460SM - INTEGRALI DI CAMMINO IN MECCANICA CLASSICA E QUANTISTICA 2019
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Schema della sezione
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Program- Supersymmetric quantum mechanics (susy QFT in d=1).
- Brief introduction to QFT.
- Path integral in d=0 dimensions: euclidean path integral, free theory, interacting theory, perturbative series, effective theory.
- Path integral in d=1 dimensions: transition amplitudes, correlators, partition function, path integral measure, free particle and harmonic oscillator.
- Localisation techniques for computing the path integral.
- Non-perturbative corrections to the partition function, instantons.
- Topology and path integral.
References
- Hori et al. "Mirror Symmetry I" (American Mathematical Society) link
- Skinner "Quantum Field Theory II" link
- Skinner "Supersymmetric Quantum Mechanics" link
- Rattazzi "The Path Integral approach to Quantum Mechanics" link
Schedule:
Monday 16:15
Wednesday 14:15
- Supersymmetric quantum mechanics (susy QFT in d=1).
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- Introduzione: cos'è una QFT, Integrale sui cammini.
- Teoria di campo di d=0. Funzione di partizione, correlatori e funzionali generatori.
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Lezione 1 File PDF
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- Correlatori per una teoria libera.
- Serie asintotica.
- Teoria delle perturbazioni e funzione di partizione.
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Lezione 2 File PDF
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- Divergenza della serie asintotica vs validità dell'approssimazione perturbativa.
- Funzione di partizione, serie asintotica e regole di Feynman.
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Lezione 3 File PDF
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- Funzione di partizione da somma su diagrammi connessi.
- Azione efficace Wilsoniana: integrare via campi.
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Lezione 4 File PDF
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- Azione efficace quantistica e diagrammi 1PI.
- Variabili di Grassmann.
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Lezione 5 File PDF
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- Numeri di Grassmann e fermioni liberi. Funzione di partizione. Funzione generatrice di correlatori.
- Teorie supersimmetriche in d=0.
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Lezione 6 File PDF
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- Localizzazione dell'integrale sui cammini in d=0.
- Funzione di partizione per h polinomiale.
- Correlatori di operatori chiusi ma non esatti.
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Lezione 7 File PDF
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- Teorie di campo in d=1 e meccanica quantistica.
- Integrale sui cammini di Feynman.
- Funzione di partizione.
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Lezione 8 File PDF
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- Non-commutatività della meccanica quantista e integrale sui cammini.
- Limite continuo: validità e misura di Wiener.
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Lezione 9 File PDF
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- Azione efficace Wilsoniana.
- Troncamento a basse energie. Teorie UV e IR.
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Lezione 10 File PDF
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- Esempio di PI: propagatore della particella libera.
- Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte I).
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Lezione 11 File PDF
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- Esempio di PI: propagatore dell'oscillatore armonico (parte II); funzione di partizione con PI e funzione di partizione con formalismo operatoriale.
- Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte I).
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Lezione 12 File PDF
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- Esempio di PI: propagatore della particella libera su un cerchio (parte II).
- Meccanica Quantistica Supersimmetrica: Lagrangiana, trasformazioni di supersimmetria, quantità conservate, quantizzazione canonica.
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Lezione 13 File PDF
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- Proprietà delle cariche di supersimmetria.
- Algebra di supersimmetria e sue implicazioni.
- Spettro dell'energia e stati bosonici e fermionici.
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Lezione 14 File PDF
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- Witten Index.
- Ground states e cohomology.
- Integrale sui cammini per fermioni.
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Lezione 15 File PDF
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- Funzione di partizione e Witten index con l'integrale sui cammini per teorie supersimmetriche.
- Ground states.
- Oscillatore armonico susy (parte 1).
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Lezione 16 File PDF
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- Oscillatore armonico susy (parte 2).
- Localizzazione e Witten index.
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Lezione 17 File PDF
- Oscillatore armonico susy (parte 2).
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- Witten index e localizzazione per oscillatore armonico.
- Multi-variable case.
- Analisi perturbativa e necessità di effetti non-perturbativi.
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Lezione 18 File PDF
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- Effetti non perturbativi.
- Double well potential e livelli energetici in teoria delle perturbazioni.
- Istantoni.
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Lezione 19 File PDF
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- Double well potential: contributo all'integrale sui cammini della soluzione a un istantone.
- Double well potential: soluzioni a N istantoni.
[Per i dettagli si veda https://arxiv.org/abs/quant-ph/0004090 (in particolare la ref 11).]
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Lezione 20 File PDF
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- Contributo di tutti gli istantoni all'ampiezza di transizione.
- Differenza tra livelli energetici e autofunzioni.
- Istantoni ed effetto tunnel.
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Lezione 21 File PDF
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- Cammini in uno spazio tolopogico. Omotopia. Gruppo fondamentale.
- Integrale sui cammini in spazi non-semplicemente connessi.
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Lezione 22 File PDF
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- Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: effetto di Aharonov-Bohm.
- Integrale sui cammini in spazi non semplicemente connessi: caso generale.
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Lezione 23 File PDF
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- Caratteri del gruppo fondamentale e quantizzazioni inequivalenti.
- Pendolo e istantoni.
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Lezione 24 File PDF