La soluzione è 2pi periodica in x e 2pi periodica in y, quindi basta restringersi ad un quadrato di lato 2pi e considerare i punti critici al suo interno. Per determinare la natura di quelli fuori dal quadrato basterà riportarsi, usando la periodicità, al rispettivo "rappresentante".
All'interno del quadrato poi c'è ben poco da fare: bisogna calcolarsi tutte le hessiane :D
Potete salvarvi sfruttando che la funzione è dispari: f(-x,-y)=-f(x,y). Quindi se scegliete, come avete fatto, un quadrato simmetrico rispetto all'origine potrete dire che se (x_0,y_0) è un massimo allora (-x_0,-y_0) è un minimo, mentre se (x_0,y_0) è di sella anche (-x_0,-y_0) sarà di sella.
Lo svolgimento che avete allegato mi sembra corretto, anche se confesso di non aver controllato proprio tutti tutti i conti ^^"