Note del corso

Spazi topologici e basi di aperti

Intorni e basi di intorni. Operatori topologici: interno, chiusura, frontiera.

Sottospazi topologici. Spazi metrici, spazi metrizzabili, spazi Euclidei, bocce e sfere.

Applicazioni continue, omeomorfismi, proprietà topologiche, continuità negli spazi metrici. Chiusura e frontiera negli spazi metrici.

Spazi vettoriali normati. Distanze e norme equivalenti. Cenni sulla p-norma in dimensione finita.

Immersioni, immersioni locali e omeomorfismi locali.

Operazioni topologiche: unioni, prodotti finiti, prodotti arbitrari.

Relazioni di equivalenza, topologia quoziente, spazio quoziente. Spazi proiettivi reali e complessi come spazi topologici. Proiettività come omeomorfismi.

Assiomi di separazione T₁ e T₂ (spazi di Hausdorff). Proprietà topologiche ereditarie.

Assiomi di separazione T₃ e T₄.

Assiomi di numerabilità: spazi topologici I-numerabili, II-numerabili e separabili.

Spazi topologici compatti (compattezza per ricoprimenti).

Compattezza di [0, 1]. Proprietà degli spazi compatti. Spazi localmente compatti.

Compattezza dei prodotti di spazi compatti, teorema di Tychonoff (dimostrazione solo per prodotti finiti). Relazione d'equivalenza indotta da un'applicazione. Compattezza e metrizzabilità degli spazi proiettivi reali e complessi.

Incollamenti topologici, unione puntata, bouquet di circonferenze. Immersione del toro in R³.

Quozienti del quadrato: anello, toro, striscia di Möbius, bottiglia di Klein.

Alcuni omeomorfismi di Rⁿ. Piano di Sorgenfrey.

Proiezione stereografica. Compattificazione di Alexandrov. Applicazioni proprie.

Spazi proiettivi: carte affini, topologia della retta proiettiva reale e complessa.

Spazi connessi, componenti connesse.

Cammini e cappi continui in spazi topologici, concatenazione di cammini e di cappi, cammino inverso.

Spazi connessi per archi, componenti connesse per archi, sottoinsiemi convessi degli spazi Euclidei, connessione per archi di sfere e spazi proiettivi. Spazi localmente connessi per archi. Esempio di spazio connesso ma non connesso per archi.

Componenti connesse degli aperti di Rⁿ.

Omotopia, omotopia relativa, equivalenze omotopiche, spazi contraibili, retrazioni, retrazioni per deformazione.

Rivestimenti. Lemma del numero di Lebesgue.

Teoremi di sollevamento di cammini e omotopie.

Gruppo fondamentale. Funtarialità, invarianza omotopica.

Dipendenza dal punto base: isomorfismo indotto da un cammino.

Invarianza del gruppo fondamentale a meno di deformazioni forti e cenni sull'invarianza a meno di equivalenze omotopiche.

Spazi semplicemente connessi e rivestimenti universali. Funzione di sollevamento. Gruppo fondamentale della circonferenza.

Teorema di non retrazione, teorema del punto fisso di Brouwer, gruppi fondamentali degli spazi prodotto, gruppi fondamentali delle sfere e degli spazi proiettivi reali e complessi, invarianza topologica della dimensione.

Teorema di Borsuk-Ulam. Esempi ed esercizi.