(Modificato da LUCA PALMIERI - intervento originale effettuato il Saturday, 29 October 2016, 19:18)
Modulo conti, dovrebbe essere tutto corretto. Faccio alcune osservazioni:
- Se la matrice hessiana è già in forma diagonale, come nel caso della prima e della terza funzione, non è necessario calcolare il polinomio caratteristico o usare il teorema di Sylvester: gli autovalori e la segnatura della matrice sono gia' li'!
- Nel caso di matrici 2x2 se il determinante e' negativo possiamo immediatamente concludere che i due autovalori sono di segno opposto: il determinante, infatti, corrisponde al prodotto degli autovalori! Questo poteva essere usato, ad esempio, per la seconda funzione. In generale, per matrici nxn, un determinante negativo indica la presenza di almeno due autovalori non nulli di segno discorde. Questo avrebbe permesso, ad esempio, di semplificare il ragionamento sulla seconda funzione in tre variabili! (In quel caso credo ci sia qualche problema con il ragionamento fatto sfruttando il teorema degli zeri sul polinomio caratteristico)
Una precisazione: questo ragionamento sul segno degli autovalori è valido fintanto che sappiamo a priori che stiamo discutendo di autovalori reali.
Il determinante della seguente matrice 2x2, a_{1,1}=2=a_{2,2} a_{1,2}=1 a_{2,1}=-1, è 5. Tuttavia ha autovalori complessi coniugati, 1+2i e 1-2i, per cui risulta difficile dire che i suoi autovalori "sono di segno concorde".
Questo problema non si verifica nella funzioni che stiamo studiando visto che sono tutte funzioni C^2 e per il teorema di Schwartz l'hessiana risulta sempre essere una matrice simmetrica, ossia una matrice diagonalizzabile con tutti gli autovalori nel campo reale.
Ho visto che manca lo studio della quinta funzione, f(x,y)=sin(x-y)cos(x).
Che difficoltà avete incontrato?
Avevamo avuto qualche perplessità sulle soluzioni periodiche, cioè se potevamo concludere che, appunto perchè i punti sono periodici, allora sono dello stesso tipo.
La soluzione è 2pi periodica in x e 2pi periodica in y, quindi basta restringersi ad un quadrato di lato 2pi e considerare i punti critici al suo interno. Per determinare la natura di quelli fuori dal quadrato basterà riportarsi, usando la periodicità, al rispettivo "rappresentante".
All'interno del quadrato poi c'è ben poco da fare: bisogna calcolarsi tutte le hessiane :D
Potete salvarvi sfruttando che la funzione è dispari: f(-x,-y)=-f(x,y). Quindi se scegliete, come avete fatto, un quadrato simmetrico rispetto all'origine potrete dire che se (x_0,y_0) è un massimo allora (-x_0,-y_0) è un minimo, mentre se (x_0,y_0) è di sella anche (-x_0,-y_0) sarà di sella.
Lo svolgimento che avete allegato mi sembra corretto, anche se confesso di non aver controllato proprio tutti tutti i conti ^^"