Topic outline

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    Program


    1. Supersymmetric quantum mechanics (susy QFT in d=1).
    2. Brief introduction to QFT.
    3. Path integral in d=0 dimensions: euclidean path integral, free theory, interacting theory, perturbative series, effective theory.
    4. Path integral in d=1 dimensions: transition amplitudes, correlators, partition function, path integral measure, free particle and harmonic oscillator.
    5. Localisation techniques for computing the path integral.
    6. Non-perturbative corrections to the partition function, instantons.
    7. Topology and path integral.


    References

    • Hori et al. "Mirror Symmetry I" (American Mathematical Society) link
    • Skinner "Quantum Field Theory II" link
    • Skinner "Supersymmetric Quantum Mechanics" link
    • Rattazzi "The Path Integral approach to Quantum Mechanics"  link



    Schedule:

    Monday 16:15

    Wednesday 14:15

    • Lezione 1 - 16/03/20

      • Introduzione: cos'è una QFT, Integrale sui cammini.
      • Teoria di campo di d=0. Funzione di partizione, correlatori e funzionali generatori.

    • Lezione 2 - 18/03/20

      • Correlatori per una teoria libera.
      • Serie asintotica.
      • Teoria delle perturbazioni e funzione di partizione.

    • Lezione 3 - 23/03/20

      • Divergenza della serie asintotica vs validità dell'approssimazione perturbativa.
      • Funzione di partizione, serie asintotica e regole di Feynman.

    • Lezione 4 - 25/03/20

      • Funzione di partizione da somma su diagrammi connessi.
      • Azione efficace Wilsoniana: integrare via campi.

    • Lezione 5 - 30/03/20

      • Azione efficace quantistica e diagrammi 1PI.
      • Variabili di Grassmann.

    • Lezione 6 - 01/04/20

      • Numeri di Grassmann e fermioni liberi. Funzione di partizione. Funzione generatrice di correlatori.
      • Teorie supersimmetriche in d=0.

    • Lezione 7 - 6/04/20

      • Localizzazione dell'integrale sui cammini in d=0.
      • Funzione di partizione per h polinomiale.
      • Correlatori di operatori chiusi ma non esatti.

    • Lezione 8 - 08/04/20

      • Teorie di campo in d=1 e meccanica quantistica.
      • Integrale sui cammini di Feynman.
      • Funzione di partizione.

    • Lezione 9 - 15/04/20

      • Non-commutatività della meccanica quantista e integrale sui cammini.
      • Limite continuo: validità e misura di Wiener.

    • Lezione 10 - 20/04/20

      • Azione efficace Wilsoniana.
      • Troncamento a basse energie. Teorie UV e IR.

    • Lezione 11 - 22/04/20

      • Esempio di PI: propagatore della particella libera.
      • Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte I).
    • Lezione 12 - 27/04/20

      • Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte II); funzione di partizione con PI e funzione di partizione con formalismo operatoriale.
      • Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte I).

    • Lezione 13 - 29/04/20

      • Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte II).
      • Meccanica Quantistica Supersimmetrica: Lagrangiana, trasformazioni di supersimmetria, quantità conservate, quantizzazione canonica.

    • Lezione 14 - 04/05/20

      • Proprietà delle cariche di supersimmetria.
      • Algebra di supersimmetria e sue implicazioni.
      • Spettro dell'energia e stati bosonici e fermionici.

    • Lezione 15 - 06/05/20

      • Witten Index.
      • Ground states e cohomology.
      • Integrale sui cammini per fermioni.

    • Lezione 16 - 11/05/20

      • Funzione di partizione e Witten index con l'integrale sui cammini per teorie supersimmetriche.
      • Ground states.
      • Oscillatore armonico susy (parte 1).

    • Lezione 17 - 13/05/20

      • Oscillatore armonico susy (parte 2).
      • Localizzazione e Witten index.


    • Lezione 18 - 18/05/20

      • Witten index e localizzazione per oscillatore armonico.
      • Multi-variable case.
      • Analisi perturbativa e necessità di effetti non-perturbativi.

    • Lezione 19 - 20/05/20

      • Effetti non perturbativi.
      • Double well potential e livelli energetici in teoria delle perturbazioni.
      • Istantoni.

    • Lezione 20 - 25/05/20

      • Double well potential: contributo all'integrale sui cammini della soluzione a un istantone.
      • Double well potential: soluzioni a N istantoni.


      [Per i dettagli si veda https://arxiv.org/abs/quant-ph/0004090 (in particolare la ref 11).]

    • Lezione 21 - 27/05/20

      • Contributo di tutti gli istantoni all'ampiezza di transizione.
      • Differenza tra livelli energetici e autofunzioni.
      • Istantoni ed effetto tunnel.

    • Lezione 22 - 03/06/20

      • Cammini in uno spazio tolopogico. Omotopia. Gruppo fondamentale.
      • Integrale sui cammini in spazi non-semplicemente connessi.

    • Lezione 23 - 08/06/20

      • Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: effetto di Aharonov-Bohm.
      • Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: caso generale.

    • Lezione 24 - 10/06/20

      • Caratteri del gruppo fondamentale e quantizzazioni inequivalenti.
      • Pendolo e istantoni.