Programma del corso

Questo è il programma provvisorio. Verrà probabilmente parzialmente modificato in corso d'opera.

1. Equazioni differenziali ordinarie
Problema di Cauchy ed equazione integrale equivalente. Teorema di esistenza locale in ipotesi di Lipschitz. Teoremi di esistenza globale. Dipendenza dai dati. Risoluzione di equazioni lineari e a variabili separabili. Il fenomeno della risonanza. Stabilità degli equilibri. Alcuni modelli della meccanica e della dinamica delle popolazioni.

2. Integrale di Riemann per funzioni di più variabili 
Integrale su un rettangolo: definizione e proprietà elementari. La formula di riduzione. Integrale su domini più generali. La misura di Peano-Jordan. Formula di cambiamento di variabili nell'integrale. Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Integrale di funzioni non limitate o definite su insiemi non limitati. 

3. Integrale di funzioni scalari su una M-superficie
Lunghezza di una curva, area di una superficie. L'esempio di Peano-Schwarz. Integrale di una funzione scalare su una curva e su una superficie. Parametrizzazioni e M-superfici. Integrale di una funzione scalare su una M-superficie. 

4. Integrale di forme differenziali su una M-superficie
Definizione di M-forma differenziale. Componenti di una forma differenziale e campo di vettori associato. Prodotto esterno, differenziale esterno. Rotore e divergenza di un campo di vettori. Integrale di una M-forma differenziale su una M-superficie. Integrale di linea, di superficie (flusso) e di volume. Incollamenti, bordo orientato di un rettangolo e di una M-superficie. La formula di Gauss e il teorema di Stokes-Cartan. Formule di Stokes-Ampère, Gauss-Ostrogradski e Gauss-Green. La formula di Stokes-Cartan sulle varietà differenziabili (cenni). Forme differenziali chiuse ed esatte: il teorema di Poincaré.