Topic outline

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  • Informations on the course


    Program


    1. Supersymmetric quantum mechanics (susy QFT in d=1).
    2. Brief introduction to QFT.
    3. Path integral in d=0 dimensions: euclidean path integral, free theory, interacting theory, perturbative series, effective theory.
    4. Path integral in d=1 dimensions: transition amplitudes, correlators, partition function, path integral measure, free particle and harmonic oscillator.
    5. Localisation techniques for computing the path integral.
    6. Non-perturbative corrections to the partition function, instantons.
    7. Topology and path integral.


    References

    • Hori et al. "Mirror Symmetry I" (American Mathematical Society) link
    • Skinner "Quantum Field Theory II" link
    • Skinner "Supersymmetric Quantum Mechanics" link
    • Rattazzi "The Path Integral approach to Quantum Mechanics"  link



    Schedule:

    Monday 16:15

    Wednesday 14:15

  • Lezione 1 - 16/03/20

    • Introduzione: cos'è una QFT, Integrale sui cammini.
    • Teoria di campo di d=0. Funzione di partizione, correlatori e funzionali generatori.

  • Lezione 2 - 18/03/20

    • Correlatori per una teoria libera.
    • Serie asintotica.
    • Teoria delle perturbazioni e funzione di partizione.

  • Lezione 3 - 23/03/20

    • Divergenza della serie asintotica vs validità dell'approssimazione perturbativa.
    • Funzione di partizione, serie asintotica e regole di Feynman.

  • Lezione 4 - 25/03/20

    • Funzione di partizione da somma su diagrammi connessi.
    • Azione efficace Wilsoniana: integrare via campi.

  • Lezione 5 - 30/03/20

    • Azione efficace quantistica e diagrammi 1PI.
    • Variabili di Grassmann.

  • Lezione 6 - 01/04/20

    • Numeri di Grassmann e fermioni liberi. Funzione di partizione. Funzione generatrice di correlatori.
    • Teorie supersimmetriche in d=0.

  • Lezione 7 - 6/04/20

    • Localizzazione dell'integrale sui cammini in d=0.
    • Funzione di partizione per h polinomiale.
    • Correlatori di operatori chiusi ma non esatti.

  • Lezione 8 - 08/04/20

    • Teorie di campo in d=1 e meccanica quantistica.
    • Integrale sui cammini di Feynman.
    • Funzione di partizione.

  • Lezione 9 - 15/04/20

    • Non-commutatività della meccanica quantista e integrale sui cammini.
    • Limite continuo: validità e misura di Wiener.

  • Lezione 10 - 20/04/20

    • Azione efficace Wilsoniana.
    • Troncamento a basse energie. Teorie UV e IR.

  • Lezione 11 - 22/04/20

    • Esempio di PI: propagatore della particella libera.
    • Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte I).
  • Lezione 12 - 27/04/20

    • Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte II); funzione di partizione con PI e funzione di partizione con formalismo operatoriale.
    • Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte I).

  • Lezione 13 - 29/04/20

    • Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte II).
    • Meccanica Quantistica Supersimmetrica: Lagrangiana, trasformazioni di supersimmetria, quantità conservate, quantizzazione canonica.

  • Lezione 14 - 04/05/20

    • Proprietà delle cariche di supersimmetria.
    • Algebra di supersimmetria e sue implicazioni.
    • Spettro dell'energia e stati bosonici e fermionici.

  • Lezione 15 - 06/05/20

    • Witten Index.
    • Ground states e cohomology.
    • Integrale sui cammini per fermioni.

  • Lezione 16 - 11/05/20

    • Funzione di partizione e Witten index con l'integrale sui cammini per teorie supersimmetriche.
    • Ground states.
    • Oscillatore armonico susy (parte 1).

  • Lezione 17 - 13/05/20

    • Oscillatore armonico susy (parte 2).
    • Localizzazione e Witten index.


  • Lezione 18 - 18/05/20

    • Witten index e localizzazione per oscillatore armonico.
    • Multi-variable case.
    • Analisi perturbativa e necessità di effetti non-perturbativi.

  • Lezione 19 - 20/05/20

    • Effetti non perturbativi.
    • Double well potential e livelli energetici in teoria delle perturbazioni.
    • Istantoni.

  • Lezione 20 - 25/05/20

    • Double well potential: contributo all'integrale sui cammini della soluzione a un istantone.
    • Double well potential: soluzioni a N istantoni.


    [Per i dettagli si veda https://arxiv.org/abs/quant-ph/0004090 (in particolare la ref 11).]

  • Lezione 21 - 27/05/20

    • Contributo di tutti gli istantoni all'ampiezza di transizione.
    • Differenza tra livelli energetici e autofunzioni.
    • Istantoni ed effetto tunnel.

  • Lezione 22 - 03/06/20

    • Cammini in uno spazio tolopogico. Omotopia. Gruppo fondamentale.
    • Integrale sui cammini in spazi non-semplicemente connessi.

  • Lezione 23 - 08/06/20

    • Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: effetto di Aharonov-Bohm.
    • Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: caso generale.

  • Lezione 24 - 10/06/20

    • Caratteri del gruppo fondamentale e quantizzazioni inequivalenti.
    • Pendolo e istantoni.