeliane: basi di teoria dei gruppi unitari. Determinante di Faddeev-Popov e simmetria BRST. 
    9. Anomalie: anomalia chiare in d=2.


    1. Feynman path integral: path integral quantization in quantum mechanics and field theory. 
    2. Generating functional for quantum correlators: 1PI effective action, Feynman propagator, Feynman rules.
    3. Scattering S matrix: LSZ formalism, analyticity and unitarity.
    4. Divergences in scalar field theory and dimensional regularization. Rinormalization: examples at leading significant orders in the perturbation theory.
    5. Renormalization group. Beta function and running coupling.
    6. Path integral for fermions, Grassmann variables.
    7. Abelian gauge theories: QED, Feynman rules, quantum corrections, Ward identities, renormalization.
    8. Non-Abelian gauge theories: basics of unitary groups, YM, QCD. Faddeev-Popov determinant and BRST symmetry.
    9. Anomalies: chiral anomaly in d=2.


    Testi:
    PS: Michael E. Peskin, Dan V. Schroeder   "An Introduction to Quantum Field Theory",   Westview Press.
    R: Pierre Ramond   "Field Theory a Modern Primer",   Westview Press.
    W: Steven Weinberg   "The Quantum Theory of Fields I",   Cambridge University Press.

    Esame Scritto assegnato individualmente per casa: un paio di esercizi tra quelli dati per casa durante il corso e non risolti in classe. Esame orale consiste nella discussione dei vari aspetti coperti nel programma.
    Take-home written Exam: a couple of exercises among the homework ones. Oral exams consists in the discussion of theoretical aspects of the course.

  • Esercizi

    Highlighted


    List of the problems:

    1. Path integrals in Quantum mechanics
    2. Inverse propagator D^−1
    3. Quantum harmonic oscillator
    4. Forced harmonic oscillator
    5. Effective action and Green's functions
    6. Phase space Path Integral
    7. Full scalar propagator in terms of 1PI 2pt function
    8. Physical mass and 2pt function
    9. On-shell renormalization description
    10. λφ^3 theory in 6 dimensions
    11. Cutkosky cutting rules
    12. Superficial degree of divergence
    13. β function for λφ^4 theory
    14. γ matrices
    15. Grassmann numbers
    16. Propagator in the axial gauge
    17. Ward identities in QED
    18. Scalar QED
    19. Fermion-scalar interaction
    20. Renormalization of electron field and mass
    21. Non-abelian gauge theories
    22. Fermion two-point function in non-abelian gauge theories
    23. Anomalies and Ward Identities I
    24. Anomalies and Ward Identities II



  • Lezione 1 - 05/03/19

    • Path integral (PI) in Meccanica Quantistica.
    • Dall'ampiezza di transizione alla formulazione Hamiltoniana del PI.
    • T-prodotti.

    [9.1W, 9.3W, 2.1R, 2.2R]

  • Lezione 2 - 06/03/19

    • Formulazione Lagrangiana del PI.
    • PI per una particella libera.
    • Integrale Gaussiano con esponente immaginario.


    [9.1W, 9.3W, 2.1R, 2.2R]



  • Lezione 3 - 12/03/19

    • Traiettoria classica e PI.
    • Limite semiclassico.
    • PI euclideo.

    [See Lectures notes by Rattazzi: 1.1.3, 1.2.2, 1.3.2, 1.3.3, 2.2]

    • Formula col PI per l'ampiezza di vuoto in una QFT e epsilon-term (I).

     [9.2W]


  • Lezione 4 - 13/03/19

    • Formula col PI per l'ampiezza di vuoto in una QFT e epsilon-term (II).
    • Metodo funzionale per calcolare le funzioni di Green.
    • Teoria libera e propagatore di Feynman.


    [9.2W, 3.1R, 3.2R]

  • Lezione 5 - 19/03/19

    • Funzioni di Green connesse e loro funzionale generatore.
    • Azione efficace ed equazioni del moto quantistiche.


    [3.2R]


  • Lezione 6 - 20/03/2019

    • Regole di Feynman per la teoria scalare con interazione quartica.
    • 1PI n-point functions dall'azione efficace.


    [3.2R, 3.3R, 4.1R, 11.5PS]


  • Lezione 7 - 26/03/19

    • Struttura analitica della funzione di Green a due punti: massa fisica e taglio multi-particle.
    • Matrice S.


    [7.1PS (without "An Example:The Electron Self-Energy"), 7.2PS, 10.7W]


  • Lezione 8 - 02/04/19

    • LSZ reduction formula e matrice S.
    • Prima correzione quantistica per la funzione a due punti di una teoria scalare con interazione quartica.


    [7.2PS, 4.4R, 7.5(section "Dimensional Regularization")PS; for a more formal treatment of dimensional regularization, see 4.3R]

  • Lezione 9 - 03/04/19

    • Funzione a 4pti scalare in teoria con interazione quartica: prima correzione quantistica.
    • Costante di accoppiamento rinormalizzata. 
    • Schemi di sottrazione.
    • Funzione a due punti e costante di rinormalizzazione del campo.


    [4.4R, 4.5R, 4.6R, 10.2PS]


  • Lezione 10 - 09/04/19

    • Discontinuità della funzione a quattro punti (nella teoria phi^4). Relazioni di dispersione.
    • Unitarietà della matrice S e discontinuità della funzione a quattro punti.


    [4.9R, 7.3PS]


  • Lezione 11 - 10/04/19

    • Grado di divergenza superficiale.
    • Accoppiamenti nella Lagrangiana e rinormalizzabilità delle teorie di campo.
    • Metodo del Gruppo di Rinormalizzazione (RG). Funzione Beta per la teoria phi^4.


    [4.2R]

    [See also: 't Hooft "Dimensional regularization and the renormalization group". Nucl. Phys B 61. CERN-TH-1666 (1973): 455-68]



  • Lezione 12 - 16/04/19

    • Callan - Symanzik Equation.
    • Soluzione dell'equazione di Callan-Symanzik e comportamento della funzione a n-punti al variare della scala dei momenti esterni.
    • Running coupling constant. Fixed point of RG flow.


    [4.6R, 15.4PS]

  • Lezione 13 - 17/04/19

    • Lie Algebra and Lie Group. Rappresentazioni.
    • Gruppo di Lorentz.
    • Gamma  matrices, Dirac spinor, Weyl spinor.

    [3.1PS, 3.2PS, 3.3PS, 3.4PS]

  • Lezione 14 - 30/04/19

    • Corrente vettoriale e corrente assiale.
    • Numeri di Grassmann. Funzioni di variabili di Grassmann, integrali. Integrali Gaussiani.
    • Path integral per fermioni. Propagatore di Dirac dal path integral.


    [3.4PS, 9.5PS, 5.1R, 5.3R]



    • Lezione 15 - 07/05/19

      • Particelle massless a spin 1 particles e invarianza di gauge. Interazione e derivata covariante.
      • Path integral per abelian gauge bosons. Quantizzazione di Fadeev-Popov per il campo fotonico. Propagatore di Feynman.


      [8.1W, 9.4PS, 9.6PS]


    • Lezione 16 - 08/05/19

      • Equazioni del moto nel formalismo del path integral:Dyson-Schwinger equations. 
      • Ward-Takahashi identity in momentum space. 
      • WI per elementi di matrice S e per correlatori gauge invarianti.
      • WI tra 1PI 3pt function e 2pt function.
      • Analisi degli infiniti in QED.

      [7.4PS]


    • Lezione 17 - 14/05/19

      • Struttura degli infiniti nei correlatori 1PI della QED.
      • Electron self-energy.


      [10.1PS, 10.3PS]


    • Lezione 18 - 15/05/19

      • Photon self-energy.
      • Correzione al vertice (parte divergente).


      [7.5PS,6.3PS]


    • Lezione 19 - 21/05/19

      • Rinormalizzazione della QED a 1-loop.
      • Ward identity e renormalizzazione della costante di accoppiamento.
      • QED beta function.

      [10.3PS, 7.4PS(at the end)]

    • Lezione 20 - 22/05/19

      • Introduzione alle teorie di gauge.
      • Gruppi di Lie compatti, gruppo U(N), rappresentazioni unitarie.
      • Derivata covariante e connessione di gauge.
      • Termine cinetico per teorie non-abeliane.


      [15.1PS, 15.2PS] 

    • Lezione 21 - 28/05/19

      • Termine cinetico per teorie non-abeliane e interazione cubica e quartica tra i bosoni di gauge.
      • Quantizzazione delle teorie di gauge non-abeliane col metodo di Fadeev-Popov.
      • Determinante di Fadeev-Popov e Ghost.


      [15.2PS, 16.2PS, 16.3PS]


    • Lezione 22 - 29/05/19

      • Ghosts e unitarietà.
      • Renormalizzazione delle teorie di gauge non-abeliane: diagrammi divergenti.
      • Beta function per teorie di gauge non-abeliane. Beta function della QCD e libertà asintotica.


      [8.5R, 8.6R, 8.8R, 16.5PS]


    • Lezione 23 - 03/06/19

      • Simmetria BRST.
      • Stati fisici.


      [16.4PS]

    • Lezione 24 - 04/06/19

      • Anomalia chirale in d=2.
      • Calcolo dei correlatori tra correnti usando le regole di Cutkowski e le relazioni di dispersione.
      • L'anomalia è inevitabile: non può essere cancellata con un cambio di regolarizzazione.


      [19.1PS]
      [See also 4.4.1 in R. A. Bertlmann, "Anomalies in Quantum Field Theory"]